Номер 155, страница 38 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Глава 1. Рациональные выражения - номер 155, страница 38.

Условие.

155. Упростите выражение:

1) $\frac{6a^4b^2}{35c^3} \cdot \frac{14b^2}{a^7c^5} \cdot \frac{5a^3c^8}{18b^4}$

2) $\frac{33m^8}{34n^8} : \frac{88m^4}{51n^4} : \frac{21m^6}{16n^2}$

3) $\frac{36x^6}{49y^5} : \frac{24x^9}{25y^4} \cdot \frac{7x^2}{30y}$

4) $\left(\frac{m^5n}{3p^3}\right)^3 : \frac{m^{10}n^5}{54p^8}$

5) $\left(\frac{2a^5}{y^6}\right)^4 : \left(\frac{4a^6}{y^8}\right)^3$

6) $\left(-\frac{27x^3}{16y^5}\right)^2 \cdot \left(\frac{8y^3}{9x^2}\right)^3$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы упростить данное выражение, представляющее собой произведение трех дробей, выполним следующие действия. Сначала перемножим числители и знаменатели всех дробей:

$ \frac{6a^4b^2}{35c^3} \cdot \frac{14b^2}{a^7c^5} \cdot \frac{5a^3c^8}{18b^4} = \frac{6 \cdot a^4 \cdot b^2 \cdot 14 \cdot b^2 \cdot 5 \cdot a^3 \cdot c^8}{35 \cdot c^3 \cdot a^7 \cdot c^5 \cdot 18 \cdot b^4} $

Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:

$ \frac{6 \cdot 14 \cdot 5}{35 \cdot 18} \cdot \frac{a^4 \cdot a^3}{a^7} \cdot \frac{b^2 \cdot b^2}{b^4} \cdot \frac{c^8}{c^3 \cdot c^5} $

Сократим числовые коэффициенты, разложив их на множители:

$ \frac{6 \cdot (2 \cdot 7) \cdot 5}{(5 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 6)} = \frac{2}{3} $

Упростим выражения с переменными, используя свойства степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ и $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$ \frac{a^4 \cdot a^3}{a^7} = \frac{a^{4+3}}{a^7} = \frac{a^7}{a^7} = a^{7-7} = a^0 = 1 $

$ \frac{b^2 \cdot b^2}{b^4} = \frac{b^{2+2}}{b^4} = \frac{b^4}{b^4} = b^{4-4} = b^0 = 1 $

$ \frac{c^8}{c^3 \cdot c^5} = \frac{c^8}{c^{3+5}} = \frac{c^8}{c^8} = c^{8-8} = c^0 = 1 $

Перемножим полученные результаты:

$ \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = \frac{2}{3} $

Ответ: $ \frac{2}{3} $

2) В данном выражении используется последовательное деление. Выражение вида $A : B : C$ вычисляется как $(A : B) : C = \frac{A}{B} \cdot \frac{1}{C} = \frac{A}{B \cdot C}$. Поэтому мы заменим деление на вторую и третью дроби умножением на их обратные значения:

$ \frac{33m^8}{34n^8} : \frac{88m^4}{51n^4} : \frac{21m^6}{16n^2} = \frac{33m^8}{34n^8} \cdot \frac{51n^4}{88m^4} \cdot \frac{16n^2}{21m^6} $

Сгруппируем коэффициенты и переменные:

$ \frac{33 \cdot 51 \cdot 16}{34 \cdot 88 \cdot 21} \cdot \frac{m^8}{m^4 \cdot m^6} \cdot \frac{n^4 \cdot n^2}{n^8} $

Сократим числовые коэффициенты:

$ \frac{(3 \cdot 11) \cdot (3 \cdot 17) \cdot 16}{(2 \cdot 17) \cdot (8 \cdot 11) \cdot (3 \cdot 7)} = \frac{3 \cdot 16}{2 \cdot 8 \cdot 7} = \frac{48}{112} = \frac{3 \cdot 16}{7 \cdot 16} = \frac{3}{7} $

Упростим переменные:

$ \frac{m^8}{m^{4+6}} = \frac{m^8}{m^{10}} = m^{8-10} = m^{-2} = \frac{1}{m^2} $

$ \frac{n^{4+2}}{n^8} = \frac{n^6}{n^8} = n^{6-8} = n^{-2} = \frac{1}{n^2} $

Объединим результаты:

$ \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{m^2} \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{3}{7m^2n^2} $

Ответ: $ \frac{3}{7m^2n^2} $

3) Выражение содержит деление и умножение. Выполняем действия по порядку слева направо. Сначала заменим деление умножением на обратную дробь:

$ \frac{36x^6}{49y^5} : \frac{24x^9}{25y^4} \cdot \frac{7x^2}{30y} = \frac{36x^6}{49y^5} \cdot \frac{25y^4}{24x^9} \cdot \frac{7x^2}{30y} $

Перемножим дроби, сгруппировав коэффициенты и переменные:

$ \frac{36 \cdot 25 \cdot 7}{49 \cdot 24 \cdot 30} \cdot \frac{x^6 \cdot x^2}{x^9} \cdot \frac{y^4}{y^5 \cdot y} $

Сократим коэффициенты:

$ \frac{(6 \cdot 6) \cdot (5 \cdot 5) \cdot 7}{(7 \cdot 7) \cdot (4 \cdot 6) \cdot (6 \cdot 5)} = \frac{5}{7 \cdot 4} = \frac{5}{28} $

Упростим переменные:

$ \frac{x^{6+2}}{x^9} = \frac{x^8}{x^9} = x^{8-9} = x^{-1} = \frac{1}{x} $

$ \frac{y^4}{y^{5+1}} = \frac{y^4}{y^6} = y^{4-6} = y^{-2} = \frac{1}{y^2} $

Соберем все вместе:

$ \frac{5}{28} \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{5}{28xy^2} $

Ответ: $ \frac{5}{28xy^2} $

4) Сначала возведем первую дробь в третью степень, используя правило $ (a/b)^n = a^n/b^n $:

$ \left(\frac{m^5n}{3p^3}\right)^3 = \frac{(m^5)^3 n^3}{3^3 (p^3)^3} = \frac{m^{15}n^3}{27p^9} $

Теперь выражение выглядит так:

$ \frac{m^{15}n^3}{27p^9} : \frac{m^{10}n^5}{54p^8} $

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$ \frac{m^{15}n^3}{27p^9} \cdot \frac{54p^8}{m^{10}n^5} $

Сгруппируем и упростим:

$ \frac{54}{27} \cdot \frac{m^{15}}{m^{10}} \cdot \frac{n^3}{n^5} \cdot \frac{p^8}{p^9} = 2 \cdot m^{15-10} \cdot n^{3-5} \cdot p^{8-9} = 2m^5n^{-2}p^{-1} $

Запишем результат в виде дроби:

$ \frac{2m^5}{n^2p} $

Ответ: $ \frac{2m^5}{n^2p} $

5) Возведем обе дроби в соответствующие степени:

$ \left(\frac{2a^5}{y^6}\right)^4 = \frac{2^4(a^5)^4}{(y^6)^4} = \frac{16a^{20}}{y^{24}} $

$ \left(\frac{4a^6}{y^8}\right)^3 = \frac{4^3(a^6)^3}{(y^8)^3} = \frac{64a^{18}}{y^{24}} $

Выполним деление полученных дробей:

$ \frac{16a^{20}}{y^{24}} : \frac{64a^{18}}{y^{24}} = \frac{16a^{20}}{y^{24}} \cdot \frac{y^{24}}{64a^{18}} $

Сократим дробь:

$ \frac{16}{64} \cdot \frac{a^{20}}{a^{18}} \cdot \frac{y^{24}}{y^{24}} = \frac{1}{4} \cdot a^{20-18} \cdot y^{24-24} = \frac{1}{4} \cdot a^2 \cdot y^0 = \frac{a^2}{4} $

Ответ: $ \frac{a^2}{4} $

6) Возведем обе дроби в указанные степени. Квадрат отрицательного числа является положительным.

$ \left(-\frac{27x^3}{16y^5}\right)^2 = \frac{(-27)^2(x^3)^2}{16^2(y^5)^2} = \frac{729x^6}{256y^{10}} $

$ \left(\frac{8y^3}{9x^2}\right)^3 = \frac{8^3(y^3)^3}{9^3(x^2)^3} = \frac{512y^9}{729x^6} $

Теперь перемножим полученные дроби:

$ \frac{729x^6}{256y^{10}} \cdot \frac{512y^9}{729x^6} $

Сгруппируем и сократим:

$ \frac{729}{729} \cdot \frac{512}{256} \cdot \frac{x^6}{x^6} \cdot \frac{y^9}{y^{10}} = 1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot y^{9-10} = 2y^{-1} $

Запишем в виде дроби:

$ \frac{2}{y} $

Ответ: $ \frac{2}{y} $