Номер 121, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 121, страница 30.

Условие.

121. Найдите разность дробей:

1) $ \frac{a+1}{a^3-1} - \frac{1}{a^2+a+1} $;

2) $ \frac{1}{b+3} - \frac{b^2-6b}{b^3+27} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти разность дробей $\frac{a+1}{a^3 - 1} - \frac{1}{a^2 + a + 1}$, необходимо привести их к общему знаменателю.
Для этого разложим на множители знаменатель первой дроби, используя формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$:
$a^3 - 1 = (a-1)(a^2 + a \cdot 1 + 1^2) = (a-1)(a^2 + a + 1)$.
Знаменатель второй дроби, $a^2 + a + 1$, является одним из множителей знаменателя первой дроби. Следовательно, наименьший общий знаменатель равен $(a-1)(a^2 + a + 1)$.
Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $(a-1)$:
$\frac{a+1}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{1 \cdot (a-1)}{(a^2+a+1)(a-1)} = \frac{a+1}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{a-1}{(a-1)(a^2+a+1)}$
Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:
$\frac{(a+1) - (a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{a+1-a+1}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{2}{(a-1)(a^2+a+1)}$
Можно свернуть знаменатель обратно, чтобы получить окончательный вид:
$\frac{2}{a^3-1}$
Ответ: $\frac{2}{a^3 - 1}$

2) Чтобы найти разность дробей $\frac{1}{b+3} - \frac{b^2 - 6b}{b^3 + 27}$, приведем их к общему знаменателю.
Разложим на множители знаменатель второй дроби, используя формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$:
$b^3 + 27 = b^3 + 3^3 = (b+3)(b^2 - b \cdot 3 + 3^2) = (b+3)(b^2 - 3b + 9)$.
Знаменатель первой дроби, $(b+3)$, является одним из множителей знаменателя второй дроби. Таким образом, наименьший общий знаменатель равен $(b+3)(b^2 - 3b + 9)$.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель $(b^2 - 3b + 9)$:
$\frac{1 \cdot (b^2 - 3b + 9)}{(b+3)(b^2 - 3b + 9)} - \frac{b^2 - 6b}{(b+3)(b^2 - 3b + 9)} = \frac{b^2 - 3b + 9}{b^3 + 27} - \frac{b^2 - 6b}{b^3 + 27}$
Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{(b^2 - 3b + 9) - (b^2 - 6b)}{b^3 + 27} = \frac{b^2 - 3b + 9 - b^2 + 6b}{b^3 + 27} = \frac{3b + 9}{b^3 + 27}$
Упростим полученное выражение. Вынесем в числителе общий множитель 3 за скобки и разложим знаменатель на множители:
$\frac{3(b+3)}{(b+3)(b^2 - 3b + 9)}$
Сократим дробь на общий множитель $(b+3)$:
$\frac{3}{b^2 - 3b + 9}$
Ответ: $\frac{3}{b^2 - 3b + 9}$