Страница 39 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

156. Упростите выражение:

1) $\frac{3a^4b^3}{10c^5} \cdot \frac{4b^4c^2}{27a^7} : \frac{5b^7}{9a^3c^3};$

2) $\frac{3a^2}{2b^2c^2} : \frac{7c^8}{6b^3} : \frac{9ab}{14c^{12}};$

3) $(\frac{5a^3}{b^4})^4 \cdot \frac{b^{18}}{50a^{16}};$

4) $(\frac{3x^7}{y^{10}})^4 : (\frac{3x^6}{y^8})^3.$

1)

Для упрощения выражения $\frac{3a^4b^3}{10c^5} \cdot \frac{4b^4c^2}{27a^7} : \frac{5b^7}{9a^3c^3}$ сначала заменим деление на дробь умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{3a^4b^3}{10c^5} \cdot \frac{4b^4c^2}{27a^7} \cdot \frac{9a^3c^3}{5b^7}$

Теперь объединим все числители и все знаменатели в одну дробь:

$\frac{3 \cdot 4 \cdot 9 \cdot a^4 \cdot a^3 \cdot b^3 \cdot b^4 \cdot c^2 \cdot c^3}{10 \cdot 27 \cdot 5 \cdot a^7 \cdot b^7 \cdot c^5}$

Сгруппируем и упростим коэффициенты и переменные, используя свойства степеней ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ и $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$):

Коэффициенты: $\frac{3 \cdot 4 \cdot 9}{10 \cdot 27 \cdot 5}$. Сократим эту дробь:

$\frac{3 \cdot 4 \cdot 9}{10 \cdot 27 \cdot 5} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 9}{(2 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 9) \cdot 5} = \frac{4}{2 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{4}{50} = \frac{2}{25}$

Переменная $a$: $\frac{a^4 \cdot a^3}{a^7} = \frac{a^{4+3}}{a^7} = \frac{a^7}{a^7} = a^{7-7} = a^0 = 1$

Переменная $b$: $\frac{b^3 \cdot b^4}{b^7} = \frac{b^{3+4}}{b^7} = \frac{b^7}{b^7} = b^{7-7} = b^0 = 1$

Переменная $c$: $\frac{c^2 \cdot c^3}{c^5} = \frac{c^{2+3}}{c^5} = \frac{c^5}{c^5} = c^{5-5} = c^0 = 1$

Перемножим полученные результаты:

$\frac{2}{25} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = \frac{2}{25}$

Ответ: $\frac{2}{25}$

2)

В выражении $\frac{3a^2}{2b^2c^2} : \frac{7c^8}{6b^3} : \frac{9ab}{14c^{12}}$ выполняем деление последовательно слева направо, заменяя его умножением на обратные дроби:

$\frac{3a^2}{2b^2c^2} \cdot \frac{6b^3}{7c^8} \cdot \frac{14c^{12}}{9ab}$

Объединим числители и знаменатели:

$\frac{3 \cdot 6 \cdot 14 \cdot a^2 \cdot b^3 \cdot c^{12}}{2 \cdot 7 \cdot 9 \cdot a \cdot b^2 \cdot b \cdot c^2 \cdot c^8}$

Сгруппируем и упростим коэффициенты и переменные:

Коэффициенты: $\frac{3 \cdot 6 \cdot 14}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{252}{126} = 2$

Переменная $a$: $\frac{a^2}{a} = a^{2-1} = a$

Переменная $b$: $\frac{b^3}{b^2 \cdot b} = \frac{b^3}{b^{2+1}} = \frac{b^3}{b^3} = b^{3-3} = b^0 = 1$

Переменная $c$: $\frac{c^{12}}{c^2 \cdot c^8} = \frac{c^{12}}{c^{2+8}} = \frac{c^{12}}{c^{10}} = c^{12-10} = c^2$

Собираем все вместе:

$2 \cdot a \cdot 1 \cdot c^2 = 2ac^2$

Ответ: $2ac^2$

3)

Упростим выражение $(\frac{5a^3}{b^4})^4 \cdot \frac{b^{18}}{50a^{16}}$. Сначала возведем первую дробь в степень, используя правило $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$ и $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$(\frac{5a^3}{b^4})^4 = \frac{5^4 \cdot (a^3)^4}{(b^4)^4} = \frac{625a^{12}}{b^{16}}$

Теперь подставим это в исходное выражение и выполним умножение:

$\frac{625a^{12}}{b^{16}} \cdot \frac{b^{18}}{50a^{16}} = \frac{625 \cdot a^{12} \cdot b^{18}}{50 \cdot a^{16} \cdot b^{16}}$

Упростим полученную дробь:

Коэффициенты: $\frac{625}{50} = \frac{25 \cdot 25}{2 \cdot 25} = \frac{25}{2}$

Переменная $a$: $\frac{a^{12}}{a^{16}} = a^{12-16} = a^{-4} = \frac{1}{a^4}$

Переменная $b$: $\frac{b^{18}}{b^{16}} = b^{18-16} = b^2$

Объединим результаты:

$\frac{25}{2} \cdot \frac{1}{a^4} \cdot b^2 = \frac{25b^2}{2a^4}$

Ответ: $\frac{25b^2}{2a^4}$

4)

Рассмотрим выражение $(\frac{3x^7}{y^{10}})^4 : (\frac{3x^6}{y^8})^3$. Сначала возведем в степень каждую из дробей:

$(\frac{3x^7}{y^{10}})^4 = \frac{3^4(x^7)^4}{(y^{10})^4} = \frac{81x^{28}}{y^{40}}$

$(\frac{3x^6}{y^8})^3 = \frac{3^3(x^6)^3}{(y^8)^3} = \frac{27x^{18}}{y^{24}}$

Теперь выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь:

$\frac{81x^{28}}{y^{40}} : \frac{27x^{18}}{y^{24}} = \frac{81x^{28}}{y^{40}} \cdot \frac{y^{24}}{27x^{18}} = \frac{81 \cdot x^{28} \cdot y^{24}}{27 \cdot x^{18} \cdot y^{40}}$

Упростим полученное выражение:

Коэффициенты: $\frac{81}{27} = 3$

Переменная $x$: $\frac{x^{28}}{x^{18}} = x^{28-18} = x^{10}$

Переменная $y$: $\frac{y^{24}}{y^{40}} = y^{24-40} = y^{-16} = \frac{1}{y^{16}}$

Соединим все части:

$3 \cdot x^{10} \cdot \frac{1}{y^{16}} = \frac{3x^{10}}{y^{16}}$

Ответ: $\frac{3x^{10}}{y^{16}}$

157. Замените переменную $x$ таким выражением, чтобы получилось тождество:

1) $\left(\frac{4a^2}{b^3}\right)^2 \cdot x = \frac{6a}{b^2};$

2) $\left(\frac{2b^4}{3c}\right)^3 : x = \frac{b^6}{12}.$

1) Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение разделить на известный множитель. В данном уравнении $(\frac{4a^2}{b^3})^2 \cdot x = \frac{6a}{b^2}$, неизвестный множитель $x$ равен частному от деления произведения $\frac{6a}{b^2}$ на известный множитель $(\frac{4a^2}{b^3})^2$.
Сначала упростим известный множитель, возведя дробь в квадрат:
$(\frac{4a^2}{b^3})^2 = \frac{4^2 \cdot (a^2)^2}{(b^3)^2} = \frac{16a^4}{b^6}$
Теперь уравнение принимает вид:
$\frac{16a^4}{b^6} \cdot x = \frac{6a}{b^2}$
Выразим $x$:
$x = \frac{6a}{b^2} : \frac{16a^4}{b^6}$
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$x = \frac{6a}{b^2} \cdot \frac{b^6}{16a^4} = \frac{6ab^6}{16a^4b^2}$
Теперь сократим полученную дробь. Сокращаем числовые коэффициенты $\frac{6}{16} = \frac{3}{8}$. Сокращаем степени переменных: $\frac{a}{a^4} = a^{1-4} = a^{-3} = \frac{1}{a^3}$ и $\frac{b^6}{b^2} = b^{6-2} = b^4$.
В результате получаем:
$x = \frac{3b^4}{8a^3}$
Ответ: $x = \frac{3b^4}{8a^3}$

2) Чтобы найти неизвестный делитель $x$, нужно делимое разделить на частное. В уравнении $(\frac{2b^4}{3c})^3 : x = \frac{b^6}{12}$ делимым является $(\frac{2b^4}{3c})^3$, а частным — $\frac{b^6}{12}$.
Сначала упростим делимое, возведя дробь в куб:
$(\frac{2b^4}{3c})^3 = \frac{2^3 \cdot (b^4)^3}{3^3 \cdot c^3} = \frac{8b^{12}}{27c^3}$
Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{8b^{12}}{27c^3} : x = \frac{b^6}{12}$
Выразим $x$:
$x = \frac{8b^{12}}{27c^3} : \frac{b^6}{12}$
Заменим деление умножением на обратную дробь:
$x = \frac{8b^{12}}{27c^3} \cdot \frac{12}{b^6} = \frac{8 \cdot 12 \cdot b^{12}}{27c^3b^6}$
Упростим полученное выражение. Выполним умножение и сокращение. Коэффициенты: $\frac{8 \cdot 12}{27} = \frac{96}{27}$. Сокращаем эту дробь на 3: $\frac{96:3}{27:3} = \frac{32}{9}$. Степени переменной $b$: $\frac{b^{12}}{b^6} = b^{12-6} = b^6$.
В результате получаем:
$x = \frac{32b^6}{9c^3}$
Ответ: $x = \frac{32b^6}{9c^3}$

158. Выполните умножение и деление дробей:

1) $\frac{4 - a}{8a^3} \cdot \frac{12a^5}{a^2 - 16}$;

2) $\frac{4c - d}{c^2 + cd} \cdot \frac{2c^2 - 2d^2}{4c^2 - cd}$;

3) $\frac{b^2 - 6b + 9}{b^2 - 3b + 9} \cdot \frac{b^3 + 27}{5b - 15}$;

4) $\frac{a^3 - 16a}{3a^2b} \cdot \frac{12ab^2}{4a + 16}$;

5) $\frac{a^3 + b^3}{a^2 - b^2} \cdot \frac{7a - 7b}{a^2 - ab + b^2}$;

6) $\frac{x^2 - 9}{x + y} \cdot \frac{5x + 5y}{x^2 - 3x}$;

7) $\frac{m + 2n}{2 - 3m} : \frac{m^2 + 4mn + 4n^2}{3m^2 - 2m}$;

8) $\frac{a^3 + 8}{16 - a^4} : \frac{a^2 - 2a + 4}{a^2 + 4}$;

9) $\frac{x^2 - 12x + 36}{3x + 21} \cdot \frac{x^2 - 49}{4x - 24}$;

10) $\frac{3a + 15b}{a^2 - 81b^2} : \frac{4a + 20b}{a^2 - 18ab + 81b^2}$;

1) $ \frac{4-a}{8a^3} \cdot \frac{12a^5}{a^2-16} $

Чтобы умножить дроби, сначала разложим их числители и знаменатели на множители.
Вынесем минус в числителе первой дроби: $ 4-a = -(a-4) $.
Знаменатель второй дроби — это разность квадратов: $ a^2-16 = (a-4)(a+4) $.
Получаем выражение:
$ \frac{-(a-4)}{8a^3} \cdot \frac{12a^5}{(a-4)(a+4)} $
Теперь сокращаем общие множители. Сокращаем $(a-4)$ в числителе и знаменателе. Сокращаем $12$ и $8$ на $4$, получаем $3$ и $2$. Сокращаем $a^5$ и $a^3$, получаем $a^2$ в числителе.
$ \frac{-1 \cdot 3 \cdot a^2}{2 \cdot (a+4)} = -\frac{3a^2}{2(a+4)} $
Ответ: $ -\frac{3a^2}{2(a+4)} $

2) $ \frac{4c-d}{c^2+cd} \cdot \frac{2c^2-2d^2}{4c^2-cd} $

Разложим числители и знаменатели на множители.
$ c^2+cd = c(c+d) $
$ 2c^2-2d^2 = 2(c^2-d^2) = 2(c-d)(c+d) $
$ 4c^2-cd = c(4c-d) $
Подставляем разложенные выражения в исходное:
$ \frac{4c-d}{c(c+d)} \cdot \frac{2(c-d)(c+d)}{c(4c-d)} $
Сокращаем общие множители $(4c-d)$ и $(c+d)$.
$ \frac{1}{c} \cdot \frac{2(c-d)}{c} = \frac{2(c-d)}{c^2} $
Ответ: $ \frac{2(c-d)}{c^2} $

3) $ \frac{b^2-6b+9}{b^2-3b+9} \cdot \frac{b^3+27}{5b-15} $

Разложим числители и знаменатели на множители.
Числитель первой дроби — это полный квадрат: $ b^2-6b+9 = (b-3)^2 $.
Числитель второй дроби — это сумма кубов: $ b^3+27 = b^3+3^3 = (b+3)(b^2-3b+9) $.
Знаменатель второй дроби: $ 5b-15 = 5(b-3) $.
Знаменатель первой дроби $b^2-3b+9$ является неполным квадратом разности и не раскладывается дальше.
Получаем:
$ \frac{(b-3)^2}{b^2-3b+9} \cdot \frac{(b+3)(b^2-3b+9)}{5(b-3)} $
Сокращаем общие множители $(b^2-3b+9)$ и $(b-3)$.
$ \frac{b-3}{1} \cdot \frac{b+3}{5} = \frac{(b-3)(b+3)}{5} = \frac{b^2-9}{5} $
Ответ: $ \frac{b^2-9}{5} $

4) $ \frac{a^3-16a}{3a^2b} \cdot \frac{12ab^2}{4a+16} $

Разложим на множители числители и знаменатели.
$ a^3-16a = a(a^2-16) = a(a-4)(a+4) $
$ 4a+16 = 4(a+4) $
Подставляем в выражение:
$ \frac{a(a-4)(a+4)}{3a^2b} \cdot \frac{12ab^2}{4(a+4)} $
Сокращаем общий множитель $(a+4)$. Также сокращаем числовые коэффициенты $12$ и $3 \cdot 4 = 12$.
$ \frac{a(a-4)}{3a^2b} \cdot \frac{12ab^2}{4} = \frac{12a^2b^2(a-4)}{12a^2b} $
Сокращаем $12$, $a^2$ и $b$.
$ b(a-4) $
Ответ: $ b(a-4) $

5) $ \frac{a^3+b^3}{a^2-b^2} \cdot \frac{7a-7b}{a^2-ab+b^2} $

Разложим на множители числители и знаменатели, используя формулы сокращенного умножения.
$ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $ (сумма кубов)
$ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $ (разность квадратов)
$ 7a-7b = 7(a-b) $
Подставляем:
$ \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{7(a-b)}{a^2-ab+b^2} $
Сокращаем все возможные общие множители: $(a+b)$, $(a-b)$ и $(a^2-ab+b^2)$.
Остается только число $7$.
Ответ: $ 7 $

6) $ \frac{x^2-9}{x+y} : \frac{5x+5y}{x^2-3x} $

Чтобы разделить дроби, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую.
$ \frac{x^2-9}{x+y} \cdot \frac{x^2-3x}{5x+5y} $
Теперь разложим на множители.
$ x^2-9 = (x-3)(x+3) $
$ x^2-3x = x(x-3) $
$ 5x+5y = 5(x+y) $
Подставляем:
$ \frac{(x-3)(x+3)}{x+y} \cdot \frac{x(x-3)}{5(x+y)} $
Общих множителей для сокращения нет. Объединяем числители и знаменатели.
$ \frac{x(x-3)(x-3)(x+3)}{5(x+y)(x+y)} = \frac{x(x-3)^2(x+3)}{5(x+y)^2} $
Ответ: $ \frac{x(x-3)^2(x+3)}{5(x+y)^2} $

7) $ \frac{m+2n}{2-3m} : \frac{m^2+4mn+4n^2}{3m^2-2m} $

Заменяем деление на умножение, перевернув вторую дробь.
$ \frac{m+2n}{2-3m} \cdot \frac{3m^2-2m}{m^2+4mn+4n^2} $
Разложим на множители.
$ 2-3m = -(3m-2) $
$ 3m^2-2m = m(3m-2) $
$ m^2+4mn+4n^2 = (m+2n)^2 $ (полный квадрат)
Подставляем:
$ \frac{m+2n}{-(3m-2)} \cdot \frac{m(3m-2)}{(m+2n)^2} $
Сокращаем общие множители $(3m-2)$ и $(m+2n)$.
$ \frac{1}{-1} \cdot \frac{m}{m+2n} = -\frac{m}{m+2n} $
Ответ: $ -\frac{m}{m+2n} $

8) $ \frac{a^3+8}{16-a^4} : \frac{a^2-2a+4}{a^2+4} $

Заменяем деление на умножение, перевернув вторую дробь.
$ \frac{a^3+8}{16-a^4} \cdot \frac{a^2+4}{a^2-2a+4} $
Разложим на множители.
$ a^3+8 = a^3+2^3 = (a+2)(a^2-2a+4) $
$ 16-a^4 = (4-a^2)(4+a^2) = (2-a)(2+a)(a^2+4) $
Подставляем:
$ \frac{(a+2)(a^2-2a+4)}{(2-a)(a+2)(a^2+4)} \cdot \frac{a^2+4}{a^2-2a+4} $
Сокращаем общие множители $(a+2)$, $(a^2-2a+4)$ и $(a^2+4)$.
$ \frac{1}{2-a} $
Ответ: $ \frac{1}{2-a} $

9) $ \frac{x^2-12x+36}{3x+21} \cdot \frac{x^2-49}{4x-24} $

Разложим на множители все числители и знаменатели.
$ x^2-12x+36 = (x-6)^2 $
$ 3x+21 = 3(x+7) $
$ x^2-49 = (x-7)(x+7) $
$ 4x-24 = 4(x-6) $
Получаем выражение:
$ \frac{(x-6)^2}{3(x+7)} \cdot \frac{(x-7)(x+7)}{4(x-6)} $
Сокращаем общие множители $(x+7)$ и $(x-6)$.
$ \frac{x-6}{3} \cdot \frac{x-7}{4} = \frac{(x-6)(x-7)}{12} $
Ответ: $ \frac{(x-6)(x-7)}{12} $

10) $ \frac{3a+15b}{a^2-81b^2} : \frac{4a+20b}{a^2-18ab+81b^2} $

Заменяем деление на умножение, перевернув вторую дробь.
$ \frac{3a+15b}{a^2-81b^2} \cdot \frac{a^2-18ab+81b^2}{4a+20b} $
Разложим на множители.
$ 3a+15b = 3(a+5b) $
$ a^2-81b^2 = (a-9b)(a+9b) $
$ a^2-18ab+81b^2 = (a-9b)^2 $
$ 4a+20b = 4(a+5b) $
Подставляем в выражение:
$ \frac{3(a+5b)}{(a-9b)(a+9b)} \cdot \frac{(a-9b)^2}{4(a+5b)} $
Сокращаем общие множители $(a+5b)$ и $(a-9b)$.
$ \frac{3}{a+9b} \cdot \frac{a-9b}{4} = \frac{3(a-9b)}{4(a+9b)} $
Ответ: $ \frac{3(a-9b)}{4(a+9b)} $

159. Упростите выражение:

1) $\frac{7a^2}{a^2 - 25} \cdot \frac{5 - a}{a}$;

2) $\frac{a^3 + b^3}{a^3 - b^3} \cdot \frac{b - a}{b + a}$;

3) $\frac{a^4 - 1}{a^3 - a} \cdot \frac{a}{1 + a^2}$;

4) $\frac{a^2 - 8ab}{12b} : \frac{8b^2 - ab}{24a}$;

5) $\frac{5m^2 - 5n^2}{m^2 + n^2} : \frac{15n - 15m}{4m^2 + 4n^2}$;

6) $\frac{mn^2 - 36m}{m^3 - 8} : \frac{2n + 12}{6m - 12}$;

7) $\frac{a^4 - 1}{a^2 - a + 1} : \frac{a - 1}{a^3 + 1}$;

8) $\frac{4x^2 - 100}{6x} : (2x^2 - 20x + 50)$.

1) Исходное выражение: $\frac{7a^2}{a^2-25} \cdot \frac{5-a}{a}$.
Разложим знаменатель $a^2-25$ по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. В числителе второй дроби вынесем знак минус за скобки: $5-a = -(a-5)$.
$\frac{7a^2}{(a-5)(a+5)} \cdot \frac{-(a-5)}{a}$
Сократим общие множители $a$ и $(a-5)$ в числителе и знаменателе.
$\frac{7a \cdot \cancel{a} \cdot (-(a-5))}{(a-5)(a+5) \cdot \cancel{a}} = \frac{7a \cdot (-( \cancel{a-5}))}{(\cancel{a-5})(a+5)} = -\frac{7a}{a+5}$
Ответ: $-\frac{7a}{a+5}$

2) Исходное выражение: $\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3} \cdot \frac{b-a}{b+a}$.
Применим формулы суммы и разности кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ и $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$. Также учтем, что $b-a = -(a-b)$.
$\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} \cdot \frac{-(a-b)}{a+b}$
Сократим общие множители $(a+b)$ и $(a-b)$.
$\frac{\cancel{(a+b)}(a^2-ab+b^2)}{\cancel{(a-b)}(a^2+ab+b^2)} \cdot \frac{-(\cancel{a-b})}{\cancel{a+b}} = -\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}$
Ответ: $-\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}$

3) Исходное выражение: $\frac{a^4-1}{a^3-a} \cdot \frac{a}{1+a^2}$.
Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби:
$a^4-1 = (a^2-1)(a^2+1) = (a-1)(a+1)(a^2+1)$
$a^3-a = a(a^2-1) = a(a-1)(a+1)$
Подставим разложения в исходное выражение:
$\frac{(a-1)(a+1)(a^2+1)}{a(a-1)(a+1)} \cdot \frac{a}{a^2+1}$
Сократим все общие множители: $a$, $(a-1)$, $(a+1)$, и $(a^2+1)$.
$\frac{\cancel{(a-1)}\cancel{(a+1)}\cancel{(a^2+1)}}{\cancel{a}\cancel{(a-1)}\cancel{(a+1)}} \cdot \frac{\cancel{a}}{\cancel{a^2+1}} = 1$
Ответ: $1$

4) Исходное выражение: $\frac{a^2-8ab}{12b} : \frac{8b^2-ab}{24a}$.
Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{a^2-8ab}{12b} \cdot \frac{24a}{8b^2-ab}$
Вынесем общие множители: $a(a-8b)$ и $b(8b-a)$.
$\frac{a(a-8b)}{12b} \cdot \frac{24a}{b(8b-a)}$
Так как $a-8b = -(8b-a)$, можем сократить эти множители. Также сократим $24$ и $12$.
$\frac{a(-(8b-a))}{12b} \cdot \frac{24a}{b(8b-a)} = \frac{-a \cdot \cancel{(8b-a)}}{\cancel{12}b} \cdot \frac{\cancel{24}^2a}{b \cdot \cancel{(8b-a)}} = \frac{-a \cdot 2a}{b \cdot b} = -\frac{2a^2}{b^2}$
Ответ: $-\frac{2a^2}{b^2}$

5) Исходное выражение: $\frac{5m^2-5n^2}{m^2+n^2} : \frac{15n-15m}{4m^2+4n^2}$.
Заменим деление на умножение на обратную дробь и вынесем общие множители:
$\frac{5(m^2-n^2)}{m^2+n^2} \cdot \frac{4(m^2+n^2)}{15(n-m)}$
Разложим $m^2-n^2=(m-n)(m+n)$ и учтем, что $n-m=-(m-n)$.
$\frac{5(m-n)(m+n)}{m^2+n^2} \cdot \frac{4(m^2+n^2)}{-15(m-n)}$
Сократим общие множители $(m^2+n^2)$ и $(m-n)$, а также числовые коэффициенты.
$\frac{\cancel{5}(\cancel{m-n})(m+n)}{\cancel{m^2+n^2}} \cdot \frac{4(\cancel{m^2+n^2})}{-\cancel{15}_3(\cancel{m-n})} = \frac{m+n}{1} \cdot \frac{4}{-3} = -\frac{4(m+n)}{3}$
Ответ: $-\frac{4(m+n)}{3}$

6) Исходное выражение: $\frac{mn^2-36m}{m^3-8} : \frac{2n+12}{6m-12}$.
Заменим деление умножением на обратную дробь и разложим на множители все части выражения:
$\frac{m(n^2-36)}{(m^3-8)} \cdot \frac{6m-12}{2n+12} = \frac{m(n-6)(n+6)}{(m-2)(m^2+2m+4)} \cdot \frac{6(m-2)}{2(n+6)}$
Сократим общие множители $(m-2)$ и $(n+6)$, а также числовые коэффициенты $6$ и $2$.
$\frac{m(n-6)(\cancel{n+6})}{(\cancel{m-2})(m^2+2m+4)} \cdot \frac{\cancel{6}^3(\cancel{m-2})}{\cancel{2}(\cancel{n+6})} = \frac{3m(n-6)}{m^2+2m+4}$
Ответ: $\frac{3m(n-6)}{m^2+2m+4}$

7) Исходное выражение: $\frac{a^4-1}{a^2-a+1} : \frac{a-1}{a^3+1}$.
Заменим деление умножением на обратную дробь и разложим на множители:
$a^4-1 = (a^2-1)(a^2+1) = (a-1)(a+1)(a^2+1)$
$a^3+1 = (a+1)(a^2-a+1)$
$\frac{(a-1)(a+1)(a^2+1)}{a^2-a+1} \cdot \frac{(a+1)(a^2-a+1)}{a-1}$
Сократим общие множители $(a-1)$ и $(a^2-a+1)$.
$\frac{(\cancel{a-1})(a+1)(a^2+1)}{\cancel{a^2-a+1}} \cdot \frac{(a+1)(\cancel{a^2-a+1})}{\cancel{a-1}} = (a+1)(a^2+1)(a+1) = (a+1)^2(a^2+1)$
Ответ: $(a+1)^2(a^2+1)$

8) Исходное выражение: $\frac{4x^2-100}{6x} : (2x^2-20x+50)$.
Представим второе выражение в виде дроби $\frac{2x^2-20x+50}{1}$ и заменим деление на умножение на обратную дробь.
$\frac{4x^2-100}{6x} \cdot \frac{1}{2x^2-20x+50}$
Разложим на множители:
$4x^2-100 = 4(x^2-25) = 4(x-5)(x+5)$
$2x^2-20x+50 = 2(x^2-10x+25) = 2(x-5)^2$
$\frac{4(x-5)(x+5)}{6x} \cdot \frac{1}{2(x-5)^2}$
Сократим общие множители. Коэффициенты $\frac{4}{6 \cdot 2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$. Множитель $(x-5)$ сокращается один раз.
$\frac{\cancel{4}^2(x-5)(x+5)}{\cancel{6}_3x} \cdot \frac{1}{\cancel{2}(x-5)^2} = \frac{2(x-5)(x+5)}{3x \cdot 2(x-5)^2} = \frac{\cancel{2}(\cancel{x-5})(x+5)}{3x \cdot \cancel{2}(\cancel{x-5})(x-5)} = \frac{x+5}{3x(x-5)}$
Ответ: $\frac{x+5}{3x(x-5)}$

160. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $\frac{a^2 - 81}{a^2 - 8a} : \frac{a - 9}{a^2 - 64}$, если $a = -4;$

2) $\frac{x}{4x^2 - 4y^2} : \frac{1}{6x + 6y}$, если $x = 4,2, y = -2,8;$

3) $(3a^2 - 18a + 27) : \frac{3a - 9}{4a}$, если $a = 0,5;$

4) $\frac{a^6 + a^5}{(3a - 3)^2} : \frac{a^5 + a^4}{9a^2 - 9a}$, если $a = 0,8.$

1) Сначала упростим данное выражение. Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь:
$ \frac{a^2 - 81}{a^2 - 8a} : \frac{a - 9}{a^2 - 64} = \frac{a^2 - 81}{a^2 - 8a} \cdot \frac{a^2 - 64}{a - 9} $
Теперь разложим числители и знаменатели на множители, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ и вынесение общего множителя за скобки:
$ a^2 - 81 = (a - 9)(a + 9) $
$ a^2 - 8a = a(a - 8) $
$ a^2 - 64 = (a - 8)(a + 8) $
Подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$ \frac{(a - 9)(a + 9)}{a(a - 8)} \cdot \frac{(a - 8)(a + 8)}{a - 9} $
Сократим одинаковые множители $(a - 9)$ и $(a - 8)$ в числителе и знаменателе:
$ \frac{\cancel{(a - 9)}(a + 9)}{a\cancel{(a - 8)}} \cdot \frac{\cancel{(a - 8)}(a + 8)}{\cancel{a - 9}} = \frac{(a + 9)(a + 8)}{a} $
Теперь подставим значение $a = -4$ в упрощенное выражение:
$ \frac{(-4 + 9)(-4 + 8)}{-4} = \frac{5 \cdot 4}{-4} = \frac{20}{-4} = -5 $
Ответ: -5

2) Упростим выражение, заменив деление умножением на обратную дробь:
$ \frac{x}{4x^2 - 4y^2} : \frac{1}{6x + 6y} = \frac{x}{4x^2 - 4y^2} \cdot \frac{6x + 6y}{1} $
Разложим знаменатель первой дроби и числитель второй дроби на множители:
$ 4x^2 - 4y^2 = 4(x^2 - y^2) = 4(x - y)(x + y) $
$ 6x + 6y = 6(x + y) $
Подставим разложения в выражение:
$ \frac{x}{4(x - y)(x + y)} \cdot \frac{6(x + y)}{1} $
Сократим общие множители $(x + y)$, а также численные коэффициенты:
$ \frac{x}{4(x - y)\cancel{(x + y)}} \cdot 6\cancel{(x + y)} = \frac{6x}{4(x - y)} = \frac{3x}{2(x - y)} $
Подставим значения $x = 4,2$ и $y = -2,8$:
$ \frac{3 \cdot 4,2}{2(4,2 - (-2,8))} = \frac{12,6}{2(4,2 + 2,8)} = \frac{12,6}{2 \cdot 7} = \frac{12,6}{14} = 0,9 $
Ответ: 0,9

3) Представим выражение в виде деления дробей:
$ (3a^2 - 18a + 27) : \frac{3a - 9}{4a} = \frac{3a^2 - 18a + 27}{1} \cdot \frac{4a}{3a - 9} $
Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй дроби. Для числителя вынесем общий множитель 3 и применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$ 3a^2 - 18a + 27 = 3(a^2 - 6a + 9) = 3(a - 3)^2 $
$ 3a - 9 = 3(a - 3) $
Подставим разложения в выражение:
$ \frac{3(a - 3)^2}{1} \cdot \frac{4a}{3(a - 3)} $
Сократим общие множители $3$ и $(a - 3)$:
$ \frac{\cancel{3}(a - 3)^{\cancel{2}}}{1} \cdot \frac{4a}{\cancel{3}\cancel{(a - 3)}} = (a - 3) \cdot 4a = 4a(a - 3) $
Подставим значение $a = 0,5$:
$ 4 \cdot 0,5 \cdot (0,5 - 3) = 2 \cdot (-2,5) = -5 $
Ответ: -5

4) Упростим выражение, заменив деление умножением на обратную дробь:
$ \frac{a^6 + a^5}{(3a - 3)^2} : \frac{a^5 + a^4}{9a^2 - 9a} = \frac{a^6 + a^5}{(3a - 3)^2} \cdot \frac{9a^2 - 9a}{a^5 + a^4} $
Разложим на множители числители и знаменатели всех дробей:
$ a^6 + a^5 = a^5(a + 1) $
$ (3a - 3)^2 = (3(a - 1))^2 = 9(a - 1)^2 $
$ 9a^2 - 9a = 9a(a - 1) $
$ a^5 + a^4 = a^4(a + 1) $
Подставим разложения в выражение:
$ \frac{a^5(a + 1)}{9(a - 1)^2} \cdot \frac{9a(a - 1)}{a^4(a + 1)} $
Сократим общие множители $9$, $(a + 1)$, $(a - 1)$ и $a^4$:
$ \frac{a^{\cancel{5}}(\cancel{a + 1})}{\cancel{9}(a - 1)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{9}a(\cancel{a - 1})}{\cancel{a^4}(\cancel{a + 1})} = \frac{a \cdot a}{a - 1} = \frac{a^2}{a - 1} $
Подставим значение $a = 0,8$:
$ \frac{(0,8)^2}{0,8 - 1} = \frac{0,64}{-0,2} = -\frac{6,4}{2} = -3,2 $
Ответ: -3,2