Номер 106, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Глава 1. Рациональные выражения - номер 106, страница 27.

Условие.

106. Выполните сложение или вычитание дробей:

1) $\frac{a}{a-2} - \frac{3a+1}{3a-6};$

2) $\frac{18}{b^2 + 3b} - \frac{6}{b};$

3) $\frac{2}{c+1} - \frac{c-1}{c^2+c};$

4) $\frac{d-1}{2d-8} + \frac{d}{d-4};$

5) $\frac{m+1}{3m-15} - \frac{m-1}{2m-10};$

6) $\frac{m-2n}{6m+6n} - \frac{m-3n}{4m+4n};$

7) $\frac{a^2+2}{a^2+2a} - \frac{a+4}{2a+4};$

8) $\frac{3x-4y}{x^2-2xy} - \frac{3y-x}{xy-2y^2};$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{a}{a-2} - \frac{3a+1}{3a-6}$

Для выполнения вычитания приведем дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители. Знаменатель второй дроби: $3a-6 = 3(a-2)$.

Теперь выражение выглядит так: $\frac{a}{a-2} - \frac{3a+1}{3(a-2)}$. Общий знаменатель - $3(a-2)$.

Приводим первую дробь к общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{3 \cdot a}{3(a-2)} - \frac{3a+1}{3(a-2)} = \frac{3a - (3a+1)}{3(a-2)} = \frac{3a - 3a - 1}{3(a-2)} = \frac{-1}{3(a-2)}$

Ответ: $-\frac{1}{3(a-2)}$

2) $\frac{18}{b^2+3b} - \frac{6}{b}$

Разложим знаменатель первой дроби на множители: $b^2+3b = b(b+3)$. Общий знаменатель дробей - $b(b+3)$.

Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(b+3)$:

$\frac{18}{b(b+3)} - \frac{6(b+3)}{b(b+3)} = \frac{18 - (6b+18)}{b(b+3)} = \frac{18 - 6b - 18}{b(b+3)} = \frac{-6b}{b(b+3)}$

Сокращаем дробь на общий множитель $b$:

$\frac{-6b}{b(b+3)} = -\frac{6}{b+3}$

Ответ: $-\frac{6}{b+3}$

3) $\frac{2}{c+1} - \frac{c-1}{c^2+c}$

Найдем общий знаменатель, разложив второй знаменатель на множители: $c^2+c = c(c+1)$. Общий знаменатель - $c(c+1)$.

Приведем первую дробь к общему знаменателю, домножив ее на $c$:

$\frac{2c}{c(c+1)} - \frac{c-1}{c(c+1)} = \frac{2c - (c-1)}{c(c+1)} = \frac{2c-c+1}{c(c+1)} = \frac{c+1}{c(c+1)}$

Сокращаем дробь на общий множитель $(c+1)$:

$\frac{c+1}{c(c+1)} = \frac{1}{c}$

Ответ: $\frac{1}{c}$

4) $\frac{d-1}{2d-8} + \frac{d}{d-4}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби: $2d-8 = 2(d-4)$. Общий знаменатель дробей - $2(d-4)$.

Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на 2:

$\frac{d-1}{2(d-4)} + \frac{2d}{2(d-4)} = \frac{d-1+2d}{2(d-4)} = \frac{3d-1}{2(d-4)}$

Полученная дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{3d-1}{2(d-4)}$

5) $\frac{m+1}{3m-15} - \frac{m-1}{2m-10}$

Разложим знаменатели на множители: $3m-15 = 3(m-5)$ и $2m-10 = 2(m-5)$.

Общий знаменатель равен $2 \cdot 3 \cdot (m-5) = 6(m-5)$.

При