Страница 50 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

9. Какому числу при всех допустимых значениях $a$ равно значение выражения $(\frac{30a}{9a^2 - 25} + \frac{5}{5 - 3a}) : (\frac{3a - 5}{3a + 5} - 1)?$

А) $\frac{1}{2}$Б) $2$В) $-\frac{1}{2}$Г) $-2$

Для того чтобы найти значение выражения, необходимо его упростить. Будем выполнять действия по порядку: сначала в первой скобке, затем во второй, и в конце выполним деление.

1. Выполним действие в первой скобке: $ \left(\frac{30a}{9a^2 - 25} + \frac{5}{5 - 3a}\right) $.

В знаменателе первой дроби применим формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $:

$ 9a^2 - 25 = (3a)^2 - 5^2 = (3a - 5)(3a + 5) $

В знаменателе второй дроби вынесем знак минус за скобку, чтобы получить выражение, схожее с частью первого знаменателя:

$ 5 - 3a = -(3a - 5) $

Теперь перепишем выражение в скобках с новыми знаменателями:

$ \frac{30a}{(3a - 5)(3a + 5)} + \frac{5}{-(3a - 5)} = \frac{30a}{(3a - 5)(3a + 5)} - \frac{5}{3a - 5} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ (3a - 5)(3a + 5) $. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на множитель $ (3a + 5) $:

$ \frac{30a}{(3a - 5)(3a + 5)} - \frac{5(3a + 5)}{(3a - 5)(3a + 5)} $

Объединим дроби и упростим числитель:

$ \frac{30a - 5(3a + 5)}{(3a - 5)(3a + 5)} = \frac{30a - 15a - 25}{(3a - 5)(3a + 5)} = \frac{15a - 25}{(3a - 5)(3a + 5)} $

Вынесем в числителе общий множитель 5 за скобки:

$ \frac{5(3a - 5)}{(3a - 5)(3a + 5)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (3a - 5) $. Это возможно, так как в области допустимых значений $ a $, $ 3a - 5 \neq 0 $.

$ \frac{5}{3a + 5} $

2. Выполним действие во второй скобке: $ \left(\frac{3a - 5}{3a + 5} - 1\right) $.

Приведем выражение к общему знаменателю $ (3a + 5) $:

$ \frac{3a - 5}{3a + 5} - \frac{1 \cdot (3a + 5)}{3a + 5} = \frac{(3a - 5) - (3a + 5)}{3a + 5} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{3a - 5 - 3a - 5}{3a + 5} = \frac{-10}{3a + 5} $

3. Выполним деление результатов.

Теперь разделим результат первого действия на результат второго:

$ \left(\frac{5}{3a + 5}\right) : \left(\frac{-10}{3a + 5}\right) $

Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь:

$ \frac{5}{3a + 5} \cdot \frac{3a + 5}{-10} $

Сократим на общий множитель $ (3a + 5) $, так как $ 3a + 5 \neq 0 $ для допустимых $ a $:

$ \frac{5}{-10} $

Упростим полученную дробь:

$ -\frac{5}{10} = -\frac{1}{2} $

Таким образом, значение выражения не зависит от переменной $ a $ и всегда равно $ -1/2 $. Этот результат соответствует варианту В.

Ответ: $ -\frac{1}{2} $

10. Чему равно значение выражения $ \frac{a^2 - 4ab}{b^2} $, если $ 3a - 5b = 0,2(2a + b)? $

А) 4

Б) -4

В) 3

Г) -3

Для того чтобы найти значение выражения $\frac{a^2 - 4ab}{b^2}$, необходимо сначала упростить данное в условии равенство $3a - 5b = 0,2(2a + b)$ и найти соотношение между переменными $a$ и $b$.

Сначала упростим исходное равенство.
$3a - 5b = 0,2(2a + b)$
Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим обе части уравнения на 10:
$10 \cdot (3a - 5b) = 10 \cdot 0,2(2a + b)$
$30a - 50b = 2(2a + b)$
Раскроем скобки в правой части:
$30a - 50b = 4a + 2b$
Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $a$ в левой части уравнения, а слагаемые с переменной $b$ — в правой:
$30a - 4a = 2b + 50b$
$26a = 52b$
Разделив обе части уравнения на 26, мы можем выразить $a$ через $b$:
$a = \frac{52b}{26}$
$a = 2b$

Теперь, когда мы нашли соотношение между $a$ и $b$, подставим его в исходное выражение. Заметим, что для существования данного выражения $b \neq 0$.
$\frac{a^2 - 4ab}{b^2} = \frac{(2b)^2 - 4(2b)b}{b^2}$
Упростим числитель дроби:
$\frac{4b^2 - 8b^2}{b^2} = \frac{-4b^2}{b^2}$
Сократим дробь на $b^2$:
$\frac{-4b^2}{b^2} = -4$

Таким образом, значение искомого выражения равно -4.

Ответ: -4

11. Известно, что $x + \frac{1}{x} = 6$. Найдите значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$.

A) 36

Б) 38

В) 34

Г) 35

Для того чтобы найти значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$, зная, что $x + \frac{1}{x} = 6$, мы можем возвести обе части данного равенства в квадрат. Для этого воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Возводим обе части исходного равенства в квадрат:

$(x + \frac{1}{x})^2 = 6^2$

Раскрываем скобки в левой части по формуле, где $a=x$ и $b=\frac{1}{x}$:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = 36$

Упрощаем средний член в левой части: $2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 2$. Получаем:

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 36$

Теперь, чтобы найти искомое выражение $x^2 + \frac{1}{x^2}$, перенесем 2 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 36 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 34$

Ответ: 34.

12. Упростите выражение $\frac{\frac{1}{a} + \frac{a}{b^2}}{\frac{a}{b^2} - \frac{1}{a}}$

A) $\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$

Б) $\frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$

B) $\frac{a^2 + b^2}{ab^2 (a^2 - b^2)}$

Г) $\frac{ab(a^2 + b^2)}{a^2 - b^2}$

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить действия в числителе и знаменателе, а затем разделить полученные результаты.

Исходное выражение представляет собой сложную дробь:$$ \frac{\frac{1}{a} + \frac{a}{b^2}}{\frac{a}{b^2} - \frac{1}{a}} $$

1. Упростим числитель.
Для сложения дробей $ \frac{1}{a} $ и $ \frac{a}{b^2} $ приведем их к общему знаменателю $ ab^2 $: $$ \frac{1}{a} + \frac{a}{b^2} = \frac{1 \cdot b^2}{a \cdot b^2} + \frac{a \cdot a}{b^2 \cdot a} = \frac{b^2 + a^2}{ab^2} $$

2. Упростим знаменатель.
Для вычитания дробей $ \frac{a}{b^2} $ и $ \frac{1}{a} $ также приведем их к общему знаменателю $ ab^2 $: $$ \frac{a}{b^2} - \frac{1}{a} = \frac{a \cdot a}{b^2 \cdot a} - \frac{1 \cdot b^2}{a \cdot b^2} = \frac{a^2 - b^2}{ab^2} $$

3. Выполним деление.
Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь: $$ \frac{\frac{b^2 + a^2}{ab^2}}{\frac{a^2 - b^2}{ab^2}} = \frac{b^2 + a^2}{ab^2} \cdot \frac{ab^2}{a^2 - b^2} $$ Сократим общий множитель $ ab^2 $ в числителе и знаменателе: $$ \frac{a^2 + b^2}{\cancel{ab^2}} \cdot \frac{\cancel{ab^2}}{a^2 - b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} $$

Полученный результат $ \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} $ совпадает с вариантом ответа А.

Ответ: $\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$