Номер 128, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Глава 1. Рациональные выражения - номер 128, страница 30.
№128 (с. 30)
Условие. №128 (с. 30)
скриншот условия

128. Упростите выражение:
$ \frac{1}{(a-1)(a-2)} + \frac{1}{(a-2)(a-3)} + \frac{1}{(a-3)(a-4)} $
Решение 1. №128 (с. 30)

Решение 2. №128 (с. 30)

Решение 3. №128 (с. 30)

Решение 4. №128 (с. 30)

Решение 5. №128 (с. 30)

Решение 6. №128 (с. 30)

Решение 7. №128 (с. 30)

Решение 8. №128 (с. 30)
128. Чтобы упростить данное выражение, представим каждую из трех дробей в виде разности двух более простых дробей. Этот прием является частным случаем разложения на простейшие дроби и особенно эффективен для сумм такого типа, которые называются телескопическими.
Заметим, что для любой дроби вида $ \frac{1}{(x-1)x} $ справедливо равенство $ \frac{1}{(x-1)x} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} $. Проверим это тождество, приведя правую часть к общему знаменателю: $ \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x-1)}{(x-1)x} = \frac{x-x+1}{(x-1)x} = \frac{1}{(x-1)x} $.
Применим этот подход к каждому слагаемому в исходном выражении.
1. Для первой дроби $ \frac{1}{(a-1)(a-2)} $, которая соответствует виду $ \frac{1}{(x-1)x} $ при $ x = a-1 $.
Следовательно, $ \frac{1}{(a-1)(a-2)} = \frac{1}{a-2} - \frac{1}{a-1} $.
2. Для второй дроби $ \frac{1}{(a-2)(a-3)} $, где $ x = a-2 $.
Следовательно, $ \frac{1}{(a-2)(a-3)} = \frac{1}{a-3} - \frac{1}{a-2} $.
3. Для третьей дроби $ \frac{1}{(a-3)(a-4)} $, где $ x = a-3 $.
Следовательно, $ \frac{1}{(a-3)(a-4)} = \frac{1}{a-4} - \frac{1}{a-3} $.
Теперь подставим полученные разности в исходную сумму:
$ \left(\frac{1}{a-2} - \frac{1}{a-1}\right) + \left(\frac{1}{a-3} - \frac{1}{a-2}\right) + \left(\frac{1}{a-4} - \frac{1}{a-3}\right) $
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, чтобы увидеть, как они взаимно уничтожаются:
$ \frac{1}{a-4} - \frac{1}{a-3} + \frac{1}{a-3} - \frac{1}{a-2} + \frac{1}{a-2} - \frac{1}{a-1} $
Промежуточные члены $ -\frac{1}{a-3} $ и $ +\frac{1}{a-3} $, а также $ -\frac{1}{a-2} $ и $ +\frac{1}{a-2} $ в сумме дают ноль и сокращаются. В результате остаются только крайние члены:
$ \frac{1}{a-4} - \frac{1}{a-1} $
Приведем оставшиеся две дроби к общему знаменателю $ (a-4)(a-1) $:
$ \frac{1 \cdot (a-1)}{(a-4)(a-1)} - \frac{1 \cdot (a-4)}{(a-1)(a-4)} = \frac{(a-1) - (a-4)}{(a-1)(a-4)} $
Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:
$ \frac{a - 1 - a + 4}{(a-1)(a-4)} = \frac{3}{(a-1)(a-4)} $
Ответ: $ \frac{3}{(a-1)(a-4)} $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 128 расположенного на странице 30 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №128 (с. 30), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.