Страница 33 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое из данных выражений является целым?

А) $\frac{m+n}{m}$

Б) $\frac{m+n}{7}$

В) $\frac{m+n}{7m}$

Г) $m+\frac{n}{7m}$

Целое выражение — это алгебраическое выражение, которое не содержит операции деления на переменные. Оно может состоять из чисел, переменных и знаков операций сложения, вычитания, умножения, а также деления на число, не равное нулю. Проанализируем каждый из предложенных вариантов:

А) Выражение $\frac{m+n}{m}$ содержит деление на переменную $m$. Следовательно, оно не является целым, а относится к дробно-рациональным выражениям.

Б) Выражение $\frac{m+n}{7}$ содержит деление, но только на число 7. Деление на константу (число) в целых выражениях допускается. Данное выражение можно представить в виде многочлена $\frac{1}{7}m + \frac{1}{7}n$. Таким образом, это выражение является целым.

В) Выражение $\frac{m+n}{7m}$ содержит в знаменателе переменную $m$, поэтому оно не является целым.

Г) Выражение $m + \frac{n}{7m}$ содержит слагаемое $\frac{n}{7m}$, которое включает деление на переменную $m$. Следовательно, все выражение не является целым.

Таким образом, единственным целым выражением из перечисленных является выражение, указанное в варианте Б.

Ответ: Б

2. При каком значении переменной не имеет смысла выражение $ \frac{3a}{2a-10} $?

А) 0

Б) 10

В) 5

Г) 0; 5

2.

Данное выражение $\frac{3a}{2a-10}$ является дробным. Дробное выражение не имеет смысла (не определено) в том случае, когда его знаменатель равен нулю, поскольку операция деления на ноль в математике не определена.

Чтобы найти значение переменной a, при котором выражение не имеет смысла, необходимо приравнять знаменатель дроби к нулю и решить полученное уравнение:

$2a - 10 = 0$

Для решения этого линейного уравнения, сначала перенесем число -10 в правую часть, изменив его знак на противоположный:

$2a = 10$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной a, то есть на 2:

$a = \frac{10}{2}$

$a = 5$

Проверим: если подставить $a=5$ в знаменатель, получим $2 \cdot 5 - 10 = 10 - 10 = 0$. При этом значении знаменатель обращается в ноль, и, следовательно, все выражение не имеет смысла.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту В).

Ответ: В) 5

3. При каких значениях аргумента функция $y = \frac{x+2}{x^2-1}$ не определена?

А) -1; 1

Б) 1

В) -2; -1; 1

Г) -2; 1

Функция $y = \frac{x+2}{x^2-1}$ является дробно-рациональной. Она не определена в тех точках, где ее знаменатель обращается в ноль, так как деление на ноль является недопустимой операцией.

Чтобы найти эти значения аргумента $x$, нужно приравнять знаменатель дроби к нулю и решить полученное уравнение.

Знаменатель функции: $x^2 - 1$.

Приравниваем знаменатель к нулю:

$x^2 - 1 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Можно решить его, разложив левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x-1)(x+1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $x - 1 = 0 \implies x = 1$

2) $x + 1 = 0 \implies x = -1$

Таким образом, функция не определена при значениях аргумента $x=1$ и $x=-1$.

Среди предложенных вариантов ответа, этому решению соответствует вариант А).

Ответ: А) -1; 1

4. Сократите дробь $\frac{21a^6}{14a^3}$.

А) $\frac{3a^3}{2}$

Б) $\frac{3a^2}{2}$

В) $\frac{3}{2a^3}$

Г) $\frac{3}{2a^2}$

Для того чтобы сократить дробь $\frac{21a^6}{14a^3}$, нужно поочередно сократить числовые коэффициенты и степенные выражения с переменной $a$.

1. Сокращение числовых коэффициентов

В числителе стоит число 21, а в знаменателе — 14. Найдем их наибольший общий делитель (НОД). Разложим оба числа на простые множители:

$21 = 3 \cdot 7$

$14 = 2 \cdot 7$

Наибольший общий делитель для 21 и 14 — это 7. Разделим и числитель, и знаменатель на 7:

$\frac{21}{14} = \frac{21 \div 7}{14 \div 7} = \frac{3}{2}$

2. Сокращение степенных выражений

Теперь разберемся с частью дроби, содержащей переменную: $\frac{a^6}{a^3}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. Это следует из свойства степеней: $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.

Применим это правило:

$\frac{a^6}{a^3} = a^{6-3} = a^3$

3. Объединение результатов

Теперь объединим упрощенные числовую и буквенную части:

$\frac{21a^6}{14a^3} = \frac{3}{2} \cdot a^3 = \frac{3a^3}{2}$

Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он совпадает с вариантом А.

Ответ: А) $\frac{3a^3}{2}$

5. Какой из данных дробей тождественно равна дробь $\frac{5b - 15}{b^2 - 9}$?

А) $\frac{b - 3}{5}$

Б) $\frac{b + 3}{5}$

В) $\frac{5}{b - 3}$

Г) $\frac{5}{b + 3}$

Для того чтобы определить, какая из данных дробей тождественно равна дроби $\frac{5b - 15}{b^2 - 9}$, необходимо упростить это выражение. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

1. Разложим на множители числитель $5b - 15$. Вынесем за скобки общий множитель 5:

$5b - 15 = 5(b - 3)$

2. Разложим на множители знаменатель $b^2 - 9$. Это выражение является разностью квадратов, поэтому применим формулу $a^2 - c^2 = (a - c)(a + c)$:

$b^2 - 9 = b^2 - 3^2 = (b - 3)(b + 3)$

3. Теперь подставим полученные разложения обратно в исходную дробь:

$\frac{5b - 15}{b^2 - 9} = \frac{5(b - 3)}{(b - 3)(b + 3)}$

4. Сократим дробь на общий множитель $(b - 3)$. Данное преобразование возможно при условии, что $b - 3 \neq 0$, то есть $b \neq 3$. Это условие входит в область допустимых значений исходной дроби, где $b^2 - 9 \neq 0$ (т.е. $b \neq 3$ и $b \neq -3$).

$\frac{5\cancel{(b - 3)}}{\cancel{(b - 3)}(b + 3)} = \frac{5}{b + 3}$

В результате упрощения мы получили дробь $\frac{5}{b + 3}$. Сравнив её с предложенными вариантами, видим, что она соответствует варианту Г.

Ответ: Г) $\frac{5}{b + 3}$

6. Сократите дробь $\frac{12c^2 - 4c}{3c - 1}$.

А) $4c$ Б) $-4c$ В) $\frac{1}{4c}$ Г) $-\frac{1}{4c}$

6. Чтобы сократить дробь $\frac{12c^2 - 4c}{3c - 1}$, необходимо разложить ее числитель и знаменатель на множители и затем сократить общие из них.
1. Разложим на множители числитель $12c^2 - 4c$. Для этого вынесем за скобки общий множитель. Наибольшим общим делителем для $12c^2$ и $4c$ является $4c$.
$12c^2 - 4c = 4c \cdot 3c - 4c \cdot 1 = 4c(3c - 1)$.
2. Подставим полученное выражение обратно в дробь:
$\frac{12c^2 - 4c}{3c - 1} = \frac{4c(3c - 1)}{3c - 1}$.
3. Теперь мы видим, что в числителе и знаменателе есть общий множитель $(3c - 1)$. Сократим дробь на этот множитель. Данная операция допустима при условии, что $3c - 1 \neq 0$, то есть $c \neq \frac{1}{3}$.
$\frac{4c\cancel{(3c - 1)}}{\cancel{3c - 1}} = 4c$.
Полученный результат $4c$ соответствует варианту А).

Ответ: А) $4c$

7. Выполните вычитание: $\frac{5x}{x-2} - \frac{10}{x-2}$.

А) $\frac{x+2}{x-2}$

Б) $\frac{5x+10}{x-2}$

В) $5$

Г) $-5$

Для выполнения вычитания алгебраических дробей необходимо привести их к общему знаменателю. В данном выражении $\frac{5x}{x-2} - \frac{10}{x-2}$ знаменатели уже одинаковы и равны $x-2$.

Следовательно, мы можем объединить дроби, выполнив вычитание их числителей:

$\frac{5x}{x-2} - \frac{10}{x-2} = \frac{5x - 10}{x-2}$

Далее необходимо упростить полученное выражение. Для этого разложим числитель на множители. В выражении $5x - 10$ можно вынести за скобки общий множитель 5:

$5x - 10 = 5(x - 2)$

Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$\frac{5(x-2)}{x-2}$

Мы видим, что в числителе и знаменателе есть одинаковый множитель $(x-2)$. Мы можем сократить дробь на этот множитель при условии, что он не равен нулю ($x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$).

$\frac{5\cancel{(x-2)}}{\cancel{x-2}} = 5$

Таким образом, результат вычитания равен 5. Сравнивая с предложенными вариантами, мы видим, что это соответствует варианту В).

Ответ: В) 5

8. Выполните сложение: $\frac{4-m}{m-3} + \frac{2m-5}{3-m}$

А) $\frac{m-1}{m-3}$

Б) $\frac{1-3m}{m-3}$

В) $3$

Г) $-3$

Чтобы выполнить сложение дробей $\frac{4 - m}{m - 3} + \frac{2m - 5}{3 - m}$, необходимо привести их к общему знаменателю.

Обратим внимание на знаменатели дробей: $m - 3$ и $3 - m$. Они являются противоположными выражениями, так как $3 - m = -(m - 3)$.

Преобразуем вторую дробь, вынеся знак "минус" из знаменателя:

$\frac{2m - 5}{3 - m} = \frac{2m - 5}{-(m - 3)} = -\frac{2m - 5}{m - 3}$

Теперь исходное выражение можно переписать так:

$\frac{4 - m}{m - 3} - \frac{2m - 5}{m - 3}$

Поскольку дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем объединить их числители:

$\frac{(4 - m) - (2m - 5)}{m - 3}$

Раскроем скобки в числителе. Важно помнить, что знак "минус" перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:

$\frac{4 - m - 2m + 5}{m - 3}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(4 + 5) + (-m - 2m) = 9 - 3m$

Теперь дробь имеет вид:

$\frac{9 - 3m}{m - 3}$

Чтобы упростить дробь, вынесем общий множитель в числителе. Общим множителем для $9$ и $-3m$ является $3$ или $-3$. Вынесем $-3$, чтобы получить в скобках выражение, совпадающее со знаменателем:

$9 - 3m = -3(m - 3)$

Подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{-3(m - 3)}{m - 3}$

Сократим дробь на общий множитель $(m - 3)$, при условии, что $m - 3 \neq 0$, то есть $m \neq 3$ (что является областью допустимых значений для исходного выражения):

$\frac{-3\cancel{(m - 3)}}{\cancel{(m - 3)}} = -3$

Результат выражения равен -3.

Ответ: Г) -3

9. Представьте в виде дроби выражение $ \frac{3n^2}{n-6} - 3n. $

А) $ \frac{3n}{n-4} $

Б) $ \frac{3n}{4-n} $

В) $ \frac{18n}{n-6} $

Г) $ \frac{18}{6-n} $

Для того чтобы представить выражение в виде дроби, необходимо привести все его части к общему знаменателю. В данном случае общий знаменатель — это $n-6$.

Представим выражение $3n$ в виде дроби со знаменателем $n-6$. Для этого умножим и разделим $3n$ на $n-6$:

$3n = \frac{3n(n-6)}{n-6}$

Теперь подставим это выражение в исходное и выполним вычитание дробей:

$\frac{3n^2}{n-6} - 3n = \frac{3n^2}{n-6} - \frac{3n(n-6)}{n-6}$

Запишем разность под общим знаменателем:

$\frac{3n^2 - 3n(n-6)}{n-6}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{3n^2 - (3n^2 - 18n)}{n-6} = \frac{3n^2 - 3n^2 + 18n}{n-6}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{18n}{n-6}$

Этот результат соответствует варианту ответа В.

Ответ: В) $\frac{18n}{n-6}$