Страница 38 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

150. Найдите частное:

1) $\frac{7}{a^2} : \frac{28}{a^8}$;

2) $\frac{b^9}{8} : \frac{b^3}{48}$;

3) $\frac{27}{m^6} : \frac{36}{m^7 n^2}$;

4) $\frac{6x^{10}}{y^8} : (30x^5y^2)$;

5) $49m^4 : \frac{21m}{n^2}$;

6) $\frac{16x^3y^8}{33z^5} : (-\frac{10x^2}{55z^6})$.

1) Чтобы найти частное двух дробей, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.
$\frac{7}{a^2} : \frac{28}{a^8} = \frac{7}{a^2} \cdot \frac{a^8}{28}$
Теперь перемножим числители и знаменатели и выполним сокращение. Сократим числовые коэффициенты 7 и 28 на 7. Сократим степени переменной $a$, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{7 \cdot a^8}{28 \cdot a^2} = \frac{1 \cdot a^{8-2}}{4} = \frac{a^6}{4}$.
Ответ: $\frac{a^6}{4}$

2) Применяем правило деления дробей: первую дробь умножаем на перевернутую вторую.
$\frac{b^9}{8} : \frac{b^3}{48} = \frac{b^9}{8} \cdot \frac{48}{b^3}$
Выполним сокращение: числовые коэффициенты 48 и 8 сокращаются на 8. Степени переменной $b$ сокращаются по правилу деления степеней с одинаковым основанием.
$\frac{48 \cdot b^9}{8 \cdot b^3} = 6 \cdot b^{9-3} = 6b^6$.
Ответ: $6b^6$

3) Заменяем деление дробей на умножение на обратную (перевернутую) дробь.
$\frac{27}{m^6} : \frac{36}{m^7n^2} = \frac{27}{m^6} \cdot \frac{m^7n^2}{36}$
Сократим числовые коэффициенты 27 и 36 на их наибольший общий делитель, который равен 9. Сократим степени переменной $m$.
$\frac{27 \cdot m^7n^2}{36 \cdot m^6} = \frac{3 \cdot m^{7-6} \cdot n^2}{4} = \frac{3mn^2}{4}$.
Ответ: $\frac{3mn^2}{4}$

4) Делитель $30x^5y^2$ можно представить в виде дроби $\frac{30x^5y^2}{1}$. Тогда деление будет выглядеть так:
$\frac{6x^{10}}{y^8} : (30x^5y^2) = \frac{6x^{10}}{y^8} : \frac{30x^5y^2}{1} = \frac{6x^{10}}{y^8} \cdot \frac{1}{30x^5y^2}$
Теперь умножим дроби и сократим. Коэффициенты 6 и 30 сокращаются на 6. Переменные $x$ и $y$ упрощаются по правилам действий со степенями ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
$\frac{6x^{10}}{30x^5y^8y^2} = \frac{1 \cdot x^{10-5}}{5 \cdot y^{8+2}} = \frac{x^5}{5y^{10}}$.
Ответ: $\frac{x^5}{5y^{10}}$

5) Делимое $49m^4$ представим в виде дроби $\frac{49m^4}{1}$ и применим правило деления дробей.
$49m^4 : \frac{21m}{n^2} = \frac{49m^4}{1} \cdot \frac{n^2}{21m}$
Выполним умножение и сокращение. Коэффициенты 49 и 21 сокращаются на 7. Степени переменной $m$ сокращаются.
$\frac{49m^4n^2}{21m} = \frac{7m^{4-1}n^2}{3} = \frac{7m^3n^2}{3}$.
Ответ: $\frac{7m^3n^2}{3}$

6) При делении положительной дроби на отрицательную результат будет отрицательным. Заменяем деление на умножение на обратную дробь, вынося знак минус за скобки.
$\frac{16x^3y^8}{33z^5} : \left(-\frac{10x^2}{55z^6}\right) = - \left(\frac{16x^3y^8}{33z^5} \cdot \frac{55z^6}{10x^2}\right)$
Перегруппируем множители и проведем сокращение.
Коэффициенты: $\frac{16 \cdot 55}{33 \cdot 10} = \frac{(2 \cdot 8) \cdot (5 \cdot 11)}{(3 \cdot 11) \cdot (2 \cdot 5)} = \frac{8}{3}$.
Переменные: $\frac{x^3}{x^2} = x^{3-2} = x$ и $\frac{z^6}{z^5} = z^{6-5} = z$.
Собираем все вместе:
$- \frac{16 \cdot 55 \cdot x^3y^8z^6}{33 \cdot 10 \cdot z^5x^2} = - \frac{8 \cdot x \cdot y^8 \cdot z}{3} = -\frac{8xy^8z}{3}$.
Ответ: $-\frac{8xy^8z}{3}$

151. Упростите выражение:

1) $\frac{a - b}{7a} : \frac{a - b}{7b}$;

2) $\frac{x^2 - y^2}{x^2} : \frac{6x + 6y}{x^5}$;

3) $\frac{c - 5}{c^2 - 4c} : \frac{c - 5}{5c - 20}$;

4) $\frac{x - y}{xy} : \frac{x^2 - y^2}{3xy}$;

5) $\frac{a^2 - 25}{a + 7} : \frac{a - 5}{a + 7}$;

6) $\frac{a^2 - 4a + 4}{a + 2} : (a - 2)$;

7) $(p^2 - 16k^2) : \frac{p + 4k}{p}$;

8) $\frac{a^2 - ab}{a^2} : \frac{a^2 - 2ab + b^2}{ab}$.

1) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{a-b}{7a} : \frac{a-b}{7b} = \frac{a-b}{7a} \cdot \frac{7b}{a-b}$

Сокращаем общие множители $(a-b)$ и $7$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{a-b}}{\cancel{7}a} \cdot \frac{\cancel{7}b}{\cancel{a-b}} = \frac{b}{a}$

Ответ: $\frac{b}{a}$

2) Сначала разложим числитель первой дроби и числитель второй дроби на множители. Числитель первой дроби $x^2 - y^2$ - это разность квадратов, которая раскладывается как $(x-y)(x+y)$. В числителе второй дроби $6x+6y$ вынесем общий множитель $6$ за скобки: $6(x+y)$.

$\frac{x^2-y^2}{x^2} : \frac{6x+6y}{x^5} = \frac{(x-y)(x+y)}{x^2} : \frac{6(x+y)}{x^5}$

Теперь выполним деление, умножив первую дробь на перевернутую вторую:

$\frac{(x-y)(x+y)}{x^2} \cdot \frac{x^5}{6(x+y)}$

Сокращаем общие множители $(x+y)$ и степень $x$:

$\frac{(x-y)\cancel{(x+y)}}{\cancel{x^2}} \cdot \frac{x^5}{6\cancel{(x+y)}} = \frac{(x-y)x^3}{6}$

Ответ: $\frac{x^3(x-y)}{6}$

3) Разложим на множители знаменатели обеих дробей. В знаменателе $c^2-4c$ вынесем $c$ за скобки: $c(c-4)$. В знаменателе $5c-20$ вынесем $5$ за скобки: $5(c-4)$.

$\frac{c-5}{c^2-4c} : \frac{c-5}{5c-20} = \frac{c-5}{c(c-4)} : \frac{c-5}{5(c-4)}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{c-5}{c(c-4)} \cdot \frac{5(c-4)}{c-5}$

Сокращаем одинаковые множители $(c-5)$ и $(c-4)$:

$\frac{\cancel{c-5}}{c\cancel{(c-4)}} \cdot \frac{5\cancel{(c-4)}}{\cancel{c-5}} = \frac{5}{c}$

Ответ: $\frac{5}{c}$

4) Разложим числитель второй дроби $x^2-y^2$ по формуле разности квадратов: $(x-y)(x+y)$.

$\frac{x-y}{xy} : \frac{x^2-y^2}{3xy} = \frac{x-y}{xy} : \frac{(x-y)(x+y)}{3xy}$

Выполним деление, умножив на перевернутую дробь:

$\frac{x-y}{xy} \cdot \frac{3xy}{(x-y)(x+y)}$

Сократим общие множители $(x-y)$ и $xy$:

$\frac{\cancel{x-y}}{\cancel{xy}} \cdot \frac{3\cancel{xy}}{(\cancel{x-y})(x+y)} = \frac{3}{x+y}$

Ответ: $\frac{3}{x+y}$

5) Разложим числитель первой дроби $a^2-25$ по формуле разности квадратов: $(a-5)(a+5)$.

$\frac{a^2-25}{a+7} : \frac{a-5}{a+7} = \frac{(a-5)(a+5)}{a+7} : \frac{a-5}{a+7}$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{(a-5)(a+5)}{a+7} \cdot \frac{a+7}{a-5}$

Сократим общие множители $(a-5)$ и $(a+7)$:

$\frac{(\cancel{a-5})(a+5)}{\cancel{a+7}} \cdot \frac{\cancel{a+7}}{\cancel{a-5}} = a+5$

Ответ: $a+5$

6) Разложим числитель дроби $a^2-4a+4$ по формуле квадрата разности: $(a-2)^2$. Выражение $(a-2)$ представим в виде дроби $\frac{a-2}{1}$.

$\frac{a^2-4a+4}{a+2} : (a-2) = \frac{(a-2)^2}{a+2} : \frac{a-2}{1}$

Выполним деление:

$\frac{(a-2)^2}{a+2} \cdot \frac{1}{a-2}$

Сократим общий множитель $(a-2)$:

$\frac{(a-2)^{\cancel{2}}}{a+2} \cdot \frac{1}{\cancel{a-2}} = \frac{a-2}{a+2}$

Ответ: $\frac{a-2}{a+2}$

7) Разложим выражение $p^2 - 16k^2$ на множители по формуле разности квадратов: $(p-4k)(p+4k)$. Представим его в виде дроби со знаменателем 1.

$(p^2-16k^2) : \frac{p+4k}{p} = \frac{(p-4k)(p+4k)}{1} : \frac{p+4k}{p}$

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{(p-4k)(p+4k)}{1} \cdot \frac{p}{p+4k}$

Сократим общий множитель $(p+4k)$:

$\frac{(p-4k)\cancel{(p+4k)}}{1} \cdot \frac{p}{\cancel{p+4k}} = p(p-4k)$

Ответ: $p(p-4k)$

8) Разложим на множители числители дробей. В числителе $a^2-ab$ вынесем $a$ за скобки: $a(a-b)$. Числитель $a^2-2ab+b^2$ свернем по формуле квадрата разности: $(a-b)^2$.

$\frac{a^2-ab}{a^2} : \frac{a^2-2ab+b^2}{ab} = \frac{a(a-b)}{a^2} : \frac{(a-b)^2}{ab}$

Выполним деление дробей:

$\frac{a(a-b)}{a^2} \cdot \frac{ab}{(a-b)^2}$

Сократим общие множители $a$ и $(a-b)$:

$\frac{\cancel{a}\cancel{(a-b)}}{a^{\cancel{2}}} \cdot \frac{ab}{(a-b)^{\cancel{2}}} = \frac{1}{a} \cdot \frac{ab}{a-b} = \frac{\cancel{a}b}{\cancel{a}(a-b)} = \frac{b}{a-b}$

Ответ: $\frac{b}{a-b}$

152. Выполните деление:

1) $\frac{5m - 2n}{10k} : \frac{5m - 2n}{10k^2}$;

2) $\frac{p + 3}{p^2 - 2p} : \frac{p + 3}{4p - 8}$;

3) $\frac{a^2 - b^2}{2ab} : \frac{a + b}{ab}$;

4) $\frac{a^2 - 16}{a - 3} : \frac{a + 4}{a - 3}$;

5) $\frac{y - 9}{y - 8} : \frac{y^2 - 81}{y^2 - 16y + 64}$;

6) $(x^2 - 49y^2) : \frac{x - 7y}{x}$.

1) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).

$ \frac{5m-2n}{10k} : \frac{5m-2n}{10k^2} = \frac{5m-2n}{10k} \cdot \frac{10k^2}{5m-2n} $

Запишем произведение под общей чертой и сократим общие множители $(5m-2n)$, $10$ и $k$. При этом мы предполагаем, что $k \neq 0$ и $5m-2n \neq 0$.

$ \frac{(5m-2n) \cdot 10k^2}{10k \cdot (5m-2n)} = \frac{\cancel{(5m-2n)} \cdot \cancel{10} \cdot k \cdot \cancel{k}}{\cancel{10} \cdot \cancel{k} \cdot \cancel{(5m-2n)}} = k $

Ответ: $k$

2) Применим правило деления дробей: умножим первую дробь на обратную ко второй.

$ \frac{p+3}{p^2-2p} : \frac{p+3}{4p-8} = \frac{p+3}{p^2-2p} \cdot \frac{4p-8}{p+3} $

Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй дроби:

$ p^2-2p = p(p-2) $

$ 4p-8 = 4(p-2) $

Подставим разложенные выражения в пример:

$ \frac{p+3}{p(p-2)} \cdot \frac{4(p-2)}{p+3} = \frac{(p+3) \cdot 4(p-2)}{p(p-2)(p+3)} $

Сократим общие множители $(p+3)$ и $(p-2)$:

$ \frac{\cancel{(p+3)} \cdot 4 \cdot \cancel{(p-2)}}{p \cdot \cancel{(p-2)} \cdot \cancel{(p+3)}} = \frac{4}{p} $

Ответ: $ \frac{4}{p} $

3) Для деления дробей умножаем первую дробь на перевернутую вторую.

$ \frac{a^2-b^2}{2ab} : \frac{a+b}{ab} = \frac{a^2-b^2}{2ab} \cdot \frac{ab}{a+b} $

Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ \frac{(a-b)(a+b)}{2ab} \cdot \frac{ab}{a+b} = \frac{(a-b)(a+b)ab}{2ab(a+b)} $

Сократим общие множители $ab$ и $(a+b)$:

$ \frac{(a-b)\cancel{(a+b)}\cancel{ab}}{2\cancel{ab}\cancel{(a+b)}} = \frac{a-b}{2} $

Ответ: $ \frac{a-b}{2} $

4) Применяем правило деления дробей.

$ \frac{a^2-16}{a-3} : \frac{a+4}{a-3} = \frac{a^2-16}{a-3} \cdot \frac{a-3}{a+4} $

Разложим числитель $a^2-16$ как разность квадратов $a^2-4^2=(a-4)(a+4)$:

$ \frac{(a-4)(a+4)}{a-3} \cdot \frac{a-3}{a+4} = \frac{(a-4)(a+4)(a-3)}{(a-3)(a+4)} $

Сократим общие множители $(a-3)$ и $(a+4)$:

$ \frac{(a-4)\cancel{(a+4)}\cancel{(a-3)}}{\cancel{(a-3)}\cancel{(a+4)}} = a-4 $

Ответ: $ a-4 $

5) Умножаем первую дробь на дробь, обратную второй.

$ \frac{y-9}{y-8} : \frac{y^2-81}{y^2-16y+64} = \frac{y-9}{y-8} \cdot \frac{y^2-16y+64}{y^2-81} $

Разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби. Числитель - это квадрат разности, а знаменатель - разность квадратов:

$ y^2-16y+64 = (y-8)^2 $

$ y^2-81 = (y-9)(y+9) $

Подставляем в выражение:

$ \frac{y-9}{y-8} \cdot \frac{(y-8)^2}{(y-9)(y+9)} = \frac{(y-9)(y-8)^2}{(y-8)(y-9)(y+9)} $

Сокращаем общие множители $(y-9)$ и $(y-8)$:

$ \frac{\cancel{(y-9)}(y-8)^{\cancel{2}}}{\cancel{(y-8)}\cancel{(y-9)}(y+9)} = \frac{y-8}{y+9} $

Ответ: $ \frac{y-8}{y+9} $

6) Представим выражение $(x^2-49y^2)$ в виде дроби со знаменателем 1 и применим правило деления.

$ (x^2-49y^2) : \frac{x-7y}{x} = \frac{x^2-49y^2}{1} \cdot \frac{x}{x-7y} $

Разложим двучлен $x^2-49y^2$ по формуле разности квадратов $x^2-(7y)^2=(x-7y)(x+7y)$:

$ \frac{(x-7y)(x+7y)}{1} \cdot \frac{x}{x-7y} = \frac{(x-7y)(x+7y)x}{x-7y} $

Сократим общий множитель $(x-7y)$:

$ \frac{\cancel{(x-7y)}(x+7y)x}{\cancel{x-7y}} = x(x+7y) $

Можно раскрыть скобки: $x(x+7y) = x^2+7xy$.

Ответ: $ x(x+7y) $

153. Выполните возведение в степень:

1) $(\frac{a}{b})^9$;

2) $(\frac{m}{n^2})^8$;

3) $(\frac{c}{2d})^5$;

4) $(\frac{5a^6}{b^5})^2$;

5) $(-\frac{3m^4}{2n^3})^3$;

6) $(-\frac{6a^6}{b^7})^2$.

1) Для возведения дроби в степень необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби, согласно свойству степени $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$.

$(\frac{a}{b})^9 = \frac{a^9}{b^9}$

Ответ: $\frac{a^9}{b^9}$

2) Используем свойство возведения дроби в степень. Для знаменателя применим свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

$(\frac{m}{n^2})^8 = \frac{m^8}{(n^2)^8} = \frac{m^8}{n^{2 \cdot 8}} = \frac{m^8}{n^{16}}$

Ответ: $\frac{m^8}{n^{16}}$

3) Возводим в пятую степень числитель и знаменатель. Для возведения в степень произведения в знаменателе, возводим в эту степень каждый множитель: $(xy)^n = x^n y^n$.

$(\frac{c}{2d})^5 = \frac{c^5}{(2d)^5} = \frac{c^5}{2^5 d^5} = \frac{c^5}{32d^5}$

Ответ: $\frac{c^5}{32d^5}$

4) Возводим в квадрат числитель и знаменатель. В числителе возводим в квадрат каждый множитель. При возведении степени в степень показатели перемножаются.

$(\frac{5a^6}{b^5})^2 = \frac{(5a^6)^2}{(b^5)^2} = \frac{5^2 \cdot (a^6)^2}{(b^5)^2} = \frac{25a^{6 \cdot 2}}{b^{5 \cdot 2}} = \frac{25a^{12}}{b^{10}}$

Ответ: $\frac{25a^{12}}{b^{10}}$

5) При возведении отрицательного выражения в нечетную степень (в данном случае 3), результат сохраняет знак минус. Далее применяем свойства степеней.

$(-\frac{3m^4}{2n^3})^3 = -(\frac{3m^4}{2n^3})^3 = -\frac{(3m^4)^3}{(2n^3)^3} = -\frac{3^3 \cdot (m^4)^3}{2^3 \cdot (n^3)^3} = -\frac{27m^{4 \cdot 3}}{8n^{3 \cdot 3}} = -\frac{27m^{12}}{8n^9}$

Ответ: $-\frac{27m^{12}}{8n^9}$

6) При возведении отрицательного выражения в четную степень (в данном случае 2), результат становится положительным. Знак минус "исчезает".

$(-\frac{6a^6}{b^7})^2 = (\frac{6a^6}{b^7})^2 = \frac{(6a^6)^2}{(b^7)^2} = \frac{6^2 \cdot (a^6)^2}{(b^7)^2} = \frac{36a^{6 \cdot 2}}{b^{7 \cdot 2}} = \frac{36a^{12}}{b^{14}}$

Ответ: $\frac{36a^{12}}{b^{14}}$

154. Представьте в виде дроби выражение:

1) $ \left(\frac{a^6}{b^3}\right)^{10}; $

2) $ \left(-\frac{4m}{9n^3}\right)^{2}; $

3) $ \left(-\frac{10c^7}{3d^5}\right)^{3}; $

4) $ \left(\frac{2m^3n^2}{kp^8}\right)^{6}. $

1) Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель дроби по правилу $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$.
Исходное выражение: $(\frac{a^6}{b^3})^{10}$.
Применим это свойство: $(\frac{a^6}{b^3})^{10} = \frac{(a^6)^{10}}{(b^3)^{10}}$.
Далее используем свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
Для числителя: $(a^6)^{10} = a^{6 \cdot 10} = a^{60}$.
Для знаменателя: $(b^3)^{10} = b^{3 \cdot 10} = b^{30}$.
В результате получаем дробь:
$\frac{a^{60}}{b^{30}}$.
Ответ: $\frac{a^{60}}{b^{30}}$.

2) Данное выражение $(-\frac{4m}{9n^3})^2$ представляет собой отрицательную дробь, возводимую в четную степень (в квадрат). При возведении отрицательного значения в четную степень результат будет положительным, так как $(-x)^{2k} = x^{2k}$.
Следовательно, $(-\frac{4m}{9n^3})^2 = (\frac{4m}{9n^3})^2$.
Теперь возведем в квадрат числитель и знаменатель дроби: $\frac{(4m)^2}{(9n^3)^2}$.
Чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый из множителей: $(xy)^n = x^n y^n$.
Для числителя: $(4m)^2 = 4^2 \cdot m^2 = 16m^2$.
Для знаменателя: $(9n^3)^2 = 9^2 \cdot (n^3)^2 = 81 \cdot n^{3 \cdot 2} = 81n^6$.
Итоговый результат:
$\frac{16m^2}{81n^6}$.
Ответ: $\frac{16m^2}{81n^6}$.

3) Выражение $(-\frac{10c^7}{3d^5})^3$ возводится в нечетную степень (в куб). При возведении отрицательного значения в нечетную степень результат сохраняет отрицательный знак, так как $(-x)^{2k+1} = -x^{2k+1}$.
Следовательно, $(-\frac{10c^7}{3d^5})^3 = -(\frac{10c^7}{3d^5})^3$.
Возведем в куб числитель и знаменатель, сохраняя знак "минус" перед дробью:
$-\frac{(10c^7)^3}{(3d^5)^3}$.
Применим свойства степени для числителя и знаменателя.
Для числителя: $(10c^7)^3 = 10^3 \cdot (c^7)^3 = 1000 \cdot c^{7 \cdot 3} = 1000c^{21}$.
Для знаменателя: $(3d^5)^3 = 3^3 \cdot (d^5)^3 = 27 \cdot d^{5 \cdot 3} = 27d^{15}$.
Подставляем полученные выражения в дробь:
$-\frac{1000c^{21}}{27d^{15}}$.
Ответ: $-\frac{1000c^{21}}{27d^{15}}$.

4) Для выражения $(\frac{2m^3n^2}{kp^8})^6$ применим правило возведения дроби в степень: возведем в 6-ю степень числитель и знаменатель.
$(\frac{2m^3n^2}{kp^8})^6 = \frac{(2m^3n^2)^6}{(kp^8)^6}$.
Теперь применим правило возведения произведения в степень для числителя и знаменателя.
Для числителя: $(2m^3n^2)^6 = 2^6 \cdot (m^3)^6 \cdot (n^2)^6$.
Для знаменателя: $(kp^8)^6 = k^6 \cdot (p^8)^6$.
Вычислим каждую степень, используя правило $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
В числителе: $2^6 = 64$; $(m^3)^6 = m^{3 \cdot 6} = m^{18}$; $(n^2)^6 = n^{2 \cdot 6} = n^{12}$.
В знаменателе: $k^6$ остается $k^6$; $(p^8)^6 = p^{8 \cdot 6} = p^{48}$.
Собираем итоговую дробь:
$\frac{64m^{18}n^{12}}{k^6p^{48}}$.
Ответ: $\frac{64m^{18}n^{12}}{k^6p^{48}}$.

155. Упростите выражение:

1) $\frac{6a^4b^2}{35c^3} \cdot \frac{14b^2}{a^7c^5} \cdot \frac{5a^3c^8}{18b^4}$

2) $\frac{33m^8}{34n^8} : \frac{88m^4}{51n^4} : \frac{21m^6}{16n^2}$

3) $\frac{36x^6}{49y^5} : \frac{24x^9}{25y^4} \cdot \frac{7x^2}{30y}$

4) $\left(\frac{m^5n}{3p^3}\right)^3 : \frac{m^{10}n^5}{54p^8}$

5) $\left(\frac{2a^5}{y^6}\right)^4 : \left(\frac{4a^6}{y^8}\right)^3$

6) $\left(-\frac{27x^3}{16y^5}\right)^2 \cdot \left(\frac{8y^3}{9x^2}\right)^3$

1) Чтобы упростить данное выражение, представляющее собой произведение трех дробей, выполним следующие действия. Сначала перемножим числители и знаменатели всех дробей:

$ \frac{6a^4b^2}{35c^3} \cdot \frac{14b^2}{a^7c^5} \cdot \frac{5a^3c^8}{18b^4} = \frac{6 \cdot a^4 \cdot b^2 \cdot 14 \cdot b^2 \cdot 5 \cdot a^3 \cdot c^8}{35 \cdot c^3 \cdot a^7 \cdot c^5 \cdot 18 \cdot b^4} $

Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:

$ \frac{6 \cdot 14 \cdot 5}{35 \cdot 18} \cdot \frac{a^4 \cdot a^3}{a^7} \cdot \frac{b^2 \cdot b^2}{b^4} \cdot \frac{c^8}{c^3 \cdot c^5} $

Сократим числовые коэффициенты, разложив их на множители:

$ \frac{6 \cdot (2 \cdot 7) \cdot 5}{(5 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 6)} = \frac{2}{3} $

Упростим выражения с переменными, используя свойства степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ и $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$ \frac{a^4 \cdot a^3}{a^7} = \frac{a^{4+3}}{a^7} = \frac{a^7}{a^7} = a^{7-7} = a^0 = 1 $

$ \frac{b^2 \cdot b^2}{b^4} = \frac{b^{2+2}}{b^4} = \frac{b^4}{b^4} = b^{4-4} = b^0 = 1 $

$ \frac{c^8}{c^3 \cdot c^5} = \frac{c^8}{c^{3+5}} = \frac{c^8}{c^8} = c^{8-8} = c^0 = 1 $

Перемножим полученные результаты:

$ \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = \frac{2}{3} $

Ответ: $ \frac{2}{3} $

2) В данном выражении используется последовательное деление. Выражение вида $A : B : C$ вычисляется как $(A : B) : C = \frac{A}{B} \cdot \frac{1}{C} = \frac{A}{B \cdot C}$. Поэтому мы заменим деление на вторую и третью дроби умножением на их обратные значения:

$ \frac{33m^8}{34n^8} : \frac{88m^4}{51n^4} : \frac{21m^6}{16n^2} = \frac{33m^8}{34n^8} \cdot \frac{51n^4}{88m^4} \cdot \frac{16n^2}{21m^6} $

Сгруппируем коэффициенты и переменные:

$ \frac{33 \cdot 51 \cdot 16}{34 \cdot 88 \cdot 21} \cdot \frac{m^8}{m^4 \cdot m^6} \cdot \frac{n^4 \cdot n^2}{n^8} $

Сократим числовые коэффициенты:

$ \frac{(3 \cdot 11) \cdot (3 \cdot 17) \cdot 16}{(2 \cdot 17) \cdot (8 \cdot 11) \cdot (3 \cdot 7)} = \frac{3 \cdot 16}{2 \cdot 8 \cdot 7} = \frac{48}{112} = \frac{3 \cdot 16}{7 \cdot 16} = \frac{3}{7} $

Упростим переменные:

$ \frac{m^8}{m^{4+6}} = \frac{m^8}{m^{10}} = m^{8-10} = m^{-2} = \frac{1}{m^2} $

$ \frac{n^{4+2}}{n^8} = \frac{n^6}{n^8} = n^{6-8} = n^{-2} = \frac{1}{n^2} $

Объединим результаты:

$ \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{m^2} \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{3}{7m^2n^2} $

Ответ: $ \frac{3}{7m^2n^2} $

3) Выражение содержит деление и умножение. Выполняем действия по порядку слева направо. Сначала заменим деление умножением на обратную дробь:

$ \frac{36x^6}{49y^5} : \frac{24x^9}{25y^4} \cdot \frac{7x^2}{30y} = \frac{36x^6}{49y^5} \cdot \frac{25y^4}{24x^9} \cdot \frac{7x^2}{30y} $

Перемножим дроби, сгруппировав коэффициенты и переменные:

$ \frac{36 \cdot 25 \cdot 7}{49 \cdot 24 \cdot 30} \cdot \frac{x^6 \cdot x^2}{x^9} \cdot \frac{y^4}{y^5 \cdot y} $

Сократим коэффициенты:

$ \frac{(6 \cdot 6) \cdot (5 \cdot 5) \cdot 7}{(7 \cdot 7) \cdot (4 \cdot 6) \cdot (6 \cdot 5)} = \frac{5}{7 \cdot 4} = \frac{5}{28} $

Упростим переменные:

$ \frac{x^{6+2}}{x^9} = \frac{x^8}{x^9} = x^{8-9} = x^{-1} = \frac{1}{x} $

$ \frac{y^4}{y^{5+1}} = \frac{y^4}{y^6} = y^{4-6} = y^{-2} = \frac{1}{y^2} $

Соберем все вместе:

$ \frac{5}{28} \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{5}{28xy^2} $

Ответ: $ \frac{5}{28xy^2} $

4) Сначала возведем первую дробь в третью степень, используя правило $ (a/b)^n = a^n/b^n $:

$ \left(\frac{m^5n}{3p^3}\right)^3 = \frac{(m^5)^3 n^3}{3^3 (p^3)^3} = \frac{m^{15}n^3}{27p^9} $

Теперь выражение выглядит так:

$ \frac{m^{15}n^3}{27p^9} : \frac{m^{10}n^5}{54p^8} $

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$ \frac{m^{15}n^3}{27p^9} \cdot \frac{54p^8}{m^{10}n^5} $

Сгруппируем и упростим:

$ \frac{54}{27} \cdot \frac{m^{15}}{m^{10}} \cdot \frac{n^3}{n^5} \cdot \frac{p^8}{p^9} = 2 \cdot m^{15-10} \cdot n^{3-5} \cdot p^{8-9} = 2m^5n^{-2}p^{-1} $

Запишем результат в виде дроби:

$ \frac{2m^5}{n^2p} $

Ответ: $ \frac{2m^5}{n^2p} $

5) Возведем обе дроби в соответствующие степени:

$ \left(\frac{2a^5}{y^6}\right)^4 = \frac{2^4(a^5)^4}{(y^6)^4} = \frac{16a^{20}}{y^{24}} $

$ \left(\frac{4a^6}{y^8}\right)^3 = \frac{4^3(a^6)^3}{(y^8)^3} = \frac{64a^{18}}{y^{24}} $

Выполним деление полученных дробей:

$ \frac{16a^{20}}{y^{24}} : \frac{64a^{18}}{y^{24}} = \frac{16a^{20}}{y^{24}} \cdot \frac{y^{24}}{64a^{18}} $

Сократим дробь:

$ \frac{16}{64} \cdot \frac{a^{20}}{a^{18}} \cdot \frac{y^{24}}{y^{24}} = \frac{1}{4} \cdot a^{20-18} \cdot y^{24-24} = \frac{1}{4} \cdot a^2 \cdot y^0 = \frac{a^2}{4} $

Ответ: $ \frac{a^2}{4} $

6) Возведем обе дроби в указанные степени. Квадрат отрицательного числа является положительным.

$ \left(-\frac{27x^3}{16y^5}\right)^2 = \frac{(-27)^2(x^3)^2}{16^2(y^5)^2} = \frac{729x^6}{256y^{10}} $

$ \left(\frac{8y^3}{9x^2}\right)^3 = \frac{8^3(y^3)^3}{9^3(x^2)^3} = \frac{512y^9}{729x^6} $

Теперь перемножим полученные дроби:

$ \frac{729x^6}{256y^{10}} \cdot \frac{512y^9}{729x^6} $

Сгруппируем и сократим:

$ \frac{729}{729} \cdot \frac{512}{256} \cdot \frac{x^6}{x^6} \cdot \frac{y^9}{y^{10}} = 1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot y^{9-10} = 2y^{-1} $

Запишем в виде дроби:

$ \frac{2}{y} $

Ответ: $ \frac{2}{y} $