Номер 100, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Глава 1. Рациональные выражения - номер 100, страница 26.

Условие.

100. Упростите выражение:

1) $ \frac{a+7}{12} + \frac{a-4}{9} $;

2) $ \frac{2b-7c}{6} - \frac{3b+2c}{15} $;

3) $ \frac{3x-2}{x} - \frac{3y-1}{y} $;

4) $ \frac{6p+1}{p} - \frac{2p+8}{3p} $;

5) $ \frac{5m-n}{14m} - \frac{m-6n}{7m} $;

6) $ \frac{x+4}{11x} - \frac{y-3}{11y} $;

7) $ \frac{a+b}{ab} + \frac{a-c}{ac} $;

8) $ \frac{2}{p^2} + \frac{p-1}{p} $;

9) $ \frac{k+4}{k} - \frac{3k-4}{k^2} $;

10) $ \frac{x-y}{x^3} - \frac{y-x^2}{x^2y} $;

11) $ \frac{2m-3n}{m^2n} + \frac{7m-2n}{mn^2} $;

12) $ \frac{c+d}{cd^4} - \frac{c^2-8d}{c^3d^3} $;

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы сложить дроби $\frac{a+7}{12}$ и $\frac{a-4}{9}$, найдем их наименьший общий знаменатель (НОЗ). НОЗ для 12 и 9 равен 36.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель 3 ($\frac{36}{12}=3$), а второй дроби — на 4 ($\frac{36}{9}=4$):
$\frac{a+7}{12} + \frac{a-4}{9} = \frac{3 \cdot (a+7)}{36} + \frac{4 \cdot (a-4)}{36} = \frac{3(a+7) + 4(a-4)}{36}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{3a + 21 + 4a - 16}{36} = \frac{(3a+4a) + (21-16)}{36} = \frac{7a+5}{36}$
Ответ: $\frac{7a+5}{36}$

2) Чтобы вычесть дроби $\frac{2b-7c}{6}$ и $\frac{3b+2c}{15}$, найдем их НОЗ. НОЗ для 6 и 15 равен 30.
Дополнительный множитель для первой дроби — 5 ($\frac{30}{6}=5$), для второй — 2 ($\frac{30}{15}=2$):
$\frac{2b-7c}{6} - \frac{3b+2c}{15} = \frac{5(2b-7c)}{30} - \frac{2(3b+2c)}{30} = \frac{5(2b-7c) - 2(3b+2c)}{30}$
Раскроем скобки в числителе, учитывая знак минус перед второй дробью:
$\frac{10b - 35c - 6b - 4c}{30} = \frac{(10b-6b) + (-35c-4c)}{30} = \frac{4b-39c}{30}$
Ответ: $\frac{4b-39c}{30}$

3) Выполним вычитание дробей $\frac{3x-2}{x} - \frac{3y-1}{y}$. Общий знаменатель — $xy$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $y$, для второй — $x$:
$\frac{y(3x-2)}{xy} - \frac{x(3y-1)}{xy} = \frac{y(3x-2) - x(3y-1)}{xy}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{3xy - 2y - 3xy + x}{xy} = \frac{(3xy-3xy) + x - 2y}{xy} = \frac{x-2y}{xy}$
Ответ: $\frac{x-2y}{xy}$

4) Упростим выражение $\frac{6p+1}{p} - \frac{2p+8}{3p}$. Общий знаменатель — $3p$.
Дополнительный множитель для первой дроби — 3, для второй — 1:
$\frac{3(6p+1)}{3p} - \frac{1(2p+8)}{3p} = \frac{3(6p+1) - (2p+8)}{3p}$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{18p + 3 - 2p - 8}{3p} = \frac{(18p-2p) + (3-8)}{3p} = \frac{16p-5}{3p}$
Ответ: $\frac{16p-5}{3p}$

5) Упростим выражение $\frac{5m-n}{14m} - \frac{m-6n}{7m}$. Общий знаменатель — $14m$.
Дополнительный множитель для второй дроби — 2 ($\frac{14m}{7m}=2$):
$\frac{5m-n}{14m} - \frac{2(m-6n)}{14m} = \frac{(5m-n) - 2(m-6n)}{14m}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$\frac{5m - n - 2m + 12n}{14m} = \frac{(5m-2m) + (-n+12n)}{14m} = \frac{3m+11n}{14m}$
Ответ: $\frac{3m+11n}{14m}$

6) Упростим выражение $\frac{x+4}{11x} - \frac{y-3}{11y}$. Общий знаменатель — $11xy$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $y$, для второй — $x$:
$\frac{y(x+4)}{11xy} - \frac{x(y-3)}{11xy} = \frac{y(x+4) - x(y-3)}{11xy}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{xy + 4y - xy + 3x}{11xy} = \frac{(xy-xy) + 3x + 4y}{11xy} = \frac{3x+4y}{11xy}$
Ответ: $\frac{3x+4y}{11xy}$

7) Упростим выражение $\frac{a+b}{ab} + \frac{a-c}{ac}$. Общий знаменатель — $abc$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $c$, для второй — $b$:
$\frac{c(a+b)}{abc} + \frac{b(a-c)}{abc} = \frac{c(a+b) + b(a-c)}{abc}$
Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{ac + bc + ab - bc}{abc} = \frac{ac + ab + (bc-bc)}{abc} = \frac{ac+ab}{abc}$
Вынесем общий множитель $a$ в числителе и сократим дробь:
$\frac{a(c+b)}{abc} = \frac{b+c}{bc}$
Ответ: $\frac{b+c}{bc}$

8) Упростим выражение $\frac{2}{p^2} + \frac{p-1}{p}$. Общий знаменатель — $p^2$.
Дополнительный множитель для второй дроби — $p$:
$\frac{2}{p^2} + \frac{p(p-1)}{p^2} = \frac{2 + p(p-1)}{p^2}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{2 + p^2 - p}{p^2} = \frac{p^2-p+2}{p^2}$
Ответ: $\frac{p^2-p+2}{p^2}$

9) Упростим выражение $\frac{k+4}{k} - \frac{3k-4}{k^2}$. Общий знаменатель — $k^2$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $k$:
$\frac{k(k+4)}{k^2} - \frac{3k-4}{k^2} = \frac{k(k+4) - (3k-4)}{k^2}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{k^2 + 4k - 3k + 4}{k^2} = \frac{k^2 + k + 4}{k^2}$
Ответ: $\frac{k^2+k+4}{k^2}$

10) Упростим выражение $\frac{x-y}{x^3} - \frac{y-x^2}{x^2y}$. Общий знаменатель — $x^3y$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $y$, для второй — $x$:
$\frac{y(x-y)}{x^3y} - \frac{x(y-x^2)}{x^3y} = \frac{y(x-y) - x(y-x^2)}{x^3y}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{xy - y^2 - xy + x^3}{x^3y} = \frac{(xy-xy) + x^3 - y^2}{x^3y} = \frac{x^3-y^2}{x^3y}$
Ответ: $\frac{x^3-y^2}{x^3y}$

11) Упростим выражение $\frac{2m-3n}{m^2n} + \frac{7m-2n}{mn^2}$. Общий знаменатель — $m^2n^2$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $n$, для второй — $m$:
$\frac{n(2m-3n)}{m^2n^2} + \frac{m(7m-2n)}{m^2n^2} = \frac{n(2m-3n) + m(7m-2n)}{m^2n^2}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{2mn - 3n^2 + 7m^2 - 2mn}{m^2n^2} = \frac{7m^2 - 3n^2 + (2mn-2mn)}{m^2n^2} = \frac{7m^2-3n^2}{m^2n^2}$
Ответ: $\frac{7m^2-3n^2}{m^2n^2}$

12) Упростим выражение $\frac{c+d}{cd^4} - \frac{c^2-8d}{c^3d^3}$. Общий знаменатель — $c^3d^4$.
Дополнительный множитель для первой дроби — $c^2$, для второй — $d$:
$\frac{c^2(c+d)}{c^3d^4} - \frac{d(c^2-8d)}{c^3d^4} = \frac{c^2(c+d) - d(c^2-8d)}{c^3d^4}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{c^3 + c^2d - c^2d + 8d^2}{c^3d^4} = \frac{c^3 + (c^2d-c^2d) + 8d^2}{c^3d^4} = \frac{c^3+8d^2}{c^3d^4}$
Ответ: $\frac{c^3+8d^2}{c^3d^4}$