Страница 46 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

186. Упростите выражение:

1) $\frac{a - \frac{a^2}{a+1}}{a - \frac{a}{a+1}};$

2) $\frac{a - \frac{6a - 9}{a}}{1 - \frac{3}{a}};$

3) $\frac{1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{a}}};$

4) $\frac{\frac{2a - b}{b} + 1}{\frac{2a + b}{b} - 1} + \frac{3 - \frac{b}{a}}{\frac{3a}{b} - 1}.$

1) Для упрощения данного выражения выполним преобразования по действиям. Сначала приведем к общему знаменателю выражения в числителе и знаменателе основной дроби.
1. Упростим числитель: $a - \frac{a^2}{a+1} = \frac{a(a+1)}{a+1} - \frac{a^2}{a+1} = \frac{a^2 + a - a^2}{a+1} = \frac{a}{a+1}$.
2. Упростим знаменатель: $a - \frac{a}{a+1} = \frac{a(a+1)}{a+1} - \frac{a}{a+1} = \frac{a^2 + a - a}{a+1} = \frac{a^2}{a+1}$.
3. Теперь разделим полученный числитель на полученный знаменатель. Деление дробей заменяется умножением на перевернутую дробь:
$\frac{\frac{a}{a+1}}{\frac{a^2}{a+1}} = \frac{a}{a+1} \cdot \frac{a+1}{a^2} = \frac{a(a+1)}{(a+1)a^2} = \frac{a}{a^2} = \frac{1}{a}$.
Ответ: $\frac{1}{a}$.

2) Упростим это выражение, также начав с преобразования числителя и знаменателя.
1. Числитель: $a - \frac{6a - 9}{a} = \frac{a \cdot a}{a} - \frac{6a - 9}{a} = \frac{a^2 - (6a - 9)}{a} = \frac{a^2 - 6a + 9}{a}$. Заметим, что в числителе получился полный квадрат разности: $a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = (a-3)^2$. Таким образом, числитель равен $\frac{(a-3)^2}{a}$.
2. Знаменатель: $1 - \frac{3}{a} = \frac{a}{a} - \frac{3}{a} = \frac{a-3}{a}$.
3. Выполним деление: $\frac{\frac{(a-3)^2}{a}}{\frac{a-3}{a}} = \frac{(a-3)^2}{a} \cdot \frac{a}{a-3} = \frac{(a-3)^2 \cdot a}{a \cdot (a-3)} = a-3$.
Ответ: $a-3$.

3) Для упрощения многоэтажной дроби будем двигаться снизу вверх, последовательно выполняя действия.
1. Самое нижнее выражение: $1 + \frac{1}{a} = \frac{a}{a} + \frac{1}{a} = \frac{a+1}{a}$.
2. Подставим результат в дробь более высокого уровня: $1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{a}} = 1 - \frac{1}{\frac{a+1}{a}} = 1 - \frac{a}{a+1}$. Теперь приведем к общему знаменателю: $1 - \frac{a}{a+1} = \frac{a+1}{a+1} - \frac{a}{a+1} = \frac{a+1-a}{a+1} = \frac{1}{a+1}$.
3. Исходное выражение теперь имеет вид: $\frac{1}{\frac{1}{a+1}}$. Это равно $1 \cdot \frac{a+1}{1} = a+1$.
Ответ: $a+1$.

4) Данное выражение является суммой двух сложных дробей. Упростим каждую из них по отдельности, а затем сложим результаты.
1. Упростим первое слагаемое $\frac{\frac{2a-b}{b} + 1}{\frac{2a+b}{b} - 1}$.
Числитель: $\frac{2a-b}{b} + 1 = \frac{2a-b}{b} + \frac{b}{b} = \frac{2a-b+b}{b} = \frac{2a}{b}$.
Знаменатель: $\frac{2a+b}{b} - 1 = \frac{2a+b}{b} - \frac{b}{b} = \frac{2a+b-b}{b} = \frac{2a}{b}$.
Тогда первое слагаемое равно: $\frac{\frac{2a}{b}}{\frac{2a}{b}} = 1$.
2. Упростим второе слагаемое $\frac{3 - \frac{b}{a}}{\frac{3a}{b} - 1}$.
Числитель: $3 - \frac{b}{a} = \frac{3a}{a} - \frac{b}{a} = \frac{3a-b}{a}$.
Знаменатель: $\frac{3a}{b} - 1 = \frac{3a}{b} - \frac{b}{b} = \frac{3a-b}{b}$.
Тогда второе слагаемое равно: $\frac{\frac{3a-b}{a}}{\frac{3a-b}{b}} = \frac{3a-b}{a} \cdot \frac{b}{3a-b} = \frac{b}{a}$.
3. Сложим полученные результаты: $1 + \frac{b}{a}$.
Ответ: $1 + \frac{b}{a}$.

187. Упростите выражение:

1) $\frac{\frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a}}{\frac{a}{a+b} - \frac{a-b}{a}}$

2) $\frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{a+1}}}$

1) Для упрощения выражения $ \frac{\frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a}}{\frac{a}{a+b} - \frac{a-b}{a}} $ необходимо последовательно выполнить действия в числителе и знаменателе, а затем разделить полученные результаты.

Сначала упростим числитель большой дроби: $ \frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a} $.

Приводим дроби к общему знаменателю $ a(a+b) $:

$ \frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a} = \frac{a(a-b) + b(a+b)}{a(a+b)} $

Раскрываем скобки в числителе полученной дроби:

$ \frac{a^2 - ab + ab + b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2 + b^2}{a(a+b)} $

Теперь упростим знаменатель большой дроби: $ \frac{a}{a+b} - \frac{a-b}{a} $.

Также приводим дроби к общему знаменателю $ a(a+b) $:

$ \frac{a}{a+b} - \frac{a-b}{a} = \frac{a \cdot a - (a-b)(a+b)}{a(a+b)} $

Раскрываем скобки в числителе, используя формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:

$ \frac{a^2 - (a^2 - b^2)}{a(a+b)} = \frac{a^2 - a^2 + b^2}{a(a+b)} = \frac{b^2}{a(a+b)} $

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$ \frac{\frac{a^2 + b^2}{a(a+b)}}{\frac{b^2}{a(a+b)}} = \frac{a^2 + b^2}{a(a+b)} \cdot \frac{a(a+b)}{b^2} $

Сокращаем общий множитель $ a(a+b) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{a^2 + b^2}{b^2} $

Ответ: $ \frac{a^2+b^2}{b^2} $

2) Для упрощения выражения $ \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{a+1}}} $ будем выполнять действия последовательно, двигаясь от самой внутренней дроби к внешней.

Шаг 1: Упростим самый нижний знаменатель $ 1 - \frac{1}{a+1} $.

$ 1 - \frac{1}{a+1} = \frac{a+1}{a+1} - \frac{1}{a+1} = \frac{a+1-1}{a+1} = \frac{a}{a+1} $

Шаг 2: Подставим результат в выражение. Оно примет вид:

$ \frac{1}{1 - \frac{1}{\frac{a}{a+1}}} $

Упростим дробь $ \frac{1}{\frac{a}{a+1}} $, которая является обратной к $ \frac{a}{a+1} $:

$ \frac{1}{\frac{a}{a+1}} = \frac{a+1}{a} $

Теперь выражение выглядит так: $ \frac{1}{1 - \frac{a+1}{a}} $.

Шаг 3: Упростим новый знаменатель $ 1 - \frac{a+1}{a} $.

$ 1 - \frac{a+1}{a} = \frac{a}{a} - \frac{a+1}{a} = \frac{a - (a+1)}{a} = \frac{a-a-1}{a} = \frac{-1}{a} $

Шаг 4: Подставим результат в выражение.

$ \frac{1}{\frac{-1}{a}} $

Это выражение равно обратной дроби к $ \frac{-1}{a} $, то есть:

$ \frac{1}{\frac{-1}{a}} = -a $

Ответ: $ -a $

188. Упростите выражение:

1) $\left(\frac{a^2}{b^3 - ab^2} + \frac{a - b}{b^2} - \frac{1}{b}\right) : \left(\frac{a + b}{b - a} - \frac{b - a}{a + b} + \frac{6a^2}{a^2 - b^2}\right);$

2) $\left(\frac{a + 2}{4a^3 - 4a^2 + a} - \frac{2 - a}{1 - 8a^3} \cdot \frac{4a^2 + 2a + 1}{2a^2 + a}\right) : \left(\frac{1}{1 - 2a}\right)^2 - \frac{8a - 1}{2a^2 + a}.$

1) $(\frac{a^2}{b^3-ab^2} + \frac{a-b}{b^2} - \frac{1}{b}) : (\frac{a+b}{b-a} - \frac{b-a}{a+b} + \frac{6a^2}{a^2-b^2})$

Решим задачу по действиям, сначала упростив выражения в каждой из скобок.

Действие 1: Упрощение первого выражения в скобках.

$\frac{a^2}{b^3-ab^2} + \frac{a-b}{b^2} - \frac{1}{b}$

Разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель:
$b^3-ab^2 = b^2(b-a)$
Общий знаменатель: $b^2(b-a)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{a^2}{b^2(b-a)} + \frac{(a-b)(b-a)}{b^2(b-a)} - \frac{1 \cdot b(b-a)}{b^2(b-a)}$

Объединим дроби и упростим числитель:

$\frac{a^2 + (a-b)(b-a) - b(b-a)}{b^2(b-a)} = \frac{a^2 - (b-a)^2 - (b^2-ab)}{b^2(b-a)} = \frac{a^2 - (b^2-2ab+a^2) - b^2+ab}{b^2(b-a)} = \frac{a^2 - b^2 + 2ab - a^2 - b^2 + ab}{b^2(b-a)} = \frac{3ab - 2b^2}{b^2(b-a)}$

Вынесем общий множитель $b$ в числителе и сократим дробь:

$\frac{b(3a-2b)}{b^2(b-a)} = \frac{3a-2b}{b(b-a)}$

Действие 2: Упрощение второго выражения в скобках.

$\frac{a+b}{b-a} - \frac{b-a}{a+b} + \frac{6a^2}{a^2-b^2}$

Разложим знаменатели на множители, учитывая, что $b-a = -(a-b)$ и $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Общий знаменатель: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{-(a+b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{(b-a)(a-b)}{(a+b)(a-b)} + \frac{6a^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{-(a+b)^2 - (-(a-b))(a-b) + 6a^2}{a^2-b^2} = \frac{-(a+b)^2 + (a-b)^2 + 6a^2}{a^2-b^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{-(a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2) + 6a^2}{a^2-b^2} = \frac{-a^2-2ab-b^2 + a^2-2ab+b^2 + 6a^2}{a^2-b^2} = \frac{6a^2 - 4ab}{a^2-b^2}$

Вынесем общий множитель в числителе:

$\frac{2a(3a-2b)}{(a-b)(a+b)}$

Действие 3: Деление результатов.

$(\frac{3a-2b}{b(b-a)}) : (\frac{2a(3a-2b)}{(a-b)(a+b)})$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{3a-2b}{b(b-a)} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{2a(3a-2b)}$

Так как $b-a = -(a-b)$, преобразуем выражение:

$\frac{3a-2b}{-b(a-b)} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{2a(3a-2b)}$

Сократим одинаковые множители $(3a-2b)$ и $(a-b)$:

$\frac{1}{-b} \cdot \frac{a+b}{2a} = -\frac{a+b}{2ab}$

Ответ: $-\frac{a+b}{2ab}$

2) $(\frac{a+2}{4a^3-4a^2+a} - \frac{2-a}{1-8a^3} \cdot \frac{4a^2+2a+1}{2a^2+a}) : (\frac{1}{1-2a})^2 - \frac{8a-1}{2a^2+a}$

Упростим выражение по действиям.

1. Выполним умножение в скобках:

$\frac{2-a}{1-8a^3} \cdot \frac{4a^2+2a+1}{2a^2+a}$

Разложим знаменатели на множители, используя формулу разности кубов $1-8a^3 = (1-2a)(1+2a+4a^2)$ и вынесение общего множителя $2a^2+a = a(2a+1)$:

$\frac{2-a}{(1-2a)(1+2a+4a^2)} \cdot \frac{4a^2+2a+1}{a(2a+1)}$

Сократим общий множитель $(4a^2+2a+1)$:

$\frac{2-a}{(1-2a)a(2a+1)} = \frac{2-a}{a(1-4a^2)}$

2. Выполним вычитание в скобках:

$\frac{a+2}{4a^3-4a^2+a} - \frac{2-a}{a(1-4a^2)}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби: $4a^3-4a^2+a = a(4a^2-4a+1) = a(2a-1)^2 = a(1-2a)^2$.

Получаем выражение:

$\frac{a+2}{a(1-2a)^2} - \frac{2-a}{a(1-2a)(1+2a)}$

Общий знаменатель: $a(1-2a)^2(1+2a)$. Приведем дроби к нему:

$\frac{(a+2)(1+2a)}{a(1-2a)^2(1+2a)} - \frac{(2-a)(1-2a)}{a(1-2a)^2(1+2a)} = \frac{(a+2)(1+2a) - (2-a)(1-2a)}{a(1-2a)^2(1+2a)}$

Раскроем скобки в числителе:
$(a+2)(1+2a) = a+2a^2+2+4a = 2a^2+5a+2$
$(2-a)(1-2a) = 2-4a-a+2a^2 = 2a^2-5a+2$

Подставим в числитель и упростим:

$\frac{(2a^2+5a+2) - (2a^2-5a+2)}{a(1-2a)^2(1+2a)} = \frac{2a^2+5a+2 - 2a^2+5a-2}{a(1-2a)^2(1+2a)} = \frac{10a}{a(1-2a)^2(1+2a)} = \frac{10}{(1-2a)^2(1+2a)}$

3. Упростим делитель:

$(\frac{1}{1-2a})^2 = \frac{1}{(1-2a)^2}$

4. Выполним деление:

$\frac{10}{(1-2a)^2(1+2a)} : \frac{1}{(1-2a)^2} = \frac{10}{(1-2a)^2(1+2a)} \cdot \frac{(1-2a)^2}{1} = \frac{10}{1+2a}$

5. Выполним последнее вычитание:

$\frac{10}{1+2a} - \frac{8a-1}{2a^2+a}$

Разложим знаменатель второй дроби: $2a^2+a = a(2a+1)$. Общий знаменатель $a(2a+1)$.

$\frac{10 \cdot a}{a(2a+1)} - \frac{8a-1}{a(2a+1)} = \frac{10a - (8a-1)}{a(2a+1)} = \frac{10a - 8a + 1}{a(2a+1)} = \frac{2a+1}{a(2a+1)}$

Сократим дробь на $(2a+1)$:

$\frac{1}{a}$

Ответ: $\frac{1}{a}$

189. Упростите выражение:

$(\left( \frac{18y^2 + 3y}{27y^3 - 1} - \frac{3y + 1}{9y^2 + 3y + 1} \right) : \left( 1 - \frac{3y - 1}{y} - \frac{5 - 6y}{3y - 1} \right))$

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала преобразуем выражения в каждой из скобок, а затем выполним деление.

1. Упростим выражение в первой скобке: $ \frac{18y^2 + 3y}{27y^3 - 1} - \frac{3y + 1}{9y^2 + 3y + 1} $

Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби, используя формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $:

$ 27y^3 - 1 = (3y)^3 - 1^3 = (3y - 1)(9y^2 + 3y + 1) $

Теперь мы видим, что общий знаменатель для дробей в скобке — это $ (3y - 1)(9y^2 + 3y + 1) $. Приведем вторую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $ (3y - 1) $:

$ \frac{18y^2 + 3y}{(3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)} - \frac{(3y + 1)(3y - 1)}{(9y^2 + 3y + 1)(3y - 1)} $

В числителе второй дроби применим формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $. Затем выполним вычитание дробей:

$ \frac{18y^2 + 3y - (9y^2 - 1)}{(3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)} = \frac{18y^2 + 3y - 9y^2 + 1}{(3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)} = \frac{9y^2 + 3y + 1}{(3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (9y^2 + 3y + 1) $:

$ \frac{1}{3y - 1} $

2. Упростим выражение во второй скобке: $ 1 - \frac{3y - 1}{y} - \frac{5 - 6y}{3y - 1} $

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $ y(3y - 1) $:

$ \frac{1 \cdot y(3y - 1)}{y(3y - 1)} - \frac{(3y - 1)(3y - 1)}{y(3y - 1)} - \frac{y(5 - 6y)}{y(3y - 1)} $

Запишем все под одной дробной чертой и раскроем скобки в числителе:

$ \frac{y(3y - 1) - (3y - 1)^2 - y(5 - 6y)}{y(3y - 1)} = \frac{(3y^2 - y) - (9y^2 - 6y + 1) - (5y - 6y^2)}{y(3y - 1)} $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$ \frac{3y^2 - y - 9y^2 + 6y - 1 - 5y + 6y^2}{y(3y - 1)} = \frac{(3y^2 - 9y^2 + 6y^2) + (-y + 6y - 5y) - 1}{y(3y - 1)} = \frac{-1}{y(3y - 1)} $

3. Выполним деление

Теперь разделим результат, полученный в первом действии, на результат второго действия:

$ (\frac{1}{3y - 1}) : (\frac{-1}{y(3y - 1)}) $

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$ \frac{1}{3y - 1} \cdot \frac{y(3y - 1)}{-1} $

Сократим общий множитель $ (3y - 1) $:

$ \frac{1}{\cancel{3y - 1}} \cdot \frac{y(\cancel{3y - 1})}{-1} = \frac{y}{-1} = -y $

Ответ: $-y$

190. Докажите тождество:

1) $\frac{16}{(a-2)^4} : \left( \frac{1}{(a-2)^2} - \frac{2}{a^2 - 4} + \frac{1}{(a+2)^2} \right) - \frac{8a}{(a-2)^2} = 1;$

2) $\frac{a+11}{a+9} - \left( \frac{a+5}{a^2 - 81} + \frac{a+7}{a^2 - 18a + 81} \right) : \left( \frac{a+3}{a-9} \right)^2 = 1.$

1) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Сначала упростим выражение в скобках.

$\frac{1}{(a-2)^2} - \frac{2}{a^2-4} + \frac{1}{(a+2)^2}$

Разложим знаменатель средней дроби на множители по формуле разности квадратов: $a^2-4=(a-2)(a+2)$.

$\frac{1}{(a-2)^2} - \frac{2}{(a-2)(a+2)} + \frac{1}{(a+2)^2}$

Это выражение является полным квадратом разности $\left(\frac{1}{a-2} - \frac{1}{a+2}\right)^2$. Упростим выражение внутри скобок, приведя дроби к общему знаменателю $(a-2)(a+2)$:

$\frac{1}{a-2} - \frac{1}{a+2} = \frac{(a+2) - (a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{a+2-a+2}{(a-2)(a+2)} = \frac{4}{(a-2)(a+2)}$

Теперь возведем результат в квадрат:

$\left(\frac{4}{(a-2)(a+2)}\right)^2 = \frac{16}{(a-2)^2(a+2)^2}$

Подставим это в исходное выражение и выполним деление:

$\frac{16}{(a-2)^4} : \frac{16}{(a-2)^2(a+2)^2} = \frac{16}{(a-2)^4} \cdot \frac{(a-2)^2(a+2)^2}{16} = \frac{(a+2)^2}{(a-2)^2}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{(a+2)^2}{(a-2)^2} - \frac{8a}{(a-2)^2} = \frac{(a+2)^2 - 8a}{(a-2)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{a^2+4a+4 - 8a}{(a-2)^2} = \frac{a^2-4a+4}{(a-2)^2}$

Числитель является полным квадратом $(a-2)^2$:

$\frac{(a-2)^2}{(a-2)^2} = 1$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано при условии, что $a \ne 2$ и $a \ne -2$.
Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Сначала упростим выражение в первых скобках.

$\frac{a+5}{a^2-81} + \frac{a+7}{a^2-18a+81}$

Разложим знаменатели на множители. $a^2-81 = (a-9)(a+9)$ (разность квадратов) и $a^2-18a+81 = (a-9)^2$ (полный квадрат).

$\frac{a+5}{(a-9)(a+9)} + \frac{a+7}{(a-9)^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-9)^2(a+9)$:

$\frac{(a+5)(a-9)}{(a-9)^2(a+9)} + \frac{(a+7)(a+9)}{(a-9)^2(a+9)} = \frac{(a+5)(a-9) + (a+7)(a+9)}{(a-9)^2(a+9)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{(a^2 - 9a + 5a - 45) + (a^2 + 9a + 7a + 63)}{(a-9)^2(a+9)} = \frac{a^2 - 4a - 45 + a^2 + 16a + 63}{(a-9)^2(a+9)} = \frac{2a^2 + 12a + 18}{(a-9)^2(a+9)}$

Вынесем в числителе общий множитель 2 и свернем полный квадрат:

$\frac{2(a^2 + 6a + 9)}{(a-9)^2(a+9)} = \frac{2(a+3)^2}{(a-9)^2(a+9)}$

Теперь выполним деление. Сначала преобразуем делитель:

$\left(\frac{a+3}{a-9}\right)^2 = \frac{(a+3)^2}{(a-9)^2}$

Выполняем деление:

$\frac{2(a+3)^2}{(a-9)^2(a+9)} : \frac{(a+3)^2}{(a-9)^2} = \frac{2(a+3)^2}{(a-9)^2(a+9)} \cdot \frac{(a-9)^2}{(a+3)^2} = \frac{2}{a+9}$

Подставим результат в исходное выражение:

$\frac{a+11}{a+9} - \frac{2}{a+9} = \frac{a+11-2}{a+9} = \frac{a+9}{a+9} = 1$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано при условии, что $a \ne 9$, $a \ne -9$ и $a \ne -3$.
Ответ: Тождество доказано.

191. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной выражение $\frac{b^2 + 9}{3b^2 - b^3} + \left(\frac{b + 3}{b - 3}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{b - 3} + \frac{6}{9 - b^2} - \frac{3}{b^2 + 3b}\right)$ принимает положительные значения.

Чтобы доказать, что данное выражение принимает положительные значения при всех допустимых значениях переменной, мы сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) и затем упростим выражение.

Область допустимых значений определяется условием, что все знаменатели должны быть не равны нулю:

• $3b^2 - b^3 = b^2(3-b) \neq 0 \implies b \neq 0$ и $b \neq 3$.
• $b-3 \neq 0 \implies b \neq 3$.
• $9 - b^2 = (3-b)(3+b) \neq 0 \implies b \neq 3$ и $b \neq -3$.
• $b^2 + 3b = b(b+3) \neq 0 \implies b \neq 0$ и $b \neq -3$.

Следовательно, ОДЗ: $b \in \mathbb{R} \setminus \{-3, 0, 3\}$.

Теперь упростим выражение, выполняя действия по порядку. Сначала преобразуем выражение в больших скобках:

$\frac{1}{b-3} + \frac{6}{9-b^2} - \frac{3}{b^2+3b}$

Разложим знаменатели на множители: $9-b^2 = -(b-3)(b+3)$ и $b^2+3b = b(b+3)$. Подставим их в выражение:

$\frac{1}{b-3} - \frac{6}{(b-3)(b+3)} - \frac{3}{b(b+3)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $b(b-3)(b+3)$:

$\frac{1 \cdot b(b+3) - 6 \cdot b - 3 \cdot (b-3)}{b(b-3)(b+3)} = \frac{b^2+3b-6b-3b+9}{b(b-3)(b+3)} = \frac{b^2-6b+9}{b(b-3)(b+3)}$

Числитель является полным квадратом $(b-3)^2$, поэтому:

$\frac{(b-3)^2}{b(b-3)(b+3)} = \frac{b-3}{b(b+3)}$

Далее, умножим полученный результат на $\left(\frac{b+3}{b-3}\right)^2$:

$\left(\frac{b+3}{b-3}\right)^2 \cdot \frac{b-3}{b(b+3)} = \frac{(b+3)^2}{(b-3)^2} \cdot \frac{b-3}{b(b+3)}$

После сокращения на $(b+3)$ и $(b-3)$ (что возможно в рамках ОДЗ) получаем:

$\frac{b+3}{b(b-3)}$

На последнем шаге выполним сложение с первым слагаемым исходного выражения:

$\frac{b^2+9}{3b^2-b^3} + \frac{b+3}{b(b-3)} = \frac{b^2+9}{b^2(3-b)} + \frac{b+3}{b(b-3)}$

Вынесем минус из знаменателя первой дроби:

$-\frac{b^2+9}{b^2(b-3)} + \frac{b+3}{b(b-3)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $b^2(b-3)$:

$\frac{-(b^2+9) + b(b+3)}{b^2(b-3)} = \frac{-b^2-9+b^2+3b}{b^2(b-3)} = \frac{3b-9}{b^2(b-3)}$

Вынесем в числителе общий множитель 3 и сократим дробь:

$\frac{3(b-3)}{b^2(b-3)} = \frac{3}{b^2}$

В результате упрощения мы получили выражение $\frac{3}{b^2}$.

Согласно ОДЗ, переменная $b$ не равна нулю. Квадрат любого действительного числа, не равного нулю ($b^2$), является строго положительным числом. Числитель дроби равен 3, что также является положительным числом. Частное от деления положительного числа на положительное число всегда положительно.

Таким образом, мы доказали, что при всех допустимых значениях переменной $b$ выражение принимает положительные значения.

Ответ: После упрощения исходное выражение приводится к виду $\frac{3}{b^2}$. Поскольку для всех допустимых значений $b \neq 0$, то $b^2 > 0$. Следовательно, выражение $\frac{3}{b^2}$ всегда принимает положительные значения.

192. Подставьте вместо x данное выражение и упростите полученное выражение:

1) $\frac{x-a}{x-b}$, если $x=\frac{ab}{a+b}$;

2) $\frac{a-bx}{b+ax}$, если $x=\frac{a-b}{a+b}$.

1) Подставим значение $x = \frac{ab}{a+b}$ в выражение $\frac{x-a}{x-b}$:

$\frac{x-a}{x-b} = \frac{\frac{ab}{a+b} - a}{\frac{ab}{a+b} - b}$

Чтобы упростить это выражение, приведем к общему знаменателю числитель и знаменатель "многоэтажной" дроби.

Упростим числитель:

$\frac{ab}{a+b} - a = \frac{ab}{a+b} - \frac{a(a+b)}{a+b} = \frac{ab - a^2 - ab}{a+b} = \frac{-a^2}{a+b}$

Упростим знаменатель:

$\frac{ab}{a+b} - b = \frac{ab}{a+b} - \frac{b(a+b)}{a+b} = \frac{ab - ab - b^2}{a+b} = \frac{-b^2}{a+b}$

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{\frac{-a^2}{a+b}}{\frac{-b^2}{a+b}} = \frac{-a^2}{a+b} \cdot \frac{a+b}{-b^2}$

Сокращаем общий множитель $(a+b)$ и отрицательные знаки:

$\frac{a^2}{b^2}$

Ответ: $\frac{a^2}{b^2}$

2) Подставим значение $x = \frac{a-b}{a+b}$ в выражение $\frac{a-bx}{b+ax}$:

$\frac{a-bx}{b+ax} = \frac{a - b\left(\frac{a-b}{a+b}\right)}{b + a\left(\frac{a-b}{a+b}\right)} = \frac{a - \frac{b(a-b)}{a+b}}{b + \frac{a(a-b)}{a+b}}$

Приведем к общему знаменателю $(a+b)$ числитель и знаменатель полученной дроби.

Упростим числитель:

$a - \frac{b(a-b)}{a+b} = \frac{a(a+b) - b(a-b)}{a+b} = \frac{a^2+ab-ab+b^2}{a+b} = \frac{a^2+b^2}{a+b}$

Упростим знаменатель:

$b + \frac{a(a-b)}{a+b} = \frac{b(a+b) + a(a-b)}{a+b} = \frac{ab+b^2+a^2-ab}{a+b} = \frac{a^2+b^2}{a+b}$

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$\frac{\frac{a^2+b^2}{a+b}}{\frac{a^2+b^2}{a+b}}$

Мы делим выражение само на себя (при условии, что оно не равно нулю). Результат такого деления равен 1.

$\frac{a^2+b^2}{a+b} \cdot \frac{a+b}{a^2+b^2} = 1$

Ответ: $1$