Номер 128, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 128, страница 30.

Условие.

128. Упростите выражение:

$ \frac{1}{(a-1)(a-2)} + \frac{1}{(a-2)(a-3)} + \frac{1}{(a-3)(a-4)} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

128. Чтобы упростить данное выражение, представим каждую из трех дробей в виде разности двух более простых дробей. Этот прием является частным случаем разложения на простейшие дроби и особенно эффективен для сумм такого типа, которые называются телескопическими.

Заметим, что для любой дроби вида $ \frac{1}{(x-1)x} $ справедливо равенство $ \frac{1}{(x-1)x} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} $. Проверим это тождество, приведя правую часть к общему знаменателю: $ \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x-1)}{(x-1)x} = \frac{x-x+1}{(x-1)x} = \frac{1}{(x-1)x} $.

Применим этот подход к каждому слагаемому в исходном выражении.

1. Для первой дроби $ \frac{1}{(a-1)(a-2)} $, которая соответствует виду $ \frac{1}{(x-1)x} $ при $ x = a-1 $.
Следовательно, $ \frac{1}{(a-1)(a-2)} = \frac{1}{a-2} - \frac{1}{a-1} $.

2. Для второй дроби $ \frac{1}{(a-2)(a-3)} $, где $ x = a-2 $.
Следовательно, $ \frac{1}{(a-2)(a-3)} = \frac{1}{a-3} - \frac{1}{a-2} $.

3. Для третьей дроби $ \frac{1}{(a-3)(a-4)} $, где $ x = a-3 $.
Следовательно, $ \frac{1}{(a-3)(a-4)} = \frac{1}{a-4} - \frac{1}{a-3} $.

Теперь подставим полученные разности в исходную сумму:

$ \left(\frac{1}{a-2} - \frac{1}{a-1}\right) + \left(\frac{1}{a-3} - \frac{1}{a-2}\right) + \left(\frac{1}{a-4} - \frac{1}{a-3}\right) $

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, чтобы увидеть, как они взаимно уничтожаются:

$ \frac{1}{a-4} - \frac{1}{a-3} + \frac{1}{a-3} - \frac{1}{a-2} + \frac{1}{a-2} - \frac{1}{a-1} $

Промежуточные члены $ -\frac{1}{a-3} $ и $ +\frac{1}{a-3} $, а также $ -\frac{1}{a-2} $ и $ +\frac{1}{a-2} $ в сумме дают ноль и сокращаются. В результате остаются только крайние члены:

$ \frac{1}{a-4} - \frac{1}{a-1} $

Приведем оставшиеся две дроби к общему знаменателю $ (a-4)(a-1) $:

$ \frac{1 \cdot (a-1)}{(a-4)(a-1)} - \frac{1 \cdot (a-4)}{(a-1)(a-4)} = \frac{(a-1) - (a-4)}{(a-1)(a-4)} $

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$ \frac{a - 1 - a + 4}{(a-1)(a-4)} = \frac{3}{(a-1)(a-4)} $

Ответ: $ \frac{3}{(a-1)(a-4)} $