Страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

84. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение$ \frac{2 - b^2}{(b - 5)^6} - \frac{7 - 3b}{(b - 5)^6} + \frac{7b - 20}{(b - 5)^6} $принимает отрицательные значения.

Для доказательства утверждения необходимо сначала упростить данное алгебраическое выражение, а затем проанализировать его знак при всех допустимых значениях переменной.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).

Выражение является дробным, поэтому его знаменатель не может быть равен нулю. Во всех трех дробях знаменатель одинаковый: $(b-5)^6$.

$(b-5)^6 \neq 0$

$b-5 \neq 0$

$b \neq 5$

Таким образом, допустимыми являются все значения переменной $b$, кроме 5.

2. Упрощение выражения.

Так как знаменатели дробей одинаковы, выполним сложение и вычитание их числителей:

$\frac{2 - b^2}{(b - 5)^6} - \frac{7 - 3b}{(b - 5)^6} + \frac{7b - 20}{(b - 5)^6} = \frac{(2 - b^2) - (7 - 3b) + (7b - 20)}{(b - 5)^6}$

Раскроем скобки в числителе, обращая внимание на знаки, и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2 - b^2 - 7 + 3b + 7b - 20}{(b - 5)^6} = \frac{-b^2 + (3b + 7b) + (2 - 7 - 20)}{(b - 5)^6} = \frac{-b^2 + 10b - 25}{(b - 5)^6}$

Теперь преобразуем числитель. Вынесем знак «–» за скобки:

$-b^2 + 10b - 25 = -(b^2 - 10b + 25)$

Выражение в скобках, $b^2 - 10b + 25$, является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(a-c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$. Здесь $a=b$ и $c=5$.

$b^2 - 10b + 25 = (b - 5)^2$

Следовательно, числитель равен $-(b - 5)^2$.

Подставим преобразованный числитель обратно в дробь:

$\frac{-(b - 5)^2}{(b - 5)^6}$

3. Анализ знака выражения.

Рассмотрим знак числителя и знаменателя при всех допустимых значениях $b \neq 5$.

Знаменатель: $(b - 5)^6$. Так как $b \neq 5$, основание степени $b-5$ не равно нулю. Любое ненулевое число, возведенное в четную степень (в данном случае 6), является строго положительным. Итак, $(b - 5)^6 > 0$.

Числитель: $-(b - 5)^2$. Так как $b \neq 5$, выражение $(b - 5)^2$ является квадратом ненулевого числа, а значит, оно строго положительно: $(b - 5)^2 > 0$. Знак «–» перед скобкой делает весь числитель строго отрицательным: $-(b - 5)^2 < 0$.

В результате мы имеем дробь, у которой числитель всегда отрицателен, а знаменатель всегда положителен. Деление отрицательного числа на положительное всегда дает отрицательный результат.

$\frac{-(b - 5)^2}{(b - 5)^6} < 0$

Таким образом, доказано, что при всех допустимых значениях переменной $b$ данное выражение принимает отрицательные значения.

Ответ: Утверждение доказано. После упрощения выражение принимает вид $\frac{-(b-5)^2}{(b-5)^6}$, что можно сократить до $-\frac{1}{(b-5)^4}$. При всех допустимых значениях $b \neq 5$, знаменатель $(b-5)^4$ строго положителен (как ненулевое число в четной степени), следовательно, все выражение $-\frac{1}{(b-5)^4}$ строго отрицательно.

85. Представьте данную дробь в виде суммы или разности целого и дробного выражения:

1) $ \frac{x+3}{x} $;

2) $ \frac{a^2 - 2a - 5}{a - 2} $.

1) Чтобы представить дробь $\frac{x+3}{x}$ в виде суммы целого и дробного выражений, разделим почленно каждый член числителя на знаменатель. Это возможно, так как в числителе находится сумма.

$\frac{x+3}{x} = \frac{x}{x} + \frac{3}{x}$

При условии, что $x \neq 0$, выражение $\frac{x}{x}$ равно $1$. Таким образом, мы получаем сумму целого числа и дробного выражения:

$1 + \frac{3}{x}$

Ответ: $1 + \frac{3}{x}$

2) Чтобы представить дробь $\frac{a^2 - 2a - 5}{a-2}$ в виде суммы или разности, нужно выделить целую часть. Это можно сделать путем деления многочлена в числителе на многочлен в знаменателе (например, "уголком") или путем преобразования числителя.

Воспользуемся вторым способом. Преобразуем числитель так, чтобы в нем появилось выражение, равное знаменателю $(a-2)$.

$a^2 - 2a - 5 = (a^2 - 2a) - 5 = a(a-2) - 5$

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь и разделим ее на две части:

$\frac{a(a-2) - 5}{a-2} = \frac{a(a-2)}{a-2} - \frac{5}{a-2}$

При условии, что $a-2 \neq 0$ (то есть $a \neq 2$), мы можем сократить первую дробь:

$a - \frac{5}{a-2}$

В результате мы представили исходную дробь в виде разности целого выражения $a$ и дробного выражения $\frac{5}{a-2}$.

Ответ: $a - \frac{5}{a-2}$

86. Представьте данную дробь в виде суммы или разности целого и дробного выражения:

1) $\frac{4a - b}{a}$;

2) $\frac{b^2 + 7b + 3}{b + 7}$.

1) Чтобы представить дробь $\frac{4a-b}{a}$ в виде суммы или разности, необходимо почленно разделить числитель на знаменатель. Это можно сделать, представив исходную дробь как разность двух дробей с одинаковым знаменателем.

$\frac{4a-b}{a} = \frac{4a}{a} - \frac{b}{a}$

Теперь упростим первую дробь. При условии, что $a \neq 0$, мы можем сократить $a$ в числителе и знаменателе:

$\frac{4a}{a} = 4$

В результате исходное выражение преобразуется в разность целого числа и дробного выражения:

$4 - \frac{b}{a}$

Ответ: $4 - \frac{b}{a}$.

2) Чтобы представить дробь $\frac{b^2+7b+3}{b+7}$ в виде суммы или разности целого и дробного выражений, нужно выделить целую часть дроби. Для этого можно выполнить деление многочлена в числителе на многочлен в знаменателе или преобразовать числитель, выделив в нём слагаемое, кратное знаменателю.

Сгруппируем слагаемые в числителе так, чтобы можно было вынести за скобки выражение $(b+7)$:

$b^2+7b+3 = (b^2+7b)+3 = b(b+7)+3$

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{b(b+7)+3}{b+7}$

Разделим полученное выражение на сумму двух дробей:

$\frac{b(b+7)}{b+7} + \frac{3}{b+7}$

Сократим первую дробь (при условии, что $b+7 \neq 0$):

$\frac{b(b+7)}{b+7} = b$

Таким образом, мы представили исходную дробь в виде суммы целого выражения $b$ и дробного выражения $\frac{3}{b+7}$:

$b + \frac{3}{b+7}$

Ответ: $b + \frac{3}{b+7}$.

87. Известно, что $\frac{x}{y} = 4$. Найдите значение выражения:

1) $\frac{y}{x}$;

2) $\frac{2x - 3y}{y}$;

3) $\frac{x^2 + y^2}{xy}$.

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{y}{x}$, необходимо заметить, что оно является обратным к исходному выражению $\frac{x}{y}$. Поскольку нам дано, что $\frac{x}{y} = 4$, мы можем найти обратную дробь:
$\frac{y}{x} = \frac{1}{\frac{x}{y}} = \frac{1}{4} = 0.25$
Ответ: $0.25$.

2) Для нахождения значения выражения $\frac{2x - 3y}{y}$ преобразуем его, разделив числитель почленно на знаменатель:
$\frac{2x - 3y}{y} = \frac{2x}{y} - \frac{3y}{y}$
Упростим второе слагаемое:
$\frac{2x}{y} - 3$
Теперь подставим известное значение $\frac{x}{y} = 4$:
$2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5$
Ответ: $5$.

3) Для нахождения значения выражения $\frac{x^2 + y^2}{xy}$ также разделим числитель почленно на знаменатель:
$\frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy}$
Сократим дроби:
$\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$
Из условия задачи мы знаем, что $\frac{x}{y} = 4$. Из решения пункта 1 мы знаем, что $\frac{y}{x} = \frac{1}{4}$. Подставим оба значения в выражение:
$4 + \frac{1}{4} = 4 + 0.25 = 4.25$
Ответ: $4.25$.

88. Известно, что $\frac{a}{b} = -2$. Найдите значение выражения:

1) $\frac{a - b}{a}$;

2) $\frac{4a + 5b}{b}$;

3) $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{ab}$.

Дано, что $\frac{a}{b} = -2$. Из этого соотношения мы можем выразить $a$ через $b$: $a = -2b$. Будем использовать это выражение для нахождения значений в каждом из подпунктов. Заметим, что $b \neq 0$, иначе исходное выражение было бы не определено, а также из $a=-2b$ следует, что и $a \neq 0$.

1) $\frac{a-b}{a}$

Подставим выражение $a = -2b$ в данную дробь:

$\frac{a-b}{a} = \frac{-2b - b}{-2b} = \frac{-3b}{-2b}$

Поскольку $b \neq 0$, мы можем сократить дробь на $b$:

$\frac{-3}{-2} = \frac{3}{2} = 1,5$

Ответ: 1,5.

2) $\frac{4a+5b}{b}$

Можно решить двумя способами.

Способ 1: Разделим числитель почленно на знаменатель:

$\frac{4a+5b}{b} = \frac{4a}{b} + \frac{5b}{b} = 4 \cdot \frac{a}{b} + 5$

Теперь подставим известное значение $\frac{a}{b} = -2$:

$4 \cdot (-2) + 5 = -8 + 5 = -3$

Способ 2: Подставим выражение $a = -2b$ в дробь:

$\frac{4a+5b}{b} = \frac{4(-2b) + 5b}{b} = \frac{-8b + 5b}{b} = \frac{-3b}{b}$

Сократим дробь на $b$:

$-3$

Ответ: -3.

3) $\frac{a^2 - 2ab + b^2}{ab}$

Сначала заметим, что числитель является формулой сокращенного умножения, а именно квадратом разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

Таким образом, выражение можно переписать в виде:

$\frac{(a-b)^2}{ab}$

Теперь подставим $a = -2b$ в числитель и знаменатель этого выражения:

Числитель: $(a-b)^2 = (-2b - b)^2 = (-3b)^2 = 9b^2$

Знаменатель: $ab = (-2b) \cdot b = -2b^2$

Теперь найдем значение дроби:

$\frac{9b^2}{-2b^2} = -\frac{9}{2} = -4,5$

Ответ: -4,5.

89. Найдите все натуральные значения n, при которых значение выражения является целым числом:

1) $ \frac{n+6}{n}; $

2) $ \frac{3n^2-4n-14}{n}; $

3) $ \frac{4n+7}{2n-3}. $

1) Чтобы значение выражения $\frac{n+6}{n}$ было целым числом, необходимо, чтобы $n$ было натуральным делителем числа 6, так как выражение можно преобразовать к виду $1 + \frac{6}{n}$.

Выражение $1 + \frac{6}{n}$ является целым, если дробь $\frac{6}{n}$ является целым числом. Это возможно, когда знаменатель $n$ является делителем числителя 6.

Натуральными делителями числа 6 являются числа 1, 2, 3, 6.

Проверим эти значения:
При $n=1$, $\frac{1+6}{1} = 7$.
При $n=2$, $\frac{2+6}{2} = 4$.
При $n=3$, $\frac{3+6}{3} = 3$.
При $n=6$, $\frac{6+6}{6} = 2$.
Все значения являются целыми числами.

Ответ: 1, 2, 3, 6.

2) Преобразуем выражение $\frac{3n^2 - 4n - 14}{n}$, разделив каждый член числителя на знаменатель $n$:

$\frac{3n^2}{n} - \frac{4n}{n} - \frac{14}{n} = 3n - 4 - \frac{14}{n}$.

Поскольку $n$ — натуральное число, выражение $3n - 4$ всегда будет целым. Следовательно, для того чтобы всё выражение было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{14}{n}$ была целым числом. Это означает, что $n$ должно быть натуральным делителем числа 14.

Натуральными делителями числа 14 являются 1, 2, 7, 14.

Проверим эти значения:
При $n=1$, $3(1) - 4 - \frac{14}{1} = -1 - 14 = -15$.
При $n=2$, $3(2) - 4 - \frac{14}{2} = 6 - 4 - 7 = -5$.
При $n=7$, $3(7) - 4 - \frac{14}{7} = 21 - 4 - 2 = 15$.
При $n=14$, $3(14) - 4 - \frac{14}{14} = 42 - 4 - 1 = 37$.
Все значения являются целыми числами.

Ответ: 1, 2, 7, 14.

3) Чтобы выяснить, при каких натуральных $n$ выражение $\frac{4n+7}{2n-3}$ является целым, выделим целую часть дроби. Для этого преобразуем числитель:

$4n + 7 = 2(2n - 3) + 6 + 7 = 2(2n - 3) + 13$.

Теперь подставим это в исходную дробь:

$\frac{2(2n - 3) + 13}{2n - 3} = \frac{2(2n - 3)}{2n - 3} + \frac{13}{2n - 3} = 2 + \frac{13}{2n - 3}$.

Выражение будет целым, если дробь $\frac{13}{2n - 3}$ будет целым числом. Это возможно, если знаменатель $2n - 3$ является делителем простого числа 13. Делителями числа 13 являются $1, -1, 13, -13$.

Рассмотрим все возможные случаи:
1. $2n - 3 = 1 \implies 2n = 4 \implies n = 2$. Это натуральное число.
2. $2n - 3 = -1 \implies 2n = 2 \implies n = 1$. Это натуральное число.
3. $2n - 3 = 13 \implies 2n = 16 \implies n = 8$. Это натуральное число.
4. $2n - 3 = -13 \implies 2n = -10 \implies n = -5$. Это не натуральное число.

Таким образом, подходят три натуральных значения $n$.

Ответ: 1, 2, 8.

90. Найдите все натуральные значения n, при которых значение выражения является целым числом:

1) $\frac{8n - 9}{n}$;

2) $\frac{n^2 + 2n - 8}{n}$;

3) $\frac{9n - 4}{3n - 5}$.

1) Чтобы значение выражения $\frac{8n-9}{n}$ было целым числом, необходимо, чтобы числитель $8n-9$ делился на знаменатель $n$ без остатка. Преобразуем данное выражение, разделив его почленно:
$\frac{8n-9}{n} = \frac{8n}{n} - \frac{9}{n} = 8 - \frac{9}{n}$
Выражение $8 - \frac{9}{n}$ является целым числом, если $\frac{9}{n}$ является целым числом, так как 8 — целое число. Это возможно только тогда, когда $n$ является делителем числа 9. Поскольку по условию $n$ — натуральное число, нам нужно найти все натуральные делители числа 9. Натуральные делители числа 9: 1, 3, 9. Следовательно, искомые значения $n$ — это 1, 3, 9.
Ответ: 1, 3, 9.

2) Рассмотрим выражение $\frac{n^2+2n-8}{n}$. Чтобы его значение было целым числом, преобразуем его, разделив почленно:
$\frac{n^2+2n-8}{n} = \frac{n^2}{n} + \frac{2n}{n} - \frac{8}{n} = n + 2 - \frac{8}{n}$
Поскольку $n$ — натуральное число, то $n+2$ всегда будет целым числом. Для того чтобы все выражение было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{8}{n}$ также была целым числом. Это выполняется, если $n$ является натуральным делителем числа 8. Натуральные делители числа 8: 1, 2, 4, 8. Таким образом, искомые значения $n$ — это 1, 2, 4, 8.
Ответ: 1, 2, 4, 8.

3) Рассмотрим выражение $\frac{9n-4}{3n-5}$. Для того чтобы найти натуральные $n$, при которых это выражение является целым числом, выделим целую часть дроби. Для этого представим числитель через знаменатель:
$9n - 4 = 3 \cdot (3n) - 4 = 3 \cdot (3n - 5 + 5) - 4 = 3(3n-5) + 3 \cdot 5 - 4 = 3(3n-5) + 15 - 4 = 3(3n-5) + 11$
Теперь подставим это в исходную дробь:
$\frac{9n-4}{3n-5} = \frac{3(3n-5) + 11}{3n-5} = \frac{3(3n-5)}{3n-5} + \frac{11}{3n-5} = 3 + \frac{11}{3n-5}$
Выражение будет целым, если дробь $\frac{11}{3n-5}$ будет целым числом. Это возможно, если знаменатель $3n-5$ является делителем числа 11. Делители числа 11: 1, -1, 11, -11. Рассмотрим каждый случай для натурального $n$:
1) $3n - 5 = 1 \implies 3n = 6 \implies n = 2$. Число 2 является натуральным.
2) $3n - 5 = 11 \implies 3n = 16 \implies n = \frac{16}{3}$. Не является натуральным числом.
3) $3n - 5 = -1 \implies 3n = 4 \implies n = \frac{4}{3}$. Не является натуральным числом.
4) $3n - 5 = -11 \implies 3n = -6 \implies n = -2$. Не является натуральным числом.
Единственное натуральное значение $n$, которое удовлетворяет условию, — это $n=2$.
Ответ: 2.

91. Из двух сёл, расстояние между которыми 9 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста и встретились через 20 мин. Если бы велосипедисты ехали в одном направлении, то один из них догнал бы другого через 3 ч. Найдите скорость каждого велосипедиста.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_1$ км/ч — скорость первого велосипедиста, а $v_2$ км/ч — скорость второго велосипедиста.

1. Составление уравнения для движения навстречу друг другу

Когда велосипедисты движутся навстречу друг другу, их общая скорость, или скорость сближения, равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$.

По условию, расстояние между сёлами $S = 9$ км, а время до встречи $t_1 = 20$ минут. Для удобства вычислений переведем время в часы: $t_1 = 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.

Расстояние, которое они проехали вместе до встречи, вычисляется по формуле $S = v_{сбл} \cdot t_1$. Подставим известные значения: $9 = (v_1 + v_2) \cdot \frac{1}{3}$.

Из этого уравнения выразим сумму скоростей: $v_1 + v_2 = 9 \cdot 3$ $v_1 + v_2 = 27$. Это первое уравнение системы.

2. Составление уравнения для движения в одном направлении

Когда велосипедисты движутся в одном направлении, один (более быстрый) догоняет другого (более медленного). Предположим, что $v_1 > v_2$. Скорость, с которой один догоняет другого (скорость сближения), равна разности их скоростей: $v_{отн} = v_1 - v_2$.

Начальное расстояние между ними $S = 9$ км, а время, через которое один догонит другого, $t_2 = 3$ часа.

Расстояние, которое должен преодолеть более быстрый велосипедист относительно медленного, вычисляется по формуле $S = v_{отн} \cdot t_2$. Подставим известные значения: $9 = (v_1 - v_2) \cdot 3$.

Выразим разность скоростей: $v_1 - v_2 = \frac{9}{3}$ $v_1 - v_2 = 3$. Это второе уравнение системы.

3. Решение системы уравнений

Мы получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} v_1 + v_2 = 27 \\ v_1 - v_2 = 3 \end{cases} $$

Сложим первое и второе уравнения системы: $(v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = 27 + 3$ $2v_1 = 30$ $v_1 = \frac{30}{2} = 15$ (км/ч).

Теперь подставим найденное значение $v_1$ в первое уравнение, чтобы найти $v_2$: $15 + v_2 = 27$ $v_2 = 27 - 15$ $v_2 = 12$ (км/ч).

Таким образом, скорости велосипедистов равны 15 км/ч и 12 км/ч.

Ответ: Скорость одного велосипедиста — 15 км/ч, скорость другого — 12 км/ч.

92. Решите уравнение:

1) $1 - 4(x+1) = 1,8 - 1,6x,$

2) $3(0,5x - 4) + 8,5x = 10x - 11.$

1) $1 - 4(x + 1) = 1,8 - 1,6x$

Для начала раскроем скобки в левой части уравнения, умножив $-4$ на каждое слагаемое в скобках:

$1 - 4 \cdot x - 4 \cdot 1 = 1,8 - 1,6x$

$1 - 4x - 4 = 1,8 - 1,6x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-3 - 4x = 1,8 - 1,6x$

Теперь соберем все слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а числовые слагаемые — в другой. Перенесем $-1,6x$ в левую часть (знак изменится на "+") и $-3$ в правую часть (знак изменится на "+"):

$-4x + 1,6x = 1,8 + 3$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$-2,4x = 4,8$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $-2,4$:

$x = \frac{4,8}{-2,4}$

$x = -2$

Ответ: $-2$

2) $3(0,5x - 4) + 8,5x = 10x - 11$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:

$3 \cdot 0,5x - 3 \cdot 4 + 8,5x = 10x - 11$

$1,5x - 12 + 8,5x = 10x - 11$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(1,5x + 8,5x) - 12 = 10x - 11$

$10x - 12 = 10x - 11$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$10x - 10x = -11 + 12$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$0 \cdot x = 1$

$0 = 1$

Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Это означает, что уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

93. Докажите, что выражение $(a+4)(a-8)+4(2a+9)$ при всех значениях $a$ принимает неотрицательные значения.

Для того чтобы доказать, что данное выражение принимает неотрицательные значения при всех значениях переменной a, мы сначала упростим его, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Исходное выражение: $(a + 4)(a - 8) + 4(2a + 9)$.

1. Раскроем скобки в произведении $(a + 4)(a - 8)$:

$(a + 4)(a - 8) = a \cdot a + a \cdot (-8) + 4 \cdot a + 4 \cdot (-8) = a^2 - 8a + 4a - 32 = a^2 - 4a - 32$.

2. Раскроем скобки во втором слагаемом $4(2a + 9)$:

$4(2a + 9) = 4 \cdot 2a + 4 \cdot 9 = 8a + 36$.

3. Теперь сложим результаты и упростим полученное выражение:

$(a^2 - 4a - 32) + (8a + 36) = a^2 - 4a - 32 + 8a + 36$.

4. Приведем подобные члены:

$a^2 + (-4a + 8a) + (-32 + 36) = a^2 + 4a + 4$.

Полученное выражение $a^2 + 4a + 4$ представляет собой формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В нашем случае $x=a$ и $y=2$.

Таким образом, мы можем свернуть выражение в полный квадрат:

$a^2 + 4a + 4 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a + 2)^2$.

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным, то есть большим или равным нулю. Следовательно, $(a + 2)^2 \ge 0$ при любом значении a.

Это доказывает, что исходное выражение $(a + 4)(a - 8) + 4(2a + 9)$ всегда принимает неотрицательные значения.

Ответ: После упрощения исходное выражение приводится к виду $(a + 2)^2$. Поскольку квадрат любого числа не может быть отрицательным (то есть, $(a + 2)^2 \ge 0$ для любого a), утверждение доказано.