Номер 89, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Упражнения - номер 89, страница 23.

Условие.

89. Найдите все натуральные значения n, при которых значение выражения является целым числом:

1) $ \frac{n+6}{n}; $

2) $ \frac{3n^2-4n-14}{n}; $

3) $ \frac{4n+7}{2n-3}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы значение выражения $\frac{n+6}{n}$ было целым числом, необходимо, чтобы $n$ было натуральным делителем числа 6, так как выражение можно преобразовать к виду $1 + \frac{6}{n}$.

Выражение $1 + \frac{6}{n}$ является целым, если дробь $\frac{6}{n}$ является целым числом. Это возможно, когда знаменатель $n$ является делителем числителя 6.

Натуральными делителями числа 6 являются числа 1, 2, 3, 6.

Проверим эти значения:
При $n=1$, $\frac{1+6}{1} = 7$.
При $n=2$, $\frac{2+6}{2} = 4$.
При $n=3$, $\frac{3+6}{3} = 3$.
При $n=6$, $\frac{6+6}{6} = 2$.
Все значения являются целыми числами.

Ответ: 1, 2, 3, 6.

2) Преобразуем выражение $\frac{3n^2 - 4n - 14}{n}$, разделив каждый член числителя на знаменатель $n$:

$\frac{3n^2}{n} - \frac{4n}{n} - \frac{14}{n} = 3n - 4 - \frac{14}{n}$.

Поскольку $n$ — натуральное число, выражение $3n - 4$ всегда будет целым. Следовательно, для того чтобы всё выражение было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{14}{n}$ была целым числом. Это означает, что $n$ должно быть натуральным делителем числа 14.

Натуральными делителями числа 14 являются 1, 2, 7, 14.

Проверим эти значения:
При $n=1$, $3(1) - 4 - \frac{14}{1} = -1 - 14 = -15$.
При $n=2$, $3(2) - 4 - \frac{14}{2} = 6 - 4 - 7 = -5$.
При $n=7$, $3(7) - 4 - \frac{14}{7} = 21 - 4 - 2 = 15$.
При $n=14$, $3(14) - 4 - \frac{14}{14} = 42 - 4 - 1 = 37$.
Все значения являются целыми числами.

Ответ: 1, 2, 7, 14.

3) Чтобы выяснить, при каких натуральных $n$ выражение $\frac{4n+7}{2n-3}$ является целым, выделим целую часть дроби. Для этого преобразуем числитель:

$4n + 7 = 2(2n - 3) + 6 + 7 = 2(2n - 3) + 13$.

Теперь подставим это в исходную дробь:

$\frac{2(2n - 3) + 13}{2n - 3} = \frac{2(2n - 3)}{2n - 3} + \frac{13}{2n - 3} = 2 + \frac{13}{2n - 3}$.

Выражение будет целым, если дробь $\frac{13}{2n - 3}$ будет целым числом. Это возможно, если знаменатель $2n - 3$ является делителем простого числа 13. Делителями числа 13 являются $1, -1, 13, -13$.

Рассмотрим все возможные случаи:
1. $2n - 3 = 1 \implies 2n = 4 \implies n = 2$. Это натуральное число.
2. $2n - 3 = -1 \implies 2n = 2 \implies n = 1$. Это натуральное число.
3. $2n - 3 = 13 \implies 2n = 16 \implies n = 8$. Это натуральное число.
4. $2n - 3 = -13 \implies 2n = -10 \implies n = -5$. Это не натуральное число.

Таким образом, подходят три натуральных значения $n$.

Ответ: 1, 2, 8.