Номер 91, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Глава 1. Рациональные выражения - номер 91, страница 23.

Условие.

91. Из двух сёл, расстояние между которыми 9 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста и встретились через 20 мин. Если бы велосипедисты ехали в одном направлении, то один из них догнал бы другого через 3 ч. Найдите скорость каждого велосипедиста.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_1$ км/ч — скорость первого велосипедиста, а $v_2$ км/ч — скорость второго велосипедиста.

1. Составление уравнения для движения навстречу друг другу

Когда велосипедисты движутся навстречу друг другу, их общая скорость, или скорость сближения, равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$.

По условию, расстояние между сёлами $S = 9$ км, а время до встречи $t_1 = 20$ минут. Для удобства вычислений переведем время в часы: $t_1 = 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$.

Расстояние, которое они проехали вместе до встречи, вычисляется по формуле $S = v_{сбл} \cdot t_1$. Подставим известные значения: $9 = (v_1 + v_2) \cdot \frac{1}{3}$.

Из этого уравнения выразим сумму скоростей: $v_1 + v_2 = 9 \cdot 3$ $v_1 + v_2 = 27$. Это первое уравнение системы.

2. Составление уравнения для движения в одном направлении

Когда велосипедисты движутся в одном направлении, один (более быстрый) догоняет другого (более медленного). Предположим, что $v_1 > v_2$. Скорость, с которой один догоняет другого (скорость сближения), равна разности их скоростей: $v_{отн} = v_1 - v_2$.

Начальное расстояние между ними $S = 9$ км, а время, через которое один догонит другого, $t_2 = 3$ часа.

Расстояние, которое должен преодолеть более быстрый велосипедист относительно медленного, вычисляется по формуле $S = v_{отн} \cdot t_2$. Подставим известные значения: $9 = (v_1 - v_2) \cdot 3$.

Выразим разность скоростей: $v_1 - v_2 = \frac{9}{3}$ $v_1 - v_2 = 3$. Это второе уравнение системы.

3. Решение системы уравнений

Мы получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $$ \begin{cases} v_1 + v_2 = 27 \\ v_1 - v_2 = 3 \end{cases} $$

Сложим первое и второе уравнения системы: $(v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = 27 + 3$ $2v_1 = 30$ $v_1 = \frac{30}{2} = 15$ (км/ч).

Теперь подставим найденное значение $v_1$ в первое уравнение, чтобы найти $v_2$: $15 + v_2 = 27$ $v_2 = 27 - 15$ $v_2 = 12$ (км/ч).

Таким образом, скорости велосипедистов равны 15 км/ч и 12 км/ч.

Ответ: Скорость одного велосипедиста — 15 км/ч, скорость другого — 12 км/ч.