Номер 114, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Глава 1. Рациональные выражения - номер 114, страница 29.

Условие.

114. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения не зависит от значения переменной:

1) $\frac{2x+1}{2x-4} + \frac{2x-1}{6-3x} - \frac{x+7}{6x-12}$;

2) $\frac{24-2a}{a^2-16} - \frac{a}{2a-8} + \frac{4}{a+4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для того чтобы доказать, что значение выражения $\frac{2x+1}{2x-4} + \frac{2x-1}{6-3x} - \frac{x+7}{6x-12}$ не зависит от значения переменной, необходимо упростить это выражение.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не должны равняться нулю:

• $2x - 4 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq 4 \Rightarrow x \neq 2$
• $6 - 3x \neq 0 \Rightarrow 3x \neq 6 \Rightarrow x \neq 2$
• $6x - 12 \neq 0 \Rightarrow 6x \neq 12 \Rightarrow x \neq 2$

Таким образом, выражение определено для всех $x$, кроме $x=2$.

Теперь упростим выражение. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители:

$\frac{2x+1}{2(x-2)} + \frac{2x-1}{3(2-x)} - \frac{x+7}{6(x-2)}$

Заметим, что $2-x = -(x-2)$. Изменим знак перед второй дробью и в ее знаменателе:

$\frac{2x+1}{2(x-2)} - \frac{2x-1}{3(x-2)} - \frac{x+7}{6(x-2)}$

Общий знаменатель для дробей $2(x-2)$, $3(x-2)$ и $6(x-2)$ равен $6(x-2)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби – 3, для второй – 2, для третьей – 1.

$\frac{3(2x+1)}{6(x-2)} - \frac{2(2x-1)}{6(x-2)} - \frac{1(x+7)}{6(x-2)}$

Запишем все под одним знаменателем:

$\frac{3(2x+1) - 2(2x-1) - (x+7)}{6(x-2)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{6x+3 - 4x+2 - x-7}{6(x-2)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(6x - 4x - x) + (3 + 2 - 7)}{6(x-2)} = \frac{x-2}{6(x-2)}$

Сократим дробь на $(x-2)$, так как по ОДЗ $x \neq 2$, а значит $x-2 \neq 0$:

$\frac{1}{6}$

Значение выражения равно $\frac{1}{6}$ и не зависит от значения переменной $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

2)

Докажем, что значение выражения $\frac{24-2a}{a^2-16} - \frac{a}{2a-8} + \frac{4}{a+4}$ не зависит от значения переменной $a$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

• $a^2 - 16 \neq 0 \Rightarrow (a-4)(a+4) \neq 0 \Rightarrow a \neq 4$ и $a \neq -4$
• $2a - 8 \neq 0 \Rightarrow 2(a-4) \neq 0 \Rightarrow a \neq 4$
• $a + 4 \neq 0 \Rightarrow a \neq -4$

Выражение определено для всех $a$, кроме $a=4$ и $a=-4$.

Теперь упростим выражение. Разложим знаменатели на множители:

$\frac{24-2a}{(a-4)(a+4)} - \frac{a}{2(a-4)} + \frac{4}{a+4}$

Общий знаменатель для дробей – $2(a-4)(a+4)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби – 2, для второй – $(a+4)$, для третьей – $2(a-4)$.

$\frac{2(24-2a)}{2(a-4)(a+4)} - \frac{a(a+4)}{2(a-4)(a+4)} + \frac{4 \cdot 2(a-4)}{2(a-4)(a+4)}$

Запишем все под общим знаменателем:

$\frac{2(24-2a) - a(a+4) + 8(a-4)}{2(a-4)(a+4)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{48 - 4a - a^2 - 4a + 8a - 32}{2(a-4)(a+4)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{-a^2 + (-4a - 4a + 8a) + (48 - 32)}{2(a-4)(a+4)} = \frac{-a^2 + 0 \cdot a + 16}{2(a-4)(a+4)} = \frac{16 - a^2}{2(a-4)(a+4)}$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $16 - a^2 = (4-a)(4+a)$:

$\frac{(4-a)(4+a)}{2(a-4)(a+4)}$

Заметим, что $4-a = -(a-4)$ и $4+a = a+4$. Перепишем числитель:

$\frac{-(a-4)(a+4)}{2(a-4)(a+4)}$

Сократим дробь на $(a-4)(a+4)$, так как по ОДЗ $a \neq 4$ и $a \neq -4$:

$\frac{-1}{2} = -0.5$

Значение выражения равно $-\frac{1}{2}$ и не зависит от значения переменной $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.