Номер 130, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Глава 1. Рациональные выражения - номер 130, страница 31.
№130 (с. 31)
Условие. №130 (с. 31)
скриншот условия

130. Докажите тождество:
$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a} + \frac{2}{1+a^2} + \frac{4}{1+a^4} + \frac{8}{1+a^8} + \frac{16}{1+a^{16}} = \frac{32}{1-a^{32}}$
Решение 1. №130 (с. 31)

Решение 2. №130 (с. 31)

Решение 3. №130 (с. 31)

Решение 4. №130 (с. 31)

Решение 5. №130 (с. 31)

Решение 6. №130 (с. 31)

Решение 7. №130 (с. 31)

Решение 8. №130 (с. 31)
Для доказательства данного тождества мы будем последовательно преобразовывать его левую часть, складывая слагаемые попарно. В основе каждого шага лежит применение формулы разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.
1. Начнем со сложения первых двух дробей:
$ \frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a} = \frac{1 \cdot (1+a) + 1 \cdot (1-a)}{(1-a)(1+a)} = \frac{1+a+1-a}{1-a^2} = \frac{2}{1-a^2} $
2. Теперь к полученной дроби прибавим следующее слагаемое из исходного выражения:
$ \frac{2}{1-a^2} + \frac{2}{1+a^2} = \frac{2(1+a^2) + 2(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)} = \frac{2+2a^2+2-2a^2}{1-(a^2)^2} = \frac{4}{1-a^4} $
3. Мы видим закономерность. Продолжим процесс, прибавив следующую дробь:
$ \frac{4}{1-a^4} + \frac{4}{1+a^4} = \frac{4(1+a^4) + 4(1-a^4)}{(1-a^4)(1+a^4)} = \frac{4+4a^4+4-4a^4}{1-(a^4)^2} = \frac{8}{1-a^8} $
4. Прибавим следующее слагаемое:
$ \frac{8}{1-a^8} + \frac{8}{1+a^8} = \frac{8(1+a^8) + 8(1-a^8)}{(1-a^8)(1+a^8)} = \frac{8+8a^8+8-8a^8}{1-(a^8)^2} = \frac{16}{1-a^{16}} $
5. Наконец, прибавим последнее слагаемое из левой части равенства:
$ \frac{16}{1-a^{16}} + \frac{16}{1+a^{16}} = \frac{16(1+a^{16}) + 16(1-a^{16})}{(1-a^{16})(1+a^{16})} = \frac{16+16a^{16}+16-16a^{16}}{1-(a^{16})^2} = \frac{32}{1-a^{32}} $
В результате преобразования левой части тождества мы получили его правую часть. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано, так как левая часть после упрощения равна правой части.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 130 расположенного на странице 31 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №130 (с. 31), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.