Номер 102, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 102, страница 27.

Условие.

102. Выполните действия:

1) $\frac{2}{x} + \frac{3x-2}{x+1}$;

2) $\frac{m}{n} - \frac{m}{m+n}$;

3) $\frac{a}{a-3} - \frac{3}{a+3}$;

4) $\frac{c}{3c-1} - \frac{c}{3c+1}$;

5) $\frac{x}{2y+1} - \frac{x}{3y-2}$;

6) $\frac{a-b}{b} - \frac{a-b}{a+b}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{2}{x} + \frac{3x-2}{x+1}$

Чтобы сложить две алгебраические дроби, нужно привести их к общему знаменателю. В данном случае знаменатели $x$ и $x+1$ не имеют общих множителей, поэтому общий знаменатель будет их произведением: $x(x+1)$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $x+1$, а второй дроби на $x$:

$\frac{2}{x} + \frac{3x-2}{x+1} = \frac{2(x+1)}{x(x+1)} + \frac{x(3x-2)}{x(x+1)}$

Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, сложим их числители:

$\frac{2(x+1) + x(3x-2)}{x(x+1)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$2(x+1) + x(3x-2) = 2x + 2 + 3x^2 - 2x = 3x^2 + 2$

Таким образом, получаем итоговую дробь:

$\frac{3x^2 + 2}{x(x+1)}$

Ответ: $\frac{3x^2+2}{x(x+1)}$

2) $\frac{m}{n} - \frac{m}{m+n}$

Находим общий знаменатель для дробей. Знаменатели $n$ и $m+n$ не имеют общих множителей, поэтому общий знаменатель равен их произведению: $n(m+n)$.

Приводим дроби к общему знаменателю. Первую дробь домножаем на $m+n$, вторую — на $n$:

$\frac{m(m+n)}{n(m+n)} - \frac{m \cdot n}{n(m+n)}$

Вычитаем числители, оставляя знаменатель прежним:

$\frac{m(m+n) - mn}{n(m+n)}$

Упрощаем выражение в числителе:

$m(m+n) - mn = m^2 + mn - mn = m^2$

Записываем окончательный результат:

$\frac{m^2}{n(m+n)}$

Ответ: $\frac{m^2}{n(m+n)}$

3) $\frac{a}{a-3} - \frac{3}{a+3}$

Общий знаменатель для дробей со знаменателями $a-3$ и $a+3$ является их произведение: $(a-3)(a+3)$. Это выражение можно записать с помощью формулы разности квадратов: $a^2 - 3^2 = a^2 - 9$.

Приводим дроби к общему знаменателю. Первую дробь домножаем на $a+3$, вторую — на $a-3$:

$\frac{a(a+3)}{(a-3)(a+3)} - \frac{3(a-3)}{(a-3)(a+3)}$

Производим вычитание числителей:

$\frac{a(a+3) - 3(a-3)}{a^2-9}$

Раскрываем скобки в числителе и упрощаем:

$a(a+3) - 3(a-3) = a^2 + 3a - (3a - 9) = a^2 + 3a - 3a + 9 = a^2 + 9$

Получаем итоговую дробь:

$\frac{a^2 + 9}{a^2 - 9}$

Ответ: $\frac{a^2+9}{a^2-9}$

4) $\frac{c}{3c-1} - \frac{c}{3c+1}$

Общий знаменатель для дробей со знаменателями $3c-1$ и $3c+1$ равен их произведению $(3c-1)(3c+1)$, что по формуле разности квадратов равно $(3c)^2 - 1^2 = 9c^2 - 1$.

Домножим первую дробь на $3c+1$, а вторую на $3c-1$:

$\frac{c(3c+1)}{(3c-1)(3c+1)} - \frac{c(3c-1)}{(3c-1)(3c+1)}$

Выполняем вычитание числителей:

$\frac{c(3c+1) - c(3c-1)}{9c^2-1}$

Упрощаем числитель:

$c(3c+1) - c(3c-1) = (3c^2 + c) - (3c^2 - c) = 3c^2 + c - 3c^2 + c = 2c$

Записываем результат:

$\frac{2c}{9c^2-1}$

Ответ: $\frac{2c}{9c^2-1}$

5) $\frac{x}{2y+1} - \frac{x}{3y-2}$

Находим общий знаменатель, который равен произведению знаменателей: $(2y+1)(3y-2)$.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{x(3y-2)}{(2y+1)(3y-2)} - \frac{x(2y+1)}{(2y+1)(3y-2)}$

Вычитаем числители:

$\frac{x(3y-2) - x(2y+1)}{(2y+1)(3y-2)}$

Раскрываем скобки и упрощаем числитель:

$x(3y-2) - x(2y+1) = 3xy - 2x - (2xy + x) = 3xy - 2x - 2xy - x = xy - 3x$

Можно вынести общий множитель $x$ за скобки в числителе: $x(y-3)$.

Итоговое выражение:

$\frac{x(y-3)}{(2y+1)(3y-2)}$

Ответ: $\frac{x(y-3)}{(2y+1)(3y-2)}$

6) $\frac{a-b}{b} - \frac{a-b}{a+b}$

Общий знаменатель для данных дробей - это произведение их знаменателей: $b(a+b)$.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{(a-b)(a+b)}{b(a+b)} - \frac{(a-b)b}{b(a+b)}$

Объединяем дроби, вычитая числители:

$\frac{(a-b)(a+b) - (a-b)b}{b(a+b)}$

Упростим числитель. Можно вынести общий множитель $(a-b)$ за скобки:

$(a-b)[(a+b) - b] = (a-b)(a+b-b) = (a-b)a = a(a-b)$

Записываем окончательный вид дроби:

$\frac{a(a-b)}{b(a+b)}$

Ответ: $\frac{a(a-b)}{b(a+b)}$