Номер 132, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 132, страница 31.

Условие.

132. Докажите, что если $\frac{a-c}{b+c} + \frac{b-a}{a+c} + \frac{c-b}{a+b} = 1$, то $\frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+c} + \frac{a+c}{a+b} = 4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства утверждения воспользуемся исходным равенством:

$\frac{a-c}{b+c} + \frac{b-a}{a+c} + \frac{c-b}{a+b} = 1$

Прибавим к обеим частям этого равенства число 3. Это не нарушит равенства.

$\frac{a-c}{b+c} + \frac{b-a}{a+c} + \frac{c-b}{a+b} + 3 = 1 + 3$

В левой части равенства представим число 3 как сумму $1+1+1$ и сгруппируем каждое из этих слагаемых с соответствующей дробью:

$\left(\frac{a-c}{b+c} + 1\right) + \left(\frac{b-a}{a+c} + 1\right) + \left(\frac{c-b}{a+b} + 1\right) = 4$

Теперь выполним сложение в каждой из скобок, приводя дроби к общему знаменателю.

Преобразуем выражение в первой скобке:

$\frac{a-c}{b+c} + 1 = \frac{a-c}{b+c} + \frac{b+c}{b+c} = \frac{a-c+b+c}{b+c} = \frac{a+b}{b+c}$

Преобразуем выражение во второй скобке:

$\frac{b-a}{a+c} + 1 = \frac{b-a}{a+c} + \frac{a+c}{a+c} = \frac{b-a+a+c}{a+c} = \frac{b+c}{a+c}$

Преобразуем выражение в третьей скобке:

$\frac{c-b}{a+b} + 1 = \frac{c-b}{a+b} + \frac{a+b}{a+b} = \frac{c-b+a+b}{a+b} = \frac{a+c}{a+b}$

Теперь подставим полученные преобразованные дроби обратно в наше уравнение:

$\frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+c} + \frac{a+c}{a+b} = 4$

Таким образом, мы доказали, что если выполняется исходное условие, то указанное равенство также является верным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше. Оно заключается в прибавлении 3 к обеим частям исходного равенства и последующих алгебраических преобразованиях.