Номер 154, страница 38 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Глава 1. Рациональные выражения - номер 154, страница 38.

Условие.

154. Представьте в виде дроби выражение:

1) $ \left(\frac{a^6}{b^3}\right)^{10}; $

2) $ \left(-\frac{4m}{9n^3}\right)^{2}; $

3) $ \left(-\frac{10c^7}{3d^5}\right)^{3}; $

4) $ \left(\frac{2m^3n^2}{kp^8}\right)^{6}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень числитель и знаменатель дроби по правилу $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$.
Исходное выражение: $(\frac{a^6}{b^3})^{10}$.
Применим это свойство: $(\frac{a^6}{b^3})^{10} = \frac{(a^6)^{10}}{(b^3)^{10}}$.
Далее используем свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
Для числителя: $(a^6)^{10} = a^{6 \cdot 10} = a^{60}$.
Для знаменателя: $(b^3)^{10} = b^{3 \cdot 10} = b^{30}$.
В результате получаем дробь:
$\frac{a^{60}}{b^{30}}$.
Ответ: $\frac{a^{60}}{b^{30}}$.

2) Данное выражение $(-\frac{4m}{9n^3})^2$ представляет собой отрицательную дробь, возводимую в четную степень (в квадрат). При возведении отрицательного значения в четную степень результат будет положительным, так как $(-x)^{2k} = x^{2k}$.
Следовательно, $(-\frac{4m}{9n^3})^2 = (\frac{4m}{9n^3})^2$.
Теперь возведем в квадрат числитель и знаменатель дроби: $\frac{(4m)^2}{(9n^3)^2}$.
Чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый из множителей: $(xy)^n = x^n y^n$.
Для числителя: $(4m)^2 = 4^2 \cdot m^2 = 16m^2$.
Для знаменателя: $(9n^3)^2 = 9^2 \cdot (n^3)^2 = 81 \cdot n^{3 \cdot 2} = 81n^6$.
Итоговый результат:
$\frac{16m^2}{81n^6}$.
Ответ: $\frac{16m^2}{81n^6}$.

3) Выражение $(-\frac{10c^7}{3d^5})^3$ возводится в нечетную степень (в куб). При возведении отрицательного значения в нечетную степень результат сохраняет отрицательный знак, так как $(-x)^{2k+1} = -x^{2k+1}$.
Следовательно, $(-\frac{10c^7}{3d^5})^3 = -(\frac{10c^7}{3d^5})^3$.
Возведем в куб числитель и знаменатель, сохраняя знак "минус" перед дробью:
$-\frac{(10c^7)^3}{(3d^5)^3}$.
Применим свойства степени для числителя и знаменателя.
Для числителя: $(10c^7)^3 = 10^3 \cdot (c^7)^3 = 1000 \cdot c^{7 \cdot 3} = 1000c^{21}$.
Для знаменателя: $(3d^5)^3 = 3^3 \cdot (d^5)^3 = 27 \cdot d^{5 \cdot 3} = 27d^{15}$.
Подставляем полученные выражения в дробь:
$-\frac{1000c^{21}}{27d^{15}}$.
Ответ: $-\frac{1000c^{21}}{27d^{15}}$.

4) Для выражения $(\frac{2m^3n^2}{kp^8})^6$ применим правило возведения дроби в степень: возведем в 6-ю степень числитель и знаменатель.
$(\frac{2m^3n^2}{kp^8})^6 = \frac{(2m^3n^2)^6}{(kp^8)^6}$.
Теперь применим правило возведения произведения в степень для числителя и знаменателя.
Для числителя: $(2m^3n^2)^6 = 2^6 \cdot (m^3)^6 \cdot (n^2)^6$.
Для знаменателя: $(kp^8)^6 = k^6 \cdot (p^8)^6$.
Вычислим каждую степень, используя правило $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
В числителе: $2^6 = 64$; $(m^3)^6 = m^{3 \cdot 6} = m^{18}$; $(n^2)^6 = n^{2 \cdot 6} = n^{12}$.
В знаменателе: $k^6$ остается $k^6$; $(p^8)^6 = p^{8 \cdot 6} = p^{48}$.
Собираем итоговую дробь:
$\frac{64m^{18}n^{12}}{k^6p^{48}}$.
Ответ: $\frac{64m^{18}n^{12}}{k^6p^{48}}$.