Номер 109, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 109, страница 28.

Условие.

109. Упростите выражение:

1) $ \frac{4x - y}{x^2 - y^2} + \frac{1}{x - y}; $

2) $ \frac{y^2}{y^2 - 81} - \frac{y}{y + 9}; $

3) $ \frac{10a}{25a^2 - 9} - \frac{1}{5a + 3}; $

4) $ \frac{n}{n - 7} - \frac{n^2}{n^2 - 14n + 49}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано выражение $\frac{4x - y}{x^2 - y^2} + \frac{1}{x - y}$.
Знаменатель первой дроби $x^2 - y^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Выражение принимает вид: $\frac{4x - y}{(x - y)(x + y)} + \frac{1}{x - y}$.
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен $(x - y)(x + y)$. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(x + y)$:
$\frac{4x - y}{(x - y)(x + y)} + \frac{1 \cdot (x + y)}{(x - y)(x + y)} = \frac{4x - y + x + y}{(x - y)(x + y)}$.
Теперь сложим числители и упростим полученное выражение:
$\frac{4x + x - y + y}{(x - y)(x + y)} = \frac{5x}{(x - y)(x + y)} = \frac{5x}{x^2 - y^2}$.
Ответ: $\frac{5x}{x^2 - y^2}$.

2) Дано выражение $\frac{y^2}{y^2 - 81} - \frac{y}{y + 9}$.
Разложим знаменатель первой дроби $y^2 - 81$ на множители как разность квадратов: $y^2 - 81 = (y - 9)(y + 9)$.
Получаем: $\frac{y^2}{(y - 9)(y + 9)} - \frac{y}{y + 9}$.
Общий знаменатель для этих дробей - $(y - 9)(y + 9)$. Домножим вторую дробь на недостающий множитель $(y - 9)$:
$\frac{y^2}{(y - 9)(y + 9)} - \frac{y(y - 9)}{(y + 9)(y - 9)} = \frac{y^2 - y(y - 9)}{(y - 9)(y + 9)}$.
Раскроем скобки в числителе и выполним вычитание:
$\frac{y^2 - y^2 + 9y}{(y - 9)(y + 9)} = \frac{9y}{(y - 9)(y + 9)} = \frac{9y}{y^2 - 81}$.
Ответ: $\frac{9y}{y^2 - 81}$.

3) Дано выражение $\frac{10a}{25a^2 - 9} - \frac{1}{5a + 3}$.
Знаменатель первой дроби $25a^2 - 9$ раскладывается на множители по формуле разности квадратов: $(5a - 3)(5a + 3)$.
Выражение преобразуется к виду: $\frac{10a}{(5a - 3)(5a + 3)} - \frac{1}{5a + 3}$.
Общий знаменатель - $(5a - 3)(5a + 3)$. Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив ее на $(5a - 3)$:
$\frac{10a}{(5a - 3)(5a + 3)} - \frac{1 \cdot (5a - 3)}{(5a + 3)(5a - 3)} = \frac{10a - (5a - 3)}{(5a - 3)(5a + 3)}$.
Упростим числитель:
$\frac{10a - 5a + 3}{(5a - 3)(5a + 3)} = \frac{5a + 3}{(5a - 3)(5a + 3)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(5a + 3)$:
$\frac{1}{5a - 3}$.
Ответ: $\frac{1}{5a - 3}$.

4) Дано выражение $\frac{n}{n - 7} - \frac{n^2}{n^2 - 14n + 49}$.
Знаменатель второй дроби $n^2 - 14n + 49$ является полным квадратом разности: $(n - 7)^2$.
Получаем выражение: $\frac{n}{n - 7} - \frac{n^2}{(n - 7)^2}$.
Общий знаменатель равен $(n - 7)^2$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(n - 7)$:
$\frac{n(n - 7)}{(n - 7)(n - 7)} - \frac{n^2}{(n - 7)^2} = \frac{n(n - 7) - n^2}{(n - 7)^2}$.
Раскроем скобки и упростим числитель:
$\frac{n^2 - 7n - n^2}{(n - 7)^2} = \frac{-7n}{(n - 7)^2}$.
Ответ: $\frac{-7n}{(n - 7)^2}$.