Номер 123, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Глава 1. Рациональные выражения - номер 123, страница 30.

Условие.

123. Докажите тождество:

$\frac{3a^2 + 24}{a^3 + 8} - \frac{6}{a^2 - 2a + 4} - \frac{1}{a + 2} = \frac{2}{a + 2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Наша задача — показать, что левая часть равна правой.

Исходное тождество:

$ \frac{3a^2 + 24}{a^3 + 8} - \frac{6}{a^2 - 2a + 4} - \frac{1}{a+2} = \frac{2}{a+2} $

Рассмотрим левую часть выражения:

$ \frac{3a^2 + 24}{a^3 + 8} - \frac{6}{a^2 - 2a + 4} - \frac{1}{a+2} $

1. Первым шагом разложим на множители знаменатель первой дроби $a^3 + 8$. Это сумма кубов, которая раскладывается по формуле $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$:

$ a^3 + 8 = a^3 + 2^3 = (a+2)(a^2 - 2a + 4) $

2. Теперь мы видим, что общий знаменатель для всех трёх дробей в левой части — это $(a+2)(a^2 - 2a + 4)$. Приведём все дроби к этому общему знаменателю. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(a+2)$, а третьей — на $(a^2 - 2a + 4)$:

$ \frac{3a^2 + 24}{(a+2)(a^2 - 2a + 4)} - \frac{6(a+2)}{(a^2 - 2a + 4)(a+2)} - \frac{1(a^2 - 2a + 4)}{(a+2)(a^2 - 2a + 4)} $

3. Объединим дроби, выполнив действия в числителе. Важно обратить внимание на знаки при раскрытии скобок:

$ \frac{(3a^2 + 24) - (6a + 12) - (a^2 - 2a + 4)}{(a+2)(a^2 - 2a + 4)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{3a^2 + 24 - 6a - 12 - a^2 + 2a - 4}{(a+2)(a^2 - 2a + 4)} $

4. Приведём подобные слагаемые в числителе:

$ (3a^2 - a^2) + (-6a + 2a) + (24 - 12 - 4) = 2a^2 - 4a + 8 $

5. Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$ \frac{2a^2 - 4a + 8}{(a+2)(a^2 - 2a + 4)} $

6. Вынесем общий множитель 2 за скобки в числителе:

$ \frac{2(a^2 - 2a + 4)}{(a+2)(a^2 - 2a + 4)} $

7. Сократим дробь на общий множитель $(a^2 - 2a + 4)$. Это выражение не равно нулю ни при каких действительных значениях $a$.

$ \frac{2\cancel{(a^2 - 2a + 4)}}{(a+2)\cancel{(a^2 - 2a + 4)}} = \frac{2}{a+2} $

В результате преобразования левой части мы получили выражение, идентичное правой части исходного равенства: $ \frac{2}{a+2} = \frac{2}{a+2} $. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.