Номер 84, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Рациональные выражения - номер 84, страница 23.

Условие.

84. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение$ \frac{2 - b^2}{(b - 5)^6} - \frac{7 - 3b}{(b - 5)^6} + \frac{7b - 20}{(b - 5)^6} $принимает отрицательные значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства утверждения необходимо сначала упростить данное алгебраическое выражение, а затем проанализировать его знак при всех допустимых значениях переменной.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).

Выражение является дробным, поэтому его знаменатель не может быть равен нулю. Во всех трех дробях знаменатель одинаковый: $(b-5)^6$.

$(b-5)^6 \neq 0$

$b-5 \neq 0$

$b \neq 5$

Таким образом, допустимыми являются все значения переменной $b$, кроме 5.

2. Упрощение выражения.

Так как знаменатели дробей одинаковы, выполним сложение и вычитание их числителей:

$\frac{2 - b^2}{(b - 5)^6} - \frac{7 - 3b}{(b - 5)^6} + \frac{7b - 20}{(b - 5)^6} = \frac{(2 - b^2) - (7 - 3b) + (7b - 20)}{(b - 5)^6}$

Раскроем скобки в числителе, обращая внимание на знаки, и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2 - b^2 - 7 + 3b + 7b - 20}{(b - 5)^6} = \frac{-b^2 + (3b + 7b) + (2 - 7 - 20)}{(b - 5)^6} = \frac{-b^2 + 10b - 25}{(b - 5)^6}$

Теперь преобразуем числитель. Вынесем знак «–» за скобки:

$-b^2 + 10b - 25 = -(b^2 - 10b + 25)$

Выражение в скобках, $b^2 - 10b + 25$, является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(a-c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$. Здесь $a=b$ и $c=5$.

$b^2 - 10b + 25 = (b - 5)^2$

Следовательно, числитель равен $-(b - 5)^2$.

Подставим преобразованный числитель обратно в дробь:

$\frac{-(b - 5)^2}{(b - 5)^6}$

3. Анализ знака выражения.

Рассмотрим знак числителя и знаменателя при всех допустимых значениях $b \neq 5$.

Знаменатель: $(b - 5)^6$. Так как $b \neq 5$, основание степени $b-5$ не равно нулю. Любое ненулевое число, возведенное в четную степень (в данном случае 6), является строго положительным. Итак, $(b - 5)^6 > 0$.

Числитель: $-(b - 5)^2$. Так как $b \neq 5$, выражение $(b - 5)^2$ является квадратом ненулевого числа, а значит, оно строго положительно: $(b - 5)^2 > 0$. Знак «–» перед скобкой делает весь числитель строго отрицательным: $-(b - 5)^2 < 0$.

В результате мы имеем дробь, у которой числитель всегда отрицателен, а знаменатель всегда положителен. Деление отрицательного числа на положительное всегда дает отрицательный результат.

$\frac{-(b - 5)^2}{(b - 5)^6} < 0$

Таким образом, доказано, что при всех допустимых значениях переменной $b$ данное выражение принимает отрицательные значения.

Ответ: Утверждение доказано. После упрощения выражение принимает вид $\frac{-(b-5)^2}{(b-5)^6}$, что можно сократить до $-\frac{1}{(b-5)^4}$. При всех допустимых значениях $b \neq 5$, знаменатель $(b-5)^4$ строго положителен (как ненулевое число в четной степени), следовательно, все выражение $-\frac{1}{(b-5)^4}$ строго отрицательно.