Номер 108, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 108, страница 28.

Условие.

108. Выполните действия:

1) $\frac{3}{x+3} + \frac{x+4}{x^2-9};$

2) $\frac{a^2}{a^2-64} - \frac{a}{a-8};$

3) $\frac{6b}{9b^2-4} - \frac{1}{3b-2};$

4) $\frac{3a+b}{a^2-b^2} + \frac{1}{a+b};$

5) $\frac{m}{m+5} - \frac{m^2}{m^2+10m+25};$

6) $\frac{b}{a+b} - \frac{b^2}{a^2+b^2+2ab};$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{3}{x+3} + \frac{x+4}{x^2 - 9}$

Чтобы сложить дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатель второй дроби на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3)$.

Выражение принимает вид:
$\frac{3}{x+3} + \frac{x+4}{(x-3)(x+3)}$

Общий знаменатель дробей — это $(x-3)(x+3)$. Дополнительный множитель для первой дроби равен $(x-3)$. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на этот множитель:

$\frac{3(x-3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{x+4}{(x-3)(x+3)}$

Теперь сложим числители, а знаменатель оставим прежним:

$\frac{3(x-3) + (x+4)}{(x-3)(x+3)} = \frac{3x - 9 + x + 4}{(x-3)(x+3)} = \frac{4x - 5}{(x-3)(x+3)}$

Можно представить знаменатель в исходном виде:

$\frac{4x-5}{x^2-9}$

Ответ: $\frac{4x-5}{x^2-9}$

2) $\frac{a^2}{a^2 - 64} - \frac{a}{a-8}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби: $a^2 - 64 = a^2 - 8^2 = (a-8)(a+8)$.

Выражение принимает вид:
$\frac{a^2}{(a-8)(a+8)} - \frac{a}{a-8}$

Общий знаменатель — $(a-8)(a+8)$. Дополнительный множитель для второй дроби — $(a+8)$.

$\frac{a^2}{(a-8)(a+8)} - \frac{a(a+8)}{(a-8)(a+8)} = \frac{a^2 - a(a+8)}{(a-8)(a+8)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{a^2 - a^2 - 8a}{(a-8)(a+8)} = \frac{-8a}{(a-8)(a+8)} = \frac{-8a}{a^2-64}$

Ответ: $\frac{-8a}{a^2-64}$

3) $\frac{6b}{9b^2 - 4} - \frac{1}{3b-2}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби: $9b^2 - 4 = (3b)^2 - 2^2 = (3b-2)(3b+2)$.

Выражение принимает вид:
$\frac{6b}{(3b-2)(3b+2)} - \frac{1}{3b-2}$

Общий знаменатель — $(3b-2)(3b+2)$. Дополнительный множитель для второй дроби — $(3b+2)$.

$\frac{6b}{(3b-2)(3b+2)} - \frac{1(3b+2)}{(3b-2)(3b+2)} = \frac{6b - (3b+2)}{(3b-2)(3b+2)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{6b - 3b - 2}{(3b-2)(3b+2)} = \frac{3b-2}{(3b-2)(3b+2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(3b-2)$:

$\frac{1}{3b+2}$

Ответ: $\frac{1}{3b+2}$

4) $\frac{3a+b}{a^2 - b^2} + \frac{1}{a+b}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Общий знаменатель — $(a-b)(a+b)$. Дополнительный множитель для второй дроби — $(a-b)$.

$\frac{3a+b}{(a-b)(a+b)} + \frac{1(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{(3a+b) + (a-b)}{(a-b)(a+b)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{3a+a+b-b}{(a-b)(a+b)} = \frac{4a}{(a-b)(a+b)} = \frac{4a}{a^2-b^2}$

Ответ: $\frac{4a}{a^2-b^2}$

5) $\frac{m}{m+5} - \frac{m^2}{m^2 + 10m + 25}$

Знаменатель второй дроби является полным квадратом. Используем формулу квадрата суммы $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$:
$m^2 + 10m + 25 = m^2 + 2 \cdot m \cdot 5 + 5^2 = (m+5)^2$.

Выражение принимает вид:
$\frac{m}{m+5} - \frac{m^2}{(m+5)^2}$

Общий знаменатель — $(m+5)^2$. Дополнительный множитель для первой дроби — $(m+5)$.

$\frac{m(m+5)}{(m+5)^2} - \frac{m^2}{(m+5)^2} = \frac{m(m+5) - m^2}{(m+5)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{m^2 + 5m - m^2}{(m+5)^2} = \frac{5m}{(m+5)^2}$

Ответ: $\frac{5m}{(m+5)^2}$

6) $\frac{b}{a+b} - \frac{b^2}{a^2 + b^2 + 2ab}$

Знаменатель второй дроби является полным квадратом. Переставим слагаемые и применим формулу квадрата суммы:
$a^2 + b^2 + 2ab = a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

Выражение принимает вид:
$\frac{b}{a+b} - \frac{b^2}{(a+b)^2}$

Общий знаменатель — $(a+b)^2$. Дополнительный множитель для первой дроби — $(a+b)$.

$\frac{b(a+b)}{(a+b)^2} - \frac{b^2}{(a+b)^2} = \frac{b(a+b) - b^2}{(a+b)^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{ab + b^2 - b^2}{(a+b)^2} = \frac{ab}{(a+b)^2}$

Ответ: $\frac{ab}{(a+b)^2}$