Номер 102, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Глава 1. Рациональные выражения - номер 102, страница 27.
№102 (с. 27)
Условие. №102 (с. 27)
скриншот условия

102. Выполните действия:
1) $\frac{2}{x} + \frac{3x-2}{x+1}$;
2) $\frac{m}{n} - \frac{m}{m+n}$;
3) $\frac{a}{a-3} - \frac{3}{a+3}$;
4) $\frac{c}{3c-1} - \frac{c}{3c+1}$;
5) $\frac{x}{2y+1} - \frac{x}{3y-2}$;
6) $\frac{a-b}{b} - \frac{a-b}{a+b}$.
Решение 1. №102 (с. 27)






Решение 2. №102 (с. 27)

Решение 3. №102 (с. 27)

Решение 4. №102 (с. 27)

Решение 5. №102 (с. 27)

Решение 6. №102 (с. 27)

Решение 7. №102 (с. 27)

Решение 8. №102 (с. 27)
1) $\frac{2}{x} + \frac{3x-2}{x+1}$
Чтобы сложить две алгебраические дроби, нужно привести их к общему знаменателю. В данном случае знаменатели $x$ и $x+1$ не имеют общих множителей, поэтому общий знаменатель будет их произведением: $x(x+1)$.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $x+1$, а второй дроби на $x$:
$\frac{2}{x} + \frac{3x-2}{x+1} = \frac{2(x+1)}{x(x+1)} + \frac{x(3x-2)}{x(x+1)}$
Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, сложим их числители:
$\frac{2(x+1) + x(3x-2)}{x(x+1)}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$2(x+1) + x(3x-2) = 2x + 2 + 3x^2 - 2x = 3x^2 + 2$
Таким образом, получаем итоговую дробь:
$\frac{3x^2 + 2}{x(x+1)}$
Ответ: $\frac{3x^2+2}{x(x+1)}$
2) $\frac{m}{n} - \frac{m}{m+n}$
Находим общий знаменатель для дробей. Знаменатели $n$ и $m+n$ не имеют общих множителей, поэтому общий знаменатель равен их произведению: $n(m+n)$.
Приводим дроби к общему знаменателю. Первую дробь домножаем на $m+n$, вторую — на $n$:
$\frac{m(m+n)}{n(m+n)} - \frac{m \cdot n}{n(m+n)}$
Вычитаем числители, оставляя знаменатель прежним:
$\frac{m(m+n) - mn}{n(m+n)}$
Упрощаем выражение в числителе:
$m(m+n) - mn = m^2 + mn - mn = m^2$
Записываем окончательный результат:
$\frac{m^2}{n(m+n)}$
Ответ: $\frac{m^2}{n(m+n)}$
3) $\frac{a}{a-3} - \frac{3}{a+3}$
Общий знаменатель для дробей со знаменателями $a-3$ и $a+3$ является их произведение: $(a-3)(a+3)$. Это выражение можно записать с помощью формулы разности квадратов: $a^2 - 3^2 = a^2 - 9$.
Приводим дроби к общему знаменателю. Первую дробь домножаем на $a+3$, вторую — на $a-3$:
$\frac{a(a+3)}{(a-3)(a+3)} - \frac{3(a-3)}{(a-3)(a+3)}$
Производим вычитание числителей:
$\frac{a(a+3) - 3(a-3)}{a^2-9}$
Раскрываем скобки в числителе и упрощаем:
$a(a+3) - 3(a-3) = a^2 + 3a - (3a - 9) = a^2 + 3a - 3a + 9 = a^2 + 9$
Получаем итоговую дробь:
$\frac{a^2 + 9}{a^2 - 9}$
Ответ: $\frac{a^2+9}{a^2-9}$
4) $\frac{c}{3c-1} - \frac{c}{3c+1}$
Общий знаменатель для дробей со знаменателями $3c-1$ и $3c+1$ равен их произведению $(3c-1)(3c+1)$, что по формуле разности квадратов равно $(3c)^2 - 1^2 = 9c^2 - 1$.
Домножим первую дробь на $3c+1$, а вторую на $3c-1$:
$\frac{c(3c+1)}{(3c-1)(3c+1)} - \frac{c(3c-1)}{(3c-1)(3c+1)}$
Выполняем вычитание числителей:
$\frac{c(3c+1) - c(3c-1)}{9c^2-1}$
Упрощаем числитель:
$c(3c+1) - c(3c-1) = (3c^2 + c) - (3c^2 - c) = 3c^2 + c - 3c^2 + c = 2c$
Записываем результат:
$\frac{2c}{9c^2-1}$
Ответ: $\frac{2c}{9c^2-1}$
5) $\frac{x}{2y+1} - \frac{x}{3y-2}$
Находим общий знаменатель, который равен произведению знаменателей: $(2y+1)(3y-2)$.
Приводим дроби к общему знаменателю:
$\frac{x(3y-2)}{(2y+1)(3y-2)} - \frac{x(2y+1)}{(2y+1)(3y-2)}$
Вычитаем числители:
$\frac{x(3y-2) - x(2y+1)}{(2y+1)(3y-2)}$
Раскрываем скобки и упрощаем числитель:
$x(3y-2) - x(2y+1) = 3xy - 2x - (2xy + x) = 3xy - 2x - 2xy - x = xy - 3x$
Можно вынести общий множитель $x$ за скобки в числителе: $x(y-3)$.
Итоговое выражение:
$\frac{x(y-3)}{(2y+1)(3y-2)}$
Ответ: $\frac{x(y-3)}{(2y+1)(3y-2)}$
6) $\frac{a-b}{b} - \frac{a-b}{a+b}$
Общий знаменатель для данных дробей - это произведение их знаменателей: $b(a+b)$.
Приводим дроби к общему знаменателю:
$\frac{(a-b)(a+b)}{b(a+b)} - \frac{(a-b)b}{b(a+b)}$
Объединяем дроби, вычитая числители:
$\frac{(a-b)(a+b) - (a-b)b}{b(a+b)}$
Упростим числитель. Можно вынести общий множитель $(a-b)$ за скобки:
$(a-b)[(a+b) - b] = (a-b)(a+b-b) = (a-b)a = a(a-b)$
Записываем окончательный вид дроби:
$\frac{a(a-b)}{b(a+b)}$
Ответ: $\frac{a(a-b)}{b(a+b)}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 102 расположенного на странице 27 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №102 (с. 27), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.