Номер 96, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Упражнения - номер 96, страница 24.

Условие.

96. Приведите к общему знаменателю дроби:

1) $\frac{1}{3a}$ и $\frac{2}{3b}$;

2) $\frac{4m}{p^3q^2}$ и $\frac{3n}{p^2q^3}$;

3) $\frac{5}{m-n}$ и $\frac{6}{m+n}$;

4) $\frac{6x}{x-2y}$ и $\frac{y}{x+y}$;

5) $\frac{y}{6y-36}$ и $\frac{1}{y^2-6y}$;

6) $\frac{1}{a^2-1}$ и $\frac{1}{a^2+a}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Даны дроби $\frac{1}{3a}$ и $\frac{2}{3b}$.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, найдем наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей $3a$ и $3b$.
Общий числовой коэффициент — 3. Переменные части — $a$ и $b$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен произведению числового коэффициента и всех переменных, то есть НОЗ = $3ab$.
Найдем дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{3ab}{3a} = b$.
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $b$:
$\frac{1}{3a} = \frac{1 \cdot b}{3a \cdot b} = \frac{b}{3ab}$.
Найдем дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{3ab}{3b} = a$.
Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $a$:
$\frac{2}{3b} = \frac{2 \cdot a}{3b \cdot a} = \frac{2a}{3ab}$.
Ответ: $\frac{b}{3ab}$ и $\frac{2a}{3ab}$.

2) Даны дроби $\frac{4m}{p^3q^2}$ и $\frac{3n}{p^2q^3}$.
Знаменатели дробей: $p^3q^2$ и $p^2q^3$.
Для нахождения НОЗ берем каждую переменную в наибольшей степени, в которой она встречается в знаменателях. Для $p$ это $p^3$, для $q$ это $q^3$.
Следовательно, НОЗ = $p^3q^3$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{p^3q^3}{p^3q^2} = q$.
$\frac{4m}{p^3q^2} = \frac{4m \cdot q}{p^3q^2 \cdot q} = \frac{4mq}{p^3q^3}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{p^3q^3}{p^2q^3} = p$.
$\frac{3n}{p^2q^3} = \frac{3n \cdot p}{p^2q^3 \cdot p} = \frac{3np}{p^3q^3}$.
Ответ: $\frac{4mq}{p^3q^3}$ и $\frac{3np}{p^3q^3}$.

3) Даны дроби $\frac{5}{m-n}$ и $\frac{6}{m+n}$.
Знаменатели $(m-n)$ и $(m+n)$ — это два разных сопряженных выражения. Общий знаменатель будет их произведением.
НОЗ = $(m-n)(m+n) = m^2-n^2$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $m+n$.
$\frac{5}{m-n} = \frac{5 \cdot (m+n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{5m+5n}{m^2-n^2}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $m-n$.
$\frac{6}{m+n} = \frac{6 \cdot (m-n)}{(m+n)(m-n)} = \frac{6m-6n}{m^2-n^2}$.
Ответ: $\frac{5m+5n}{m^2-n^2}$ и $\frac{6m-6n}{m^2-n^2}$.

4) Даны дроби $\frac{6x}{x-2y}$ и $\frac{y}{x+y}$.
Знаменатели $(x-2y)$ и $(x+y)$ являются различными многочленами. Общий знаменатель равен их произведению.
НОЗ = $(x-2y)(x+y)$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $x+y$.
$\frac{6x}{x-2y} = \frac{6x(x+y)}{(x-2y)(x+y)} = \frac{6x^2+6xy}{(x-2y)(x+y)}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $x-2y$.
$\frac{y}{x+y} = \frac{y(x-2y)}{(x+y)(x-2y)} = \frac{xy-2y^2}{(x-2y)(x+y)}$.
Ответ: $\frac{6x^2+6xy}{(x-2y)(x+y)}$ и $\frac{xy-2y^2}{(x-2y)(x+y)}$.

5) Даны дроби $\frac{y}{6y-36}$ и $\frac{1}{y^2-6y}$.
Сначала разложим знаменатели на множители, чтобы найти общие части.
Знаменатель первой дроби: $6y-36 = 6(y-6)$.
Знаменатель второй дроби: $y^2-6y = y(y-6)$.
НОЗ должен включать все уникальные множители: $6$, $y$ и $(y-6)$.
НОЗ = $6y(y-6)$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{6y(y-6)}{6(y-6)} = y$.
$\frac{y}{6(y-6)} = \frac{y \cdot y}{6y(y-6)} = \frac{y^2}{6y(y-6)}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{6y(y-6)}{y(y-6)} = 6$.
$\frac{1}{y(y-6)} = \frac{1 \cdot 6}{6y(y-6)} = \frac{6}{6y(y-6)}$.
Ответ: $\frac{y^2}{6y(y-6)}$ и $\frac{6}{6y(y-6)}$.

6) Даны дроби $\frac{1}{a^2-1}$ и $\frac{1}{a^2+a}$.
Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби (разность квадратов): $a^2-1 = (a-1)(a+1)$.
Знаменатель второй дроби (вынесение общего множителя): $a^2+a = a(a+1)$.
Общий множитель для обоих знаменателей — $(a+1)$. Уникальные множители — $(a-1)$ и $a$.
НОЗ равен произведению всех уникальных и общих множителей: $a(a-1)(a+1)$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{a(a-1)(a+1)}{(a-1)(a+1)} = a$.
$\frac{1}{(a-1)(a+1)} = \frac{1 \cdot a}{a(a-1)(a+1)} = \frac{a}{a(a-1)(a+1)}$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{a(a-1)(a+1)}{a(a+1)} = a-1$.
$\frac{1}{a(a+1)} = \frac{1 \cdot (a-1)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{a-1}{a(a-1)(a+1)}$.
Ответ: $\frac{a}{a(a-1)(a+1)}$ и $\frac{a-1}{a(a-1)(a+1)}$.