Номер 115, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 4. Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями. Упражнения - номер 115, страница 29.

Условие.

115. Представьте в виде дроби выражение:

1) $1 - a + \frac{a^2 - 2}{a + 2};$

2) $\frac{a^2 - b^2}{3a + b} + 3a - b;$

3) $\frac{c^2 + 9}{c - 3} - c - 3;$

4) $\frac{8m^2}{4m - 3} - 2m - 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы представить выражение $1 - a + \frac{a^2 - 2}{a + 2}$ в виде дроби, приведем все слагаемые к общему знаменателю $a + 2$. Для этого умножим $1$ и $-a$ на дробь $\frac{a+2}{a+2}$.

$1 - a + \frac{a^2 - 2}{a + 2} = \frac{1 \cdot (a + 2)}{a + 2} - \frac{a \cdot (a + 2)}{a + 2} + \frac{a^2 - 2}{a + 2}$

Теперь объединим все слагаемые в одну дробь:

$\frac{(a + 2) - a(a + 2) + (a^2 - 2)}{a + 2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{a + 2 - a^2 - 2a + a^2 - 2}{a + 2} = \frac{(a - 2a) + (-a^2 + a^2) + (2 - 2)}{a + 2} = \frac{-a}{a + 2}$

Ответ: $-\frac{a}{a+2}$

2) Чтобы представить выражение $\frac{a^2 - b^2}{3a + b} + 3a - b$ в виде дроби, приведем слагаемые $3a$ и $-b$ к общему знаменателю $3a + b$. Для этого представим их как одно слагаемое $(3a - b)$ и умножим его на дробь $\frac{3a+b}{3a+b}$.

$\frac{a^2 - b^2}{3a + b} + (3a - b) = \frac{a^2 - b^2}{3a + b} + \frac{(3a - b)(3a + b)}{3a + b}$

Воспользуемся формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ для выражения $(3a - b)(3a + b)$:

$(3a - b)(3a + b) = (3a)^2 - b^2 = 9a^2 - b^2$

Теперь объединим числители:

$\frac{a^2 - b^2 + 9a^2 - b^2}{3a + b} = \frac{(a^2 + 9a^2) + (-b^2 - b^2)}{3a + b} = \frac{10a^2 - 2b^2}{3a + b}$

Ответ: $\frac{10a^2 - 2b^2}{3a + b}$

3) Чтобы представить выражение $\frac{c^2 + 9}{c - 3} - c - 3$ в виде дроби, приведем слагаемые $-c$ и $-3$ к общему знаменателю $c - 3$. Вынесем знак минус за скобки: $-c - 3 = -(c+3)$.

$\frac{c^2 + 9}{c - 3} - (c + 3) = \frac{c^2 + 9}{c - 3} - \frac{(c + 3)(c - 3)}{c - 3}$

В числителе второго слагаемого видим формулу разности квадратов: $(c+3)(c-3) = c^2 - 3^2 = c^2 - 9$.

Объединим дроби, внимательно раскрыв скобки в числителе:

$\frac{c^2 + 9 - (c^2 - 9)}{c - 3} = \frac{c^2 + 9 - c^2 + 9}{c - 3} = \frac{18}{c - 3}$

Ответ: $\frac{18}{c-3}$

4) Чтобы представить выражение $\frac{8m^2}{4m - 3} - 2m - 1$ в виде дроби, приведем слагаемые $-2m$ и $-1$ к общему знаменателю $4m - 3$.

$\frac{8m^2}{4m - 3} - 2m - 1 = \frac{8m^2}{4m - 3} - \frac{2m(4m - 3)}{4m - 3} - \frac{1(4m - 3)}{4m - 3}$

Объединим все в одну дробь:

$\frac{8m^2 - 2m(4m - 3) - 1(4m - 3)}{4m - 3}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{8m^2 - (8m^2 - 6m) - (4m - 3)}{4m - 3} = \frac{8m^2 - 8m^2 + 6m - 4m + 3}{4m - 3} = \frac{(8m^2 - 8m^2) + (6m - 4m) + 3}{4m - 3} = \frac{2m + 3}{4m - 3}$

Ответ: $\frac{2m + 3}{4m - 3}$