Номер 157, страница 39 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Умножение и деление рациональных дробей. Возведение рациональной дроби в степень. Глава 1. Рациональные выражения - номер 157, страница 39.

Условие.

157. Замените переменную $x$ таким выражением, чтобы получилось тождество:

1) $\left(\frac{4a^2}{b^3}\right)^2 \cdot x = \frac{6a}{b^2};$

2) $\left(\frac{2b^4}{3c}\right)^3 : x = \frac{b^6}{12}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение разделить на известный множитель. В данном уравнении $(\frac{4a^2}{b^3})^2 \cdot x = \frac{6a}{b^2}$, неизвестный множитель $x$ равен частному от деления произведения $\frac{6a}{b^2}$ на известный множитель $(\frac{4a^2}{b^3})^2$.
Сначала упростим известный множитель, возведя дробь в квадрат:
$(\frac{4a^2}{b^3})^2 = \frac{4^2 \cdot (a^2)^2}{(b^3)^2} = \frac{16a^4}{b^6}$
Теперь уравнение принимает вид:
$\frac{16a^4}{b^6} \cdot x = \frac{6a}{b^2}$
Выразим $x$:
$x = \frac{6a}{b^2} : \frac{16a^4}{b^6}$
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$x = \frac{6a}{b^2} \cdot \frac{b^6}{16a^4} = \frac{6ab^6}{16a^4b^2}$
Теперь сократим полученную дробь. Сокращаем числовые коэффициенты $\frac{6}{16} = \frac{3}{8}$. Сокращаем степени переменных: $\frac{a}{a^4} = a^{1-4} = a^{-3} = \frac{1}{a^3}$ и $\frac{b^6}{b^2} = b^{6-2} = b^4$.
В результате получаем:
$x = \frac{3b^4}{8a^3}$
Ответ: $x = \frac{3b^4}{8a^3}$

2) Чтобы найти неизвестный делитель $x$, нужно делимое разделить на частное. В уравнении $(\frac{2b^4}{3c})^3 : x = \frac{b^6}{12}$ делимым является $(\frac{2b^4}{3c})^3$, а частным — $\frac{b^6}{12}$.
Сначала упростим делимое, возведя дробь в куб:
$(\frac{2b^4}{3c})^3 = \frac{2^3 \cdot (b^4)^3}{3^3 \cdot c^3} = \frac{8b^{12}}{27c^3}$
Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{8b^{12}}{27c^3} : x = \frac{b^6}{12}$
Выразим $x$:
$x = \frac{8b^{12}}{27c^3} : \frac{b^6}{12}$
Заменим деление умножением на обратную дробь:
$x = \frac{8b^{12}}{27c^3} \cdot \frac{12}{b^6} = \frac{8 \cdot 12 \cdot b^{12}}{27c^3b^6}$
Упростим полученное выражение. Выполним умножение и сокращение. Коэффициенты: $\frac{8 \cdot 12}{27} = \frac{96}{27}$. Сокращаем эту дробь на 3: $\frac{96:3}{27:3} = \frac{32}{9}$. Степени переменной $b$: $\frac{b^{12}}{b^6} = b^{12-6} = b^6$.
В результате получаем:
$x = \frac{32b^6}{9c^3}$
Ответ: $x = \frac{32b^6}{9c^3}$