Страница 29 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

113. Упростите выражение:

1) $\frac{m+n}{m-n} - \frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}$;

2) $\frac{x-y}{x+y} + \frac{y^2}{2xy+x^2+y^2}$;

3) $\frac{2a}{4a^2-1} - \frac{a+4}{2a^2+a}$;

4) $\frac{b-2}{b^2+6b+9} - \frac{b}{b^2-9}$;

5) $\frac{x-6}{x^2+3x} + \frac{x}{x+3} - \frac{x-3}{x}$;

6) $\frac{y+2}{y-2} - \frac{y-2}{y+2} - \frac{16}{y^2-4}$.

1) $\frac{m+n}{m-n} - \frac{m^2+n^2}{m^2-n^2}$
Знаменатель второй дроби $m^2-n^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $m^2-n^2=(m-n)(m+n)$. Это и будет общий знаменатель.
Приведем дроби к общему знаменателю $(m-n)(m+n)$, домножив числитель и знаменатель первой дроби на $(m+n)$:
$\frac{(m+n)(m+n)}{(m-n)(m+n)} - \frac{m^2+n^2}{(m-n)(m+n)} = \frac{(m+n)^2 - (m^2+n^2)}{m^2-n^2}$
Раскроем скобки в числителе. По формуле квадрата суммы $(m+n)^2 = m^2+2mn+n^2$:
$\frac{m^2+2mn+n^2 - m^2 - n^2}{m^2-n^2}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{2mn}{m^2-n^2}$
Ответ: $\frac{2mn}{m^2-n^2}$

2) $\frac{x-y}{x+y} + \frac{y^2}{2xy+x^2+y^2}$
Знаменатель второй дроби $x^2+2xy+y^2$ является полным квадратом суммы: $(x+y)^2$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(x+y)^2$, домножив первую дробь на $(x+y)$:
$\frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)^2} + \frac{y^2}{(x+y)^2} = \frac{(x-y)(x+y) + y^2}{(x+y)^2}$
Раскроем скобки в числителе. По формуле разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$:
$\frac{x^2-y^2 + y^2}{(x+y)^2}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{x^2}{(x+y)^2}$
Ответ: $\frac{x^2}{(x+y)^2}$

3) $\frac{2a}{4a^2-1} - \frac{a+4}{2a^2+a}$
Разложим знаменатели на множители:
$4a^2-1 = (2a-1)(2a+1)$ (формула разности квадратов).
$2a^2+a = a(2a+1)$ (вынесение общего множителя).
Общий знаменатель: $a(2a-1)(2a+1)$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{2a \cdot a}{a(2a-1)(2a+1)} - \frac{(a+4)(2a-1)}{a(2a-1)(2a+1)} = \frac{2a^2 - (a+4)(2a-1)}{a(2a-1)(2a+1)}$
Раскроем скобки в числителе: $(a+4)(2a-1) = 2a^2 - a + 8a - 4 = 2a^2 + 7a - 4$.
$\frac{2a^2 - (2a^2 + 7a - 4)}{a(2a-1)(2a+1)} = \frac{2a^2 - 2a^2 - 7a + 4}{a(2a-1)(2a+1)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе и свернем знаменатель обратно:
$\frac{4-7a}{a(4a^2-1)}$
Ответ: $\frac{4-7a}{a(4a^2-1)}$

4) $\frac{b-2}{b^2+6b+9} - \frac{b}{b^2-9}$
Разложим знаменатели на множители:
$b^2+6b+9 = (b+3)^2$ (формула полного квадрата).
$b^2-9 = (b-3)(b+3)$ (формула разности квадратов).
Общий знаменатель: $(b-3)(b+3)^2$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{(b-2)(b-3)}{(b-3)(b+3)^2} - \frac{b(b+3)}{(b-3)(b+3)^2} = \frac{(b-2)(b-3) - b(b+3)}{(b-3)(b+3)^2}$
Раскроем скобки в числителе:
$(b-2)(b-3) = b^2 - 3b - 2b + 6 = b^2 - 5b + 6$.
$b(b+3) = b^2 + 3b$.
$\frac{(b^2 - 5b + 6) - (b^2 + 3b)}{(b-3)(b+3)^2} = \frac{b^2 - 5b + 6 - b^2 - 3b}{(b-3)(b+3)^2}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{6-8b}{(b-3)(b+3)^2}$
Ответ: $\frac{6-8b}{(b-3)(b+3)^2}$

5) $\frac{x-6}{x^2+3x} + \frac{x}{x+3} - \frac{x-3}{x}$
Разложим на множители знаменатель первой дроби: $x^2+3x = x(x+3)$.
Общий знаменатель для всех трех дробей: $x(x+3)$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{x-6}{x(x+3)} + \frac{x \cdot x}{x(x+3)} - \frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)} = \frac{(x-6) + x^2 - (x-3)(x+3)}{x(x+3)}$
Раскроем скобки в числителе. По формуле разности квадратов $(x-3)(x+3) = x^2-9$:
$\frac{x-6 + x^2 - (x^2-9)}{x(x+3)} = \frac{x-6+x^2-x^2+9}{x(x+3)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{x+3}{x(x+3)}$
Сократим дробь на общий множитель $(x+3)$:
$\frac{1}{x}$
Ответ: $\frac{1}{x}$

6) $\frac{y+2}{y-2} - \frac{y-2}{y+2} - \frac{16}{y^2-4}$
Разложим на множители знаменатель третьей дроби по формуле разности квадратов: $y^2-4 = (y-2)(y+2)$.
Это и будет общий знаменатель для всех дробей.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{(y+2)(y+2)}{(y-2)(y+2)} - \frac{(y-2)(y-2)}{(y-2)(y+2)} - \frac{16}{(y-2)(y+2)} = \frac{(y+2)^2 - (y-2)^2 - 16}{y^2-4}$
Раскроем квадраты в числителе:
$(y+2)^2 = y^2+4y+4$.
$(y-2)^2 = y^2-4y+4$.
$\frac{(y^2+4y+4) - (y^2-4y+4) - 16}{y^2-4} = \frac{y^2+4y+4 - y^2+4y-4 - 16}{y^2-4}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{8y-16}{y^2-4} = \frac{8(y-2)}{(y-2)(y+2)}$
Сократим дробь на общий множитель $(y-2)$:
$\frac{8}{y+2}$
Ответ: $\frac{8}{y+2}$

114. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения не зависит от значения переменной:

1) $\frac{2x+1}{2x-4} + \frac{2x-1}{6-3x} - \frac{x+7}{6x-12}$;

2) $\frac{24-2a}{a^2-16} - \frac{a}{2a-8} + \frac{4}{a+4}$.

1)

Для того чтобы доказать, что значение выражения $\frac{2x+1}{2x-4} + \frac{2x-1}{6-3x} - \frac{x+7}{6x-12}$ не зависит от значения переменной, необходимо упростить это выражение.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не должны равняться нулю:

• $2x - 4 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq 4 \Rightarrow x \neq 2$
• $6 - 3x \neq 0 \Rightarrow 3x \neq 6 \Rightarrow x \neq 2$
• $6x - 12 \neq 0 \Rightarrow 6x \neq 12 \Rightarrow x \neq 2$

Таким образом, выражение определено для всех $x$, кроме $x=2$.

Теперь упростим выражение. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители:

$\frac{2x+1}{2(x-2)} + \frac{2x-1}{3(2-x)} - \frac{x+7}{6(x-2)}$

Заметим, что $2-x = -(x-2)$. Изменим знак перед второй дробью и в ее знаменателе:

$\frac{2x+1}{2(x-2)} - \frac{2x-1}{3(x-2)} - \frac{x+7}{6(x-2)}$

Общий знаменатель для дробей $2(x-2)$, $3(x-2)$ и $6(x-2)$ равен $6(x-2)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби – 3, для второй – 2, для третьей – 1.

$\frac{3(2x+1)}{6(x-2)} - \frac{2(2x-1)}{6(x-2)} - \frac{1(x+7)}{6(x-2)}$

Запишем все под одним знаменателем:

$\frac{3(2x+1) - 2(2x-1) - (x+7)}{6(x-2)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{6x+3 - 4x+2 - x-7}{6(x-2)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(6x - 4x - x) + (3 + 2 - 7)}{6(x-2)} = \frac{x-2}{6(x-2)}$

Сократим дробь на $(x-2)$, так как по ОДЗ $x \neq 2$, а значит $x-2 \neq 0$:

$\frac{1}{6}$

Значение выражения равно $\frac{1}{6}$ и не зависит от значения переменной $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

2)

Докажем, что значение выражения $\frac{24-2a}{a^2-16} - \frac{a}{2a-8} + \frac{4}{a+4}$ не зависит от значения переменной $a$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

• $a^2 - 16 \neq 0 \Rightarrow (a-4)(a+4) \neq 0 \Rightarrow a \neq 4$ и $a \neq -4$
• $2a - 8 \neq 0 \Rightarrow 2(a-4) \neq 0 \Rightarrow a \neq 4$
• $a + 4 \neq 0 \Rightarrow a \neq -4$

Выражение определено для всех $a$, кроме $a=4$ и $a=-4$.

Теперь упростим выражение. Разложим знаменатели на множители:

$\frac{24-2a}{(a-4)(a+4)} - \frac{a}{2(a-4)} + \frac{4}{a+4}$

Общий знаменатель для дробей – $2(a-4)(a+4)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби – 2, для второй – $(a+4)$, для третьей – $2(a-4)$.

$\frac{2(24-2a)}{2(a-4)(a+4)} - \frac{a(a+4)}{2(a-4)(a+4)} + \frac{4 \cdot 2(a-4)}{2(a-4)(a+4)}$

Запишем все под общим знаменателем:

$\frac{2(24-2a) - a(a+4) + 8(a-4)}{2(a-4)(a+4)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{48 - 4a - a^2 - 4a + 8a - 32}{2(a-4)(a+4)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{-a^2 + (-4a - 4a + 8a) + (48 - 32)}{2(a-4)(a+4)} = \frac{-a^2 + 0 \cdot a + 16}{2(a-4)(a+4)} = \frac{16 - a^2}{2(a-4)(a+4)}$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $16 - a^2 = (4-a)(4+a)$:

$\frac{(4-a)(4+a)}{2(a-4)(a+4)}$

Заметим, что $4-a = -(a-4)$ и $4+a = a+4$. Перепишем числитель:

$\frac{-(a-4)(a+4)}{2(a-4)(a+4)}$

Сократим дробь на $(a-4)(a+4)$, так как по ОДЗ $a \neq 4$ и $a \neq -4$:

$\frac{-1}{2} = -0.5$

Значение выражения равно $-\frac{1}{2}$ и не зависит от значения переменной $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

115. Представьте в виде дроби выражение:

1) $1 - a + \frac{a^2 - 2}{a + 2};$

2) $\frac{a^2 - b^2}{3a + b} + 3a - b;$

3) $\frac{c^2 + 9}{c - 3} - c - 3;$

4) $\frac{8m^2}{4m - 3} - 2m - 1.$

1) Чтобы представить выражение $1 - a + \frac{a^2 - 2}{a + 2}$ в виде дроби, приведем все слагаемые к общему знаменателю $a + 2$. Для этого умножим $1$ и $-a$ на дробь $\frac{a+2}{a+2}$.

$1 - a + \frac{a^2 - 2}{a + 2} = \frac{1 \cdot (a + 2)}{a + 2} - \frac{a \cdot (a + 2)}{a + 2} + \frac{a^2 - 2}{a + 2}$

Теперь объединим все слагаемые в одну дробь:

$\frac{(a + 2) - a(a + 2) + (a^2 - 2)}{a + 2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{a + 2 - a^2 - 2a + a^2 - 2}{a + 2} = \frac{(a - 2a) + (-a^2 + a^2) + (2 - 2)}{a + 2} = \frac{-a}{a + 2}$

Ответ: $-\frac{a}{a+2}$

2) Чтобы представить выражение $\frac{a^2 - b^2}{3a + b} + 3a - b$ в виде дроби, приведем слагаемые $3a$ и $-b$ к общему знаменателю $3a + b$. Для этого представим их как одно слагаемое $(3a - b)$ и умножим его на дробь $\frac{3a+b}{3a+b}$.

$\frac{a^2 - b^2}{3a + b} + (3a - b) = \frac{a^2 - b^2}{3a + b} + \frac{(3a - b)(3a + b)}{3a + b}$

Воспользуемся формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ для выражения $(3a - b)(3a + b)$:

$(3a - b)(3a + b) = (3a)^2 - b^2 = 9a^2 - b^2$

Теперь объединим числители:

$\frac{a^2 - b^2 + 9a^2 - b^2}{3a + b} = \frac{(a^2 + 9a^2) + (-b^2 - b^2)}{3a + b} = \frac{10a^2 - 2b^2}{3a + b}$

Ответ: $\frac{10a^2 - 2b^2}{3a + b}$

3) Чтобы представить выражение $\frac{c^2 + 9}{c - 3} - c - 3$ в виде дроби, приведем слагаемые $-c$ и $-3$ к общему знаменателю $c - 3$. Вынесем знак минус за скобки: $-c - 3 = -(c+3)$.

$\frac{c^2 + 9}{c - 3} - (c + 3) = \frac{c^2 + 9}{c - 3} - \frac{(c + 3)(c - 3)}{c - 3}$

В числителе второго слагаемого видим формулу разности квадратов: $(c+3)(c-3) = c^2 - 3^2 = c^2 - 9$.

Объединим дроби, внимательно раскрыв скобки в числителе:

$\frac{c^2 + 9 - (c^2 - 9)}{c - 3} = \frac{c^2 + 9 - c^2 + 9}{c - 3} = \frac{18}{c - 3}$

Ответ: $\frac{18}{c-3}$

4) Чтобы представить выражение $\frac{8m^2}{4m - 3} - 2m - 1$ в виде дроби, приведем слагаемые $-2m$ и $-1$ к общему знаменателю $4m - 3$.

$\frac{8m^2}{4m - 3} - 2m - 1 = \frac{8m^2}{4m - 3} - \frac{2m(4m - 3)}{4m - 3} - \frac{1(4m - 3)}{4m - 3}$

Объединим все в одну дробь:

$\frac{8m^2 - 2m(4m - 3) - 1(4m - 3)}{4m - 3}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{8m^2 - (8m^2 - 6m) - (4m - 3)}{4m - 3} = \frac{8m^2 - 8m^2 + 6m - 4m + 3}{4m - 3} = \frac{(8m^2 - 8m^2) + (6m - 4m) + 3}{4m - 3} = \frac{2m + 3}{4m - 3}$

Ответ: $\frac{2m + 3}{4m - 3}$

116. Упростите выражение:

1) $b+7-\frac{14b}{b+7}$;

2) $5c-\frac{10-29c+10c^2}{2c-5}+2.$

1) Чтобы упростить выражение $b + 7 - \frac{14b}{b+7}$, приведем его к общему знаменателю. Общий знаменатель - это $b+7$.

Представим выражение $(b+7)$ в виде дроби со знаменателем $(b+7)$:

$b+7 = \frac{(b+7)(b+7)}{b+7} = \frac{(b+7)^2}{b+7}$

Теперь выполним вычитание дробей:

$b + 7 - \frac{14b}{b+7} = \frac{(b+7)^2}{b+7} - \frac{14b}{b+7} = \frac{(b+7)^2 - 14b}{b+7}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(b+7)^2 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 7 + 7^2 = b^2 + 14b + 49$

Подставим полученное выражение обратно в числитель дроби и упростим:

$\frac{b^2 + 14b + 49 - 14b}{b+7} = \frac{b^2 + 49}{b+7}$

Данное выражение является окончательным, так как числитель $b^2+49$ не раскладывается на множители с действительными коэффициентами и не имеет общих множителей со знаменателем. Выражение определено при $b+7 \neq 0$, то есть $b \neq -7$.

Ответ: $\frac{b^2 + 49}{b+7}$

2) Чтобы упростить выражение $5c - \frac{10 - 29c + 10c^2}{2c-5} + 2$, сначала сгруппируем слагаемые, не содержащие дробь, а затем приведем все к общему знаменателю.

$(5c + 2) - \frac{10 - 29c + 10c^2}{2c-5}$

Общий знаменатель - это $2c-5$. Приведем выражение $(5c+2)$ к этому знаменателю:

$5c+2 = \frac{(5c+2)(2c-5)}{2c-5}$

Теперь объединим все под общим знаменателем:

$\frac{(5c+2)(2c-5) - (10 - 29c + 10c^2)}{2c-5}$

Раскроем скобки в числителе. Сначала перемножим $(5c+2)(2c-5)$:

$(5c+2)(2c-5) = 5c \cdot 2c - 5c \cdot 5 + 2 \cdot 2c - 2 \cdot 5 = 10c^2 - 25c + 4c - 10 = 10c^2 - 21c - 10$

Теперь подставим это в числитель и раскроем вторые скобки (обращая внимание на знак "минус" перед дробью):

$\frac{10c^2 - 21c - 10 - (10 - 29c + 10c^2)}{2c-5} = \frac{10c^2 - 21c - 10 - 10 + 29c - 10c^2}{2c-5}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(10c^2 - 10c^2) + (-21c + 29c) + (-10 - 10) = 0 + 8c - 20 = 8c - 20$

Получаем дробь:

$\frac{8c - 20}{2c-5}$

Вынесем общий множитель 4 за скобки в числителе:

$\frac{4(2c - 5)}{2c-5}$

Сократим дробь на общий множитель $(2c-5)$, при условии что $2c-5 \neq 0$, то есть $c \neq 2.5$:

$\frac{4\cancel{(2c - 5)}}{\cancel{2c-5}} = 4$

Ответ: 4

117. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $\frac{7}{2a - 4} - \frac{12}{a^2 - 4} - \frac{3}{a + 2}$, если $a = 5;$

2) $\frac{2c + 3}{2c^2 - 3c} + \frac{2c - 3}{2c^2 + 3c} - \frac{16c}{4c^2 - 9}$, если $c = -0,8;$

3) $\frac{m^2 + 16n^2}{m^2 - 16n^2} - \frac{m + 4n}{2m - 8n}$, если $m = 3, n = 0,5.$

1) Упростим выражение $ \frac{7}{2a-4} - \frac{12}{a^2-4} - \frac{3}{a+2} $.

Для начала разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель:

$ 2a-4 = 2(a-2) $

$ a^2-4 = (a-2)(a+2) $ (формула разности квадратов)

$ a+2 = a+2 $

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих выражений — это $ 2(a-2)(a+2) $.

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю:

$ \frac{7}{2(a-2)} - \frac{12}{(a-2)(a+2)} - \frac{3}{a+2} = \frac{7(a+2)}{2(a-2)(a+2)} - \frac{12 \cdot 2}{2(a-2)(a+2)} - \frac{3 \cdot 2(a-2)}{2(a-2)(a+2)} $

Объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$ \frac{7(a+2) - 24 - 6(a-2)}{2(a-2)(a+2)} = \frac{7a + 14 - 24 - (6a-12)}{2(a-2)(a+2)} = \frac{7a + 14 - 24 - 6a + 12}{2(a-2)(a+2)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{(7a-6a) + (14-24+12)}{2(a-2)(a+2)} = \frac{a+2}{2(a-2)(a+2)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (a+2) $ (при условии, что $ a+2 \neq 0 $):

$ \frac{1}{2(a-2)} $

Теперь подставим в упрощенное выражение значение $ a = 5 $:

$ \frac{1}{2(5-2)} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} $

Ответ: $ \frac{1}{6} $.

2) Упростим выражение $ \frac{2c+3}{2c^2-3c} + \frac{2c-3}{2c^2+3c} - \frac{16c}{4c^2-9} $.

Разложим знаменатели на множители:

$ 2c^2-3c = c(2c-3) $

$ 2c^2+3c = c(2c+3) $

$ 4c^2-9 = (2c-3)(2c+3) $ (формула разности квадратов)

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это $ c(2c-3)(2c+3) $.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{(2c+3)(2c+3)}{c(2c-3)(2c+3)} + \frac{(2c-3)(2c-3)}{c(2c-3)(2c+3)} - \frac{16c \cdot c}{c(2c-3)(2c+3)} $

Выполним действия в числителе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$ \frac{(2c+3)^2 + (2c-3)^2 - 16c^2}{c(2c-3)(2c+3)} = \frac{(4c^2+12c+9) + (4c^2-12c+9) - 16c^2}{c(4c^2-9)} $

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{4c^2+12c+9 + 4c^2-12c+9 - 16c^2}{c(4c^2-9)} = \frac{(4c^2+4c^2-16c^2) + (12c-12c) + (9+9)}{c(4c^2-9)} = \frac{18 - 8c^2}{c(4c^2-9)} $

Вынесем в числителе множитель $ -2 $ за скобки и сократим дробь:

$ \frac{-2(4c^2-9)}{c(4c^2-9)} = -\frac{2}{c} $

Теперь подставим в упрощенное выражение значение $ c = -0,8 $:

$ -\frac{2}{-0,8} = \frac{2}{0,8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2,5 $

Ответ: $ 2,5 $.

3) Упростим выражение $ \frac{m^2+16n^2}{m^2-16n^2} - \frac{m+4n}{2m-8n} $.

Разложим знаменатели на множители:

$ m^2-16n^2 = (m-4n)(m+4n) $ (формула разности квадратов)

$ 2m-8n = 2(m-4n) $

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это $ 2(m-4n)(m+4n) $.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{2(m^2+16n^2)}{2(m-4n)(m+4n)} - \frac{(m+4n)(m+4n)}{2(m-4n)(m+4n)} $

Выполним действия в числителе:

$ \frac{2m^2+32n^2 - (m+4n)^2}{2(m-4n)(m+4n)} = \frac{2m^2+32n^2 - (m^2+8mn+16n^2)}{2(m^2-16n^2)} $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{2m^2+32n^2 - m^2-8mn-16n^2}{2(m^2-16n^2)} = \frac{m^2-8mn+16n^2}{2(m^2-16n^2)} $

Числитель является полным квадратом разности $ (m-4n)^2 $. Запишем выражение в виде:

$ \frac{(m-4n)^2}{2(m-4n)(m+4n)} $

Сократим дробь на $ (m-4n) $ (при условии, что $ m-4n \neq 0 $):

$ \frac{m-4n}{2(m+4n)} $

Теперь подставим в упрощенное выражение значения $ m=3 $ и $ n=0,5 $:

$ \frac{3-4(0,5)}{2(3+4(0,5))} = \frac{3-2}{2(3+2)} = \frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10} = 0,1 $

Ответ: $ 0,1 $.

118. Найдите значение выражения:

1) $\frac{6}{5x - 20} - \frac{x - 5}{x^2 - 8x + 16}$, если $x = 5;$

2) $\frac{2y - 1}{2y} - \frac{2y}{2y - 1} - \frac{1}{2y - 4y^2}$, если $y = -2\frac{3}{7}.$

1)

Сначала упростим данное выражение. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Разложим знаменатели на множители:

$5x - 20 = 5(x - 4)$

$x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$ (по формуле квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$)

Выражение принимает вид:

$\frac{6}{5(x - 4)} - \frac{x-5}{(x - 4)^2}$

Общий знаменатель для этих дробей равен $5(x - 4)^2$. Приведем дроби к этому знаменателю, домножив числитель и знаменатель первой дроби на $(x-4)$, а второй дроби на $5$:

$\frac{6(x - 4)}{5(x - 4)^2} - \frac{5(x-5)}{5(x - 4)^2} = \frac{6(x - 4) - 5(x-5)}{5(x - 4)^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{6x - 24 - 5x + 25}{5(x - 4)^2} = \frac{x + 1}{5(x - 4)^2}$

Теперь подставим в полученное упрощенное выражение значение $x = 5$:

$\frac{5 + 1}{5(5 - 4)^2} = \frac{6}{5(1)^2} = \frac{6}{5 \cdot 1} = \frac{6}{5}$

Результат можно также представить в виде десятичной дроби $1,2$ или смешанного числа $1\frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{6}{5}$

2)

Сначала упростим данное выражение. Преобразуем знаменатель третьей дроби, вынеся за скобки общий множитель:

$2y - 4y^2 = 2y(1 - 2y) = -2y(2y - 1)$

Теперь перепишем исходное выражение, подставив разложенный знаменатель:

$\frac{2y - 1}{2y} - \frac{2y}{2y - 1} - \frac{1}{2y - 4y^2} = \frac{2y - 1}{2y} - \frac{2y}{2y - 1} - \frac{1}{-2y(2y - 1)} = \frac{2y - 1}{2y} - \frac{2y}{2y - 1} + \frac{1}{2y(2y - 1)}$

Общий знаменатель для этих дробей равен $2y(2y - 1)$. Приведем все дроби к общему знаменателю:

$\frac{(2y - 1)(2y - 1)}{2y(2y - 1)} - \frac{2y \cdot 2y}{2y(2y - 1)} + \frac{1}{2y(2y - 1)}$

Объединим дроби под одним знаменателем:

$\frac{(2y - 1)^2 - 4y^2 + 1}{2y(2y - 1)}$

Раскроем квадрат в числителе по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$\frac{(4y^2 - 4y + 1) - 4y^2 + 1}{2y(2y - 1)} = \frac{4y^2 - 4y + 1 - 4y^2 + 1}{2y(2y - 1)} = \frac{-4y + 2}{2y(2y - 1)}$

В числителе вынесем общий множитель $-2$ за скобки:

$\frac{-2(2y - 1)}{2y(2y - 1)}$

Сократим дробь на общий множитель $2(2y - 1)$, при условии, что $y \neq 0$ и $y \neq \frac{1}{2}$:

$\frac{-1}{y}$

Теперь подставим в полученное выражение значение $y = -2\frac{3}{7}$. Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь:

$y = -2\frac{3}{7} = -(\frac{2 \cdot 7 + 3}{7}) = -\frac{17}{7}$

Вычислим значение выражения:

$-\frac{1}{y} = -\frac{1}{-\frac{17}{7}} = -(-\frac{7}{17}) = \frac{7}{17}$

Ответ: $\frac{7}{17}$

119. Докажите тождество:

1) $\frac{a+b}{a} - \frac{a}{a-b} + \frac{b^2}{a^2-ab} = 0;$

2) $\frac{a+3}{a+1} - \frac{a+1}{a-1} + \frac{6}{a^2-1} = \frac{2}{a^2-1};$

3) $\frac{2a^2+4}{a^2-1} - \frac{a-2}{a+1} - \frac{a+1}{a-1} = \frac{1}{a-1}.$

1) Докажем тождество $\frac{a+b}{a} - \frac{a}{a-b} + \frac{b^2}{a^2 - ab} = 0$.

Преобразуем левую часть равенства. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатели дробей: $a$, $a-b$ и $a^2 - ab$. Разложим третий знаменатель на множители: $a^2 - ab = a(a-b)$.

Общий знаменатель для всех дробей — это $a(a-b)$. Тождество имеет смысл при $a \neq 0$ и $a \neq b$.

Приведем каждую дробь к общему знаменателю:

$\frac{a+b}{a} - \frac{a}{a-b} + \frac{b^2}{a(a-b)} = \frac{(a+b)(a-b)}{a(a-b)} - \frac{a \cdot a}{a(a-b)} + \frac{b^2}{a(a-b)}$

Теперь выполним операции с числителями:

$\frac{(a+b)(a-b) - a^2 + b^2}{a(a-b)}$

Раскроем скобки в числителе. Выражение $(a+b)(a-b)$ является формулой разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$\frac{(a^2 - b^2) - a^2 + b^2}{a(a-b)} = \frac{a^2 - b^2 - a^2 + b^2}{a(a-b)} = \frac{0}{a(a-b)} = 0$

Левая часть тождества равна 0, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\frac{a+3}{a+1} - \frac{a+1}{a-1} + \frac{6}{a^2 - 1} = \frac{2}{a^2 - 1}$.

Преобразуем левую часть равенства. Знаменатели дробей: $a+1$, $a-1$ и $a^2 - 1$. Разложим третий знаменатель по формуле разности квадратов: $a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$.

Общий знаменатель для дробей в левой части — это $(a-1)(a+1)$ или $a^2 - 1$. Тождество имеет смысл при $a \neq 1$ и $a \neq -1$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{(a+3)(a-1)}{(a+1)(a-1)} - \frac{(a+1)(a+1)}{(a-1)(a+1)} + \frac{6}{(a-1)(a+1)}$

Объединим дроби:

$\frac{(a+3)(a-1) - (a+1)^2 + 6}{(a-1)(a+1)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$(a+3)(a-1) = a^2 - a + 3a - 3 = a^2 + 2a - 3$

$(a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$

Подставим раскрытые выражения в числитель:

$\frac{(a^2 + 2a - 3) - (a^2 + 2a + 1) + 6}{a^2 - 1} = \frac{a^2 + 2a - 3 - a^2 - 2a - 1 + 6}{a^2 - 1}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(a^2 - a^2) + (2a - 2a) + (-3 - 1 + 6)}{a^2 - 1} = \frac{0 + 0 + 2}{a^2 - 1} = \frac{2}{a^2 - 1}$

Полученное выражение в левой части равно выражению в правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $\frac{2a^2+4}{a^2-1} - \frac{a-2}{a+1} - \frac{a+1}{a-1} = \frac{1}{a-1}$.

Преобразуем левую часть равенства. Общий знаменатель для дробей, как и в предыдущем примере, — это $a^2-1 = (a-1)(a+1)$. Тождество имеет смысл при $a \neq 1$ и $a \neq -1$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{2a^2+4}{(a-1)(a+1)} - \frac{(a-2)(a-1)}{(a+1)(a-1)} - \frac{(a+1)(a+1)}{(a-1)(a+1)}$

Объединим дроби под общим знаменателем:

$\frac{(2a^2+4) - (a-2)(a-1) - (a+1)^2}{(a-1)(a+1)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(a-2)(a-1) = a^2 - a - 2a + 2 = a^2 - 3a + 2$

$(a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$

Подставим раскрытые выражения в числитель:

$\frac{(2a^2+4) - (a^2 - 3a + 2) - (a^2 + 2a + 1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{2a^2+4 - a^2 + 3a - 2 - a^2 - 2a - 1}{(a-1)(a+1)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(2a^2 - a^2 - a^2) + (3a - 2a) + (4 - 2 - 1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{0 + a + 1}{(a-1)(a+1)} = \frac{a+1}{(a-1)(a+1)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+1)$ (это возможно, т.к. $a \neq -1$):

$\frac{1}{a-1}$

Левая часть тождества после преобразований стала равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.