Номер 104, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 104, страница 27.

Условие.

104. Упростите выражение:

1) $\frac{1}{b(a-b)} - \frac{1}{a(a-b)};$

2) $\frac{5}{a} + \frac{30}{a(a-6)};$

3) $\frac{3}{x-2} - \frac{2x+2}{x(x-2)};$

4) $\frac{y}{2(y+3)} - \frac{y}{5(y+3)};$

5) $\frac{5m+3}{2(m+1)} - \frac{7m+4}{3(m+1)};$

6) $\frac{c-a}{a(a+b)} + \frac{c+b}{b(a+b)}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{b(a - b)} - \frac{1}{a(a - b)}$, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем для дробей является выражение $ab(a - b)$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $a$, а второй дроби на $b$:

$\frac{1 \cdot a}{b(a - b) \cdot a} - \frac{1 \cdot b}{a(a - b) \cdot b} = \frac{a}{ab(a - b)} - \frac{b}{ab(a - b)}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{a - b}{ab(a - b)}$

Сократим числитель и знаменатель на общий множитель $(a - b)$:

$\frac{1}{ab}$

Ответ: $\frac{1}{ab}$

2) В выражении $\frac{5}{a} + \frac{30}{a(a - 6)}$ приведем дроби к общему знаменателю $a(a - 6)$.

Для этого домножим первую дробь на множитель $(a - 6)$:

$\frac{5(a - 6)}{a(a - 6)} + \frac{30}{a(a - 6)} = \frac{5a - 30 + 30}{a(a - 6)}$

Упростим числитель:

$\frac{5a}{a(a - 6)}$

Сократим дробь на $a$:

$\frac{5}{a - 6}$

Ответ: $\frac{5}{a-6}$

3) В выражении $\frac{3}{x - 2} - \frac{2x + 2}{x(x - 2)}$ общий знаменатель $x(x - 2)$.

Домножим первую дробь на $x$:

$\frac{3x}{x(x - 2)} - \frac{2x + 2}{x(x - 2)} = \frac{3x - (2x + 2)}{x(x - 2)}$

Раскроем скобки в числителе. Обратите внимание, что знак минус перед дробью относится ко всему числителю:

$\frac{3x - 2x - 2}{x(x - 2)} = \frac{x - 2}{x(x - 2)}$

Сократим дробь на $(x - 2)$:

$\frac{1}{x}$

Ответ: $\frac{1}{x}$

4) В выражении $\frac{y}{2(y + 3)} - \frac{y}{5(y + 3)}$ общий знаменатель равен $10(y + 3)$.

Домножим первую дробь на 5, а вторую на 2:

$\frac{5y}{10(y + 3)} - \frac{2y}{10(y + 3)} = \frac{5y - 2y}{10(y + 3)}$

Упростим числитель:

$\frac{3y}{10(y + 3)}$

Ответ: $\frac{3y}{10(y+3)}$

5) В выражении $\frac{5m + 3}{2(m + 1)} - \frac{7m + 4}{3(m + 1)}$ общий знаменатель равен $6(m + 1)$.

Домножим первую дробь на 3, а вторую на 2:

$\frac{3(5m + 3)}{6(m + 1)} - \frac{2(7m + 4)}{6(m + 1)} = \frac{(15m + 9) - (14m + 8)}{6(m + 1)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{15m + 9 - 14m - 8}{6(m + 1)} = \frac{m + 1}{6(m + 1)}$

Сократим дробь на $(m + 1)$:

$\frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

6) В выражении $\frac{c - a}{a(a + b)} + \frac{c + b}{b(a + b)}$ общий знаменатель равен $ab(a + b)$.

Домножим первую дробь на $b$, а вторую на $a$:

$\frac{b(c - a)}{ab(a + b)} + \frac{a(c + b)}{ab(a + b)} = \frac{bc - ab + ac + ab}{ab(a + b)}$

Упростим числитель, взаимно уничтожив слагаемые $-ab$ и $ab$:

$\frac{bc + ac}{ab(a + b)}$

Вынесем в числителе общий множитель $c$ за скобки:

$\frac{c(b + a)}{ab(a + b)}$

Так как $b+a = a+b$, сократим дробь на $(a + b)$:

$\frac{c}{ab}$

Ответ: $\frac{c}{ab}$