Страница 48 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

202. При каком значении переменной не имеет смысла выражение:

1) $\frac{6}{3x - 9}$;

2) $\frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$;

3) $\frac{x + 4}{3x^2 + 12x}$;

4) $\frac{8}{x + 7} + \frac{4}{x - 2}$;

5) $\frac{x}{x^2 - 10x + 25}$;

6) $\frac{x + 2}{(x + 10)(x - 12)}$?

Дробное рациональное выражение не имеет смысла, когда его знаменатель равен нулю. Чтобы найти значения переменной, при которых выражение не имеет смысла, нужно приравнять знаменатель к нулю и решить полученное уравнение.

1) Выражение $\frac{6}{3x-9}$ не имеет смысла, когда знаменатель $3x-9$ равен нулю.
Решим уравнение:
$3x - 9 = 0$
$3x = 9$
$x = \frac{9}{3}$
$x = 3$
Ответ: при $x = 3$.

2) Выражение $\frac{x^2+1}{x^2-1}$ не имеет смысла, когда знаменатель $x^2-1$ равен нулю.
Решим уравнение, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$x^2 - 1 = 0$
$(x-1)(x+1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x-1=0$ или $x+1=0$
$x=1$ или $x=-1$
Ответ: при $x=1$ и $x=-1$.

3) Выражение $\frac{x+4}{3x^2+12x}$ не имеет смысла, когда знаменатель $3x^2+12x$ равен нулю.
Решим уравнение, вынеся общий множитель за скобки:
$3x^2 + 12x = 0$
$3x(x+4) = 0$
$3x=0$ или $x+4=0$
$x=0$ или $x=-4$
Ответ: при $x=0$ и $x=-4$.

4) Выражение $\frac{8}{x+7} + \frac{4}{x-2}$ является суммой двух дробей. Оно не имеет смысла, если хотя бы один из знаменателей равен нулю.
Приравняем каждый знаменатель к нулю:
1) $x+7=0 \implies x=-7$
2) $x-2=0 \implies x=2$
Выражение не имеет смысла при этих значениях $x$.
Ответ: при $x=-7$ и $x=2$.

5) Выражение $\frac{x}{x^2-10x+25}$ не имеет смысла, когда знаменатель $x^2-10x+25$ равен нулю.
Решим уравнение, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$x^2 - 10x + 25 = 0$
$(x-5)^2 = 0$
$x-5 = 0$
$x = 5$
Ответ: при $x=5$.

6) Выражение $\frac{x+2}{(x+10)(x-12)}$ не имеет смысла, когда знаменатель $(x+10)(x-12)$ равен нулю.
Решим уравнение:
$(x+10)(x-12) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x+10=0$ или $x-12=0$
$x=-10$ или $x=12$
Ответ: при $x=-10$ и $x=12$.

203. При каком значении переменной значение дроби равно нулю:

1) $ \frac{x-8}{9} $;

2) $ \frac{x-2}{x+2} $;

3) $ \frac{4}{x-5} $?

1) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

Рассмотрим дробь $\frac{x-8}{9}$.

Приравняем числитель к нулю, чтобы найти значение переменной, при котором дробь может стать равной нулю:

$x - 8 = 0$

Решая это простое уравнение, получаем:

$x = 8$

Знаменатель дроби равен 9. Так как $9 \neq 0$, то условие отличия знаменателя от нуля выполняется всегда. Следовательно, при $x = 8$ значение дроби равно нулю.

Ответ: 8

2) Рассмотрим дробь $\frac{x-2}{x+2}$.

Значение дроби равно нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это можно записать в виде системы условий:

$\begin{cases} x - 2 = 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы находим значение $x$, при котором числитель обращается в ноль:

$x = 2$

Из второго неравенства системы находим значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю:

$x \neq -2$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденное значение $x=2$ условию $x \neq -2$. Да, $2 \neq -2$, поэтому условие выполняется. Значит, при $x=2$ дробь равна нулю.

Ответ: 2

3) Рассмотрим дробь $\frac{4}{x-5}$.

Чтобы дробь была равна нулю, ее числитель должен быть равен нулю. В данном случае числитель дроби — это число 4.

Попытаемся приравнять числитель к нулю:

$4 = 0$

Это равенство является ложным и не может быть выполнено ни при каком значении переменной $x$. Поскольку числитель никогда не равен нулю, то и вся дробь никогда не может быть равна нулю.

Ответ: таких значений нет

204. На доске написаны многочлены $x + 2$ и $2x + 1$. Разрешается записать сумму, разность или произведение любых двух из уже написанных многочленов. Может ли на доске появиться многочлен $2x^3 + x + 5$?

Для решения этой задачи воспользуемся методом инварианта. Идея состоит в том, чтобы найти некоторое свойство, которым обладают исходные многочлены и которое сохраняется (является инвариантным) при выполнении разрешенных операций. Если искомый многочлен этим свойством не обладает, то его получить невозможно.

В качестве такого инвариантного свойства рассмотрим значение многочленов при подстановке $x=1$. Значение любого многочлена $P(x)$ при $x=1$ равно сумме его коэффициентов.

Проверим исходные многочлены $P_1(x) = x + 2$ и $P_2(x) = 2x + 1$: $P_1(1) = 1 + 2 = 3$ $P_2(1) = 2(1) + 1 = 3$ Значения обоих исходных многочленов при $x=1$ равны 3, то есть они кратны 3.

Теперь докажем, что это свойство сохраняется для любого многочлена, который можно получить с помощью разрешенных операций. Пусть на доске есть два многочлена, $A(x)$ и $B(x)$, такие, что их значения при $x=1$ кратны 3. Это можно записать как $A(1) = 3k$ и $B(1) = 3m$ для некоторых целых чисел $k$ и $m$.

Рассмотрим, какими будут значения при $x=1$ для многочленов, полученных в результате операций: Для суммы имеем: $(A+B)(1) = A(1) + B(1) = 3k + 3m = 3(k+m)$. Результат кратен 3. Для разности имеем: $(A-B)(1) = A(1) - B(1) = 3k - 3m = 3(k-m)$. Результат также кратен 3. Для произведения имеем: $(A \cdot B)(1) = A(1) \cdot B(1) = (3k)(3m) = 9km = 3(3km)$. Результат снова кратен 3.

Таким образом, любая операция (сумма, разность или произведение) над многочленами, значение которых при $x=1$ кратно 3, снова дает многочлен с таким же свойством. Это означает, что абсолютно любой многочлен $P(x)$, который может появиться на доске, должен удовлетворять условию: $P(1)$ кратно 3.

Наконец, проверим, выполняется ли это условие для целевого многочлена $Q(x) = 2x^3 + x + 5$. Вычислим его значение при $x=1$: $Q(1) = 2(1)^3 + 1 + 5 = 2 + 1 + 5 = 8$.

Число 8 не делится нацело на 3. Так как значение многочлена $Q(x)$ при $x=1$ не кратно 3, он не обладает инвариантным свойством всех многочленов, которые можно получить на доске. Следовательно, многочлен $2x^3 + x + 5$ появиться на доске не может.

Ответ: нет, многочлен $2x^3 + x + 5$ на доске появиться не может.