Номер 130, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 130, страница 31.

Условие.

130. Докажите тождество:

$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a} + \frac{2}{1+a^2} + \frac{4}{1+a^4} + \frac{8}{1+a^8} + \frac{16}{1+a^{16}} = \frac{32}{1-a^{32}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства данного тождества мы будем последовательно преобразовывать его левую часть, складывая слагаемые попарно. В основе каждого шага лежит применение формулы разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.

1. Начнем со сложения первых двух дробей:

$ \frac{1}{1-a} + \frac{1}{1+a} = \frac{1 \cdot (1+a) + 1 \cdot (1-a)}{(1-a)(1+a)} = \frac{1+a+1-a}{1-a^2} = \frac{2}{1-a^2} $

2. Теперь к полученной дроби прибавим следующее слагаемое из исходного выражения:

$ \frac{2}{1-a^2} + \frac{2}{1+a^2} = \frac{2(1+a^2) + 2(1-a^2)}{(1-a^2)(1+a^2)} = \frac{2+2a^2+2-2a^2}{1-(a^2)^2} = \frac{4}{1-a^4} $

3. Мы видим закономерность. Продолжим процесс, прибавив следующую дробь:

$ \frac{4}{1-a^4} + \frac{4}{1+a^4} = \frac{4(1+a^4) + 4(1-a^4)}{(1-a^4)(1+a^4)} = \frac{4+4a^4+4-4a^4}{1-(a^4)^2} = \frac{8}{1-a^8} $

4. Прибавим следующее слагаемое:

$ \frac{8}{1-a^8} + \frac{8}{1+a^8} = \frac{8(1+a^8) + 8(1-a^8)}{(1-a^8)(1+a^8)} = \frac{8+8a^8+8-8a^8}{1-(a^8)^2} = \frac{16}{1-a^{16}} $

5. Наконец, прибавим последнее слагаемое из левой части равенства:

$ \frac{16}{1-a^{16}} + \frac{16}{1+a^{16}} = \frac{16(1+a^{16}) + 16(1-a^{16})}{(1-a^{16})(1+a^{16})} = \frac{16+16a^{16}+16-16a^{16}}{1-(a^{16})^2} = \frac{32}{1-a^{32}} $

В результате преобразования левой части тождества мы получили его правую часть. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как левая часть после упрощения равна правой части.