Номер 97, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 3. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Упражнения - номер 97, страница 24.

Условие.

97. Может ли чётное число иметь нечётных делителей больше, чем чётных?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Нет, чётное число не может иметь нечётных делителей больше, чем чётных. Вот подробное объяснение почему.

Любое чётное число $N$ по определению делится на 2. Это означает, что в его разложении на простые множители присутствует 2 в какой-то степени $k$, где $k$ — натуральное число ($k \ge 1$). Таким образом, любое чётное число $N$ можно представить в виде:

$N = 2^k \cdot m$

где $m$ — нечётное число (произведение всех нечётных простых множителей числа $N$).

Рассмотрим все делители числа $N$. Их можно разделить на две группы: нечётные и чётные.

Нечётные делители числа $N$ — это те его делители, которые не делятся на 2. Это возможно только в том случае, если в их разложении на простые множители отсутствует двойка. Следовательно, все нечётные делители числа $N$ являются делителями его нечётной части $m$. Пусть количество таких делителей равно $C_{нечет}$.

Чётные делители числа $N$ — это те его делители, которые делятся на 2. Любой чётный делитель можно получить, взяв нечётный делитель (то есть один из делителей числа $m$) и умножив его на $2^a$, где $a$ — целое число от 1 до $k$. Для каждого из $C_{нечет}$ нечётных делителей существует ровно $k$ различных чётных делителей (полученных умножением на $2^1, 2^2, \ldots, 2^k$). Таким образом, общее количество чётных делителей $C_{чет}$ составляет:

$C_{чет} = k \cdot C_{нечет}$

Вопрос заключается в том, может ли количество нечётных делителей быть больше количества чётных: $C_{нечет} > C_{чет}$?

Подставим в это неравенство выражение для $C_{чет}$:

$C_{нечет} > k \cdot C_{нечет}$

Поскольку любое число (включая $m$) имеет хотя бы один делитель (число 1), количество нечётных делителей $C_{нечет}$ всегда строго больше нуля ($C_{нечет} \ge 1$). Поэтому мы можем разделить обе части неравенства на $C_{нечет}$:

$1 > k$

Это неравенство противоречит нашему исходному условию, что для чётного числа $N = 2^k \cdot m$ показатель степени $k$ должен быть натуральным числом, то есть $k \ge 1$.

Таким образом, предположение неверно. Количество чётных делителей у чётного числа всегда больше или равно количеству нечётных делителей.

Ответ: Нет, не может.