Страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

206. Составьте уравнение, равносильное данному:

1) $2x - 3 = 4;$

2) $|x| = 1;$

3) $x + 6 = x - 2.$

Равносильными называются уравнения, которые имеют одинаковые множества решений (корней). Чтобы составить уравнение, равносильное данному, можно либо найти корни исходного уравнения и составить новое с такими же корнями, либо выполнить над исходным уравнением равносильные преобразования (например, прибавить или вычесть из обеих частей одно и то же число, умножить или разделить обе части на одно и то же ненулевое число).

1) Дано уравнение $2x - 3 = 4$.
Сначала найдем его корень. Для этого выполним равносильные преобразования. Прибавим к обеим частям уравнения 3:
$2x - 3 + 3 = 4 + 3$
$2x = 7$
Теперь разделим обе части на 2:
$x = 3.5$
Корень исходного уравнения – $x = 3.5$. Любое уравнение, полученное в процессе решения (например, $2x = 7$), будет равносильно исходному, так как имеет тот же корень. Можно также составить и другое простое уравнение с этим же корнем, например $x - 3.5 = 0$.
Ответ: $2x = 7$.

2) Дано уравнение $|x| = 1$.
Это уравнение имеет два корня, так как есть два числа, модуль которых равен 1:
$x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Нужно составить уравнение, которое имеет те же два корня. Простейшим таким уравнением является квадратное уравнение $x^2 = 1$. Действительно, извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $x = \pm\sqrt{1}$, то есть $x = 1$ и $x = -1$. Таким образом, множества решений уравнений $|x|=1$ и $x^2=1$ совпадают, а значит, они равносильны.
Ответ: $x^2 = 1$.

3) Дано уравнение $x + 6 = x - 2$.
Попробуем решить это уравнение. Перенесем слагаемое $x$ из правой части в левую, а число 6 из левой в правую, меняя их знаки:
$x - x = -2 - 6$
$0 \cdot x = -8$
$0 = -8$
Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное уравнение не имеет корней (решений нет). Следовательно, любое уравнение, которое также не имеет корней, будет ему равносильно. Например, можно составить уравнение, приводящее к другому очевидному противоречию, такое как $x = x + 1$. При попытке его решить мы получим $0 = 1$, что неверно.
Ответ: $x = x + 1$.

207. Решите уравнение:

1) $\frac{x - 6}{x - 4} = 0;$

2) $\frac{x - 2}{x^2 - 4} = 0;$

3) $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 0;$

4) $\frac{x - 2}{x - 2} = 1;$

5) $\frac{2x^2 + 18}{x^2 + 9} = 2;$

6) $\frac{x}{x - 5} + \frac{2x - 9}{x - 5} = 0;$

7) $\frac{5x - 7}{x + 1} - \frac{x - 5}{x + 1} = 0;$

8) $\frac{2x + 16}{x + 3} - \frac{1 - 3x}{x + 3} = 0;$

9) $\frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} = 0;$

10) $\frac{3}{x - 2} = \frac{4}{x + 3};$

11) $\frac{x}{x - 6} = 2;$

12) $\frac{x - 4}{x - 3} = \frac{2x + 1}{2x - 1};$

13) $\frac{x + 8}{x} - \frac{6}{x - 2} = 0;$

14) $\frac{2x}{x - 5} - \frac{x^2 + 15x}{x^2 - 25} = 0;$

15) $3 - \frac{2x^2 - 5x}{x^2 - 3x} = 0.$

1) $ \frac{x-6}{x-4} = 0 $
Уравнение представляет собой дробь, равную нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль: $x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$.
Теперь приравняем числитель к нулю: $x - 6 = 0$
$x = 6$
Полученный корень $x=6$ удовлетворяет условию ОДЗ ($6 \neq 4$).
Ответ: 6

2) $ \frac{x-2}{x^2-4} = 0 $
ОДЗ: $x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Приравняем числитель к нулю: $x - 2 = 0$
$x = 2$
Полученное значение $x=2$ не входит в область допустимых значений, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет

3) $ \frac{x^2-4}{x-2} = 0 $
ОДЗ: $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
Приравняем числитель к нулю: $x^2 - 4 = 0$
$(x-2)(x+2) = 0$
Корни этого уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.
Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -2

4) $ \frac{x-2}{x-2} = 1 $
ОДЗ: $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
При любом значении $x$, удовлетворяющем ОДЗ, выражение в левой части тождественно равно 1. Следовательно, решением уравнения является любое число, кроме 2.
Ответ: $x$ — любое число, кроме 2

5) $ \frac{2x^2+18}{x^2+9} = 2 $
ОДЗ: $x^2 + 9 \neq 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 9 \ge 9$, поэтому знаменатель никогда не равен нулю. ОДЗ: $x$ - любое число.
Умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2+9$: $2x^2 + 18 = 2(x^2 + 9)$
$2x^2 + 18 = 2x^2 + 18$
$0 = 0$
Получено верное тождество, значит, уравнение верно для любого значения $x$ из области допустимых значений.
Ответ: $x$ — любое число

6) $ \frac{x}{x-5} + \frac{2x-9}{x-5} = 0 $
ОДЗ: $x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$.
Так как знаменатели одинаковы, сложим числители: $\frac{x + (2x-9)}{x-5} = 0$
$\frac{3x-9}{x-5} = 0$
Приравняем числитель к нулю: $3x - 9 = 0 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3$.
Корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 \neq 5$).
Ответ: 3

7) $ \frac{5x-7}{x+1} - \frac{x-5}{x+1} = 0 $
ОДЗ: $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.
Вычтем числители: $\frac{(5x-7) - (x-5)}{x+1} = 0$
$\frac{5x-7-x+5}{x+1} = 0$
$\frac{4x-2}{x+1} = 0$
Приравняем числитель к нулю: $4x-2 = 0 \Rightarrow 4x = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ или $x=0.5$.
Корень $x=0.5$ удовлетворяет ОДЗ ($0.5 \neq -1$).
Ответ: 0.5

8) $ \frac{2x+16}{x+3} - \frac{1-3x}{x+3} = 0 $
ОДЗ: $x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.
Вычтем числители: $\frac{(2x+16) - (1-3x)}{x+3} = 0$
$\frac{2x+16-1+3x}{x+3} = 0$
$\frac{5x+15}{x+3} = 0$
Приравняем числитель к нулю: $5x+15 = 0 \Rightarrow 5x = -15 \Rightarrow x = -3$.
Полученное значение $x=-3$ не входит в ОДЗ. Следовательно, уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет

9) $ \frac{2}{x-1} + \frac{1}{x+1} = 0 $
ОДЗ: $x-1 \neq 0$ и $x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+1)$: $\frac{2(x+1) + 1(x-1)}{(x-1)(x+1)} = 0$
$\frac{2x+2+x-1}{(x-1)(x+1)} = 0$
$\frac{3x+1}{(x-1)(x+1)} = 0$
Приравняем числитель к нулю: $3x+1 = 0 \Rightarrow 3x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}$.
Корень $x=-\frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-\frac{1}{3}$

10) $ \frac{3}{x-2} = \frac{4}{x+3} $
ОДЗ: $x-2 \neq 0$ и $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ и $x \neq -3$.
Используем свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $3(x+3) = 4(x-2)$
$3x+9 = 4x-8$
$9+8 = 4x-3x$
$x = 17$
Корень $x=17$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 17

11) $ \frac{x}{x-6} = 2 $
ОДЗ: $x - 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 6$.
Умножим обе части на знаменатель $x-6$: $x = 2(x-6)$
$x = 2x - 12$
$12 = 2x - x$
$x = 12$
Корень $x=12$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 12

12) $ \frac{x-4}{x-3} = \frac{2x+1}{2x-1} $
ОДЗ: $x-3 \neq 0$ и $2x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$ и $x \neq \frac{1}{2}$.
Используем свойство пропорции: $(x-4)(2x-1) = (2x+1)(x-3)$
$2x^2 - x - 8x + 4 = 2x^2 - 6x + x - 3$
$2x^2 - 9x + 4 = 2x^2 - 5x - 3$
$-9x + 4 = -5x - 3$
$4 + 3 = -5x + 9x$
$7 = 4x$
$x = \frac{7}{4} = 1.75$
Корень $x=1.75$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 1.75

13) $ \frac{x+8}{x} - \frac{6}{x-2} = 0 $
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq 2$.
Приведем к общему знаменателю $x(x-2)$: $\frac{(x+8)(x-2) - 6x}{x(x-2)} = 0$
Приравняем числитель к нулю: $(x+8)(x-2) - 6x = 0$
$x^2 - 2x + 8x - 16 - 6x = 0$
$x^2 - 16 = 0$
$(x-4)(x+4) = 0$
Корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -4$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: -4; 4

14) $ \frac{2x}{x-5} - \frac{x^2+15x}{x^2-25} = 0 $
ОДЗ: $x-5 \neq 0$ и $x^2-25 \neq 0$. $x^2-25 = (x-5)(x+5)$, значит $x \neq 5$ и $x \neq -5$.
Разложим второй знаменатель на множители и приведем к общему знаменателю: $\frac{2x(x+5)}{(x-5)(x+5)} - \frac{x^2+15x}{(x-5)(x+5)} = 0$
$\frac{2x(x+5) - (x^2+15x)}{(x-5)(x+5)} = 0$
Приравняем числитель к нулю: $2x^2 + 10x - x^2 - 15x = 0$
$x^2 - 5x = 0$
$x(x-5) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 5$.
Корень $x_2=5$ не удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_1=0$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 0

15) $ 3 - \frac{2x^2-5x}{x^2-3x} = 0 $
ОДЗ: $x^2-3x \neq 0 \Rightarrow x(x-3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq 3$.
Приведем к общему знаменателю $x^2-3x$: $\frac{3(x^2-3x) - (2x^2-5x)}{x^2-3x} = 0$
Приравняем числитель к нулю: $3x^2 - 9x - 2x^2 + 5x = 0$
$x^2 - 4x = 0$
$x(x-4) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.
Корень $x_1=0$ не удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_2=4$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 4

208. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} = 0;$

2) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} = 0;$

3) $\frac{x + 7}{x - 7} - \frac{2x - 3}{x - 7} = 0;$

4) $\frac{10 - 3x}{x + 8} + \frac{5x + 6}{x + 8} = 0;$

5) $\frac{x - 6}{x - 2} - \frac{x - 8}{x} = 0;$

6) $\frac{2x - 4}{x} - \frac{3x + 1}{x} + \frac{x + 5}{x} = 0;$

7) $\frac{x}{x + 6} - \frac{36}{x^2 + 6x} = 0;$

8) $\frac{2x^2 + 3x + 1}{2x + 1} - x = 1;$

9) $\frac{4}{x - 1} - \frac{4}{x + 1} = 1.$

1) Дано уравнение: $\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} = 0$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Найдём корни числителя, приравняв его к нулю:
$x^2 - 1 = 0$
Используя формулу разности квадратов, получаем: $(x - 1)(x + 1) = 0$.
Отсюда два возможных корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

2. Найдём область допустимых значений (ОДЗ), для этого знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^2 - 2x + 1 \neq 0$
Используя формулу квадрата разности, получаем: $(x - 1)^2 \neq 0$.
Это означает, что $x - 1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$.

3. Сравним корни с ОДЗ. Корень $x_1 = 1$ не входит в ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет условию $x \neq 1$.

Ответ: $x = -1$.

2) Дано уравнение: $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} = 0$.
1. Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 2x + 1 = 0$
$(x - 1)^2 = 0$
Отсюда $x = 1$.

2. Найдём ОДЗ (знаменатель не равен нулю):
$x^2 - 1 \neq 0$
$(x - 1)(x + 1) \neq 0$
Следовательно, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

3. Единственный возможный корень $x = 1$ не удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, у уравнения нет решений.

Ответ: корней нет.

3) Дано уравнение: $\frac{x + 7}{x - 7} - \frac{2x - 3}{x - 7} = 0$.
Так как знаменатели дробей одинаковы, мы можем объединить их под общим знаменателем:
$\frac{(x + 7) - (2x - 3)}{x - 7} = 0$
$\frac{x + 7 - 2x + 3}{x - 7} = 0$
$\frac{10 - x}{x - 7} = 0$.

1. Числитель равен нулю:
$10 - x = 0$
$x = 10$.

2. Знаменатель не равен нулю (ОДЗ):
$x - 7 \neq 0$
$x \neq 7$.

3. Корень $x = 10$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 10$.

4) Дано уравнение: $\frac{10 - 3x}{x + 8} + \frac{5x + 6}{x + 8} = 0$.
Объединим дроби с одинаковым знаменателем:
$\frac{(10 - 3x) + (5x + 6)}{x + 8} = 0$
$\frac{10 - 3x + 5x + 6}{x + 8} = 0$
$\frac{2x + 16}{x + 8} = 0$.

1. Числитель равен нулю:
$2x + 16 = 0$
$2(x + 8) = 0$
$x = -8$.

2. Знаменатель не равен нулю (ОДЗ):
$x + 8 \neq 0$
$x \neq -8$.

3. Полученный корень $x = -8$ не удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, у уравнения нет решений.

Ответ: корней нет.

5) Дано уравнение: $\frac{x - 6}{x - 2} - \frac{x - 8}{x} = 0$.
ОДЗ: $x - 2 \neq 0$ и $x \neq 0$, то есть $x \neq 2$ и $x \neq 0$.
Приведем дроби к общему знаменателю $x(x - 2)$:
$\frac{x(x - 6) - (x - 8)(x - 2)}{x(x - 2)} = 0$.

Приравняем числитель к нулю:
$x(x - 6) - (x - 8)(x - 2) = 0$
$x^2 - 6x - (x^2 - 2x - 8x + 16) = 0$
$x^2 - 6x - (x^2 - 10x + 16) = 0$
$x^2 - 6x - x^2 + 10x - 16 = 0$
$4x - 16 = 0$
$4x = 16$
$x = 4$.
Корень $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$ и $x \neq 0$).

Ответ: $x = 4$.

6) Дано уравнение: $\frac{2x - 4}{x} - \frac{3x + 1}{x} + \frac{x + 5}{x} = 0$.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Так как знаменатель общий, объединим числители:
$\frac{(2x - 4) - (3x + 1) + (x + 5)}{x} = 0$
$\frac{2x - 4 - 3x - 1 + x + 5}{x} = 0$
$\frac{(2x - 3x + x) + (-4 - 1 + 5)}{x} = 0$
$\frac{0 \cdot x + 0}{x} = 0$
$\frac{0}{x} = 0$.
Это равенство верно для любого значения $x$, при котором знаменатель не равен нулю.
Учитывая ОДЗ ($x \neq 0$), решением является любое число, кроме 0.

Ответ: $x$ - любое число, кроме $0$.

7) Дано уравнение: $\frac{x}{x + 6} - \frac{36}{x^2 + 6x} = 0$.
Разложим знаменатель второй дроби на множители: $x^2 + 6x = x(x + 6)$.
Уравнение принимает вид: $\frac{x}{x + 6} - \frac{36}{x(x + 6)} = 0$.
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x + 6 \neq 0$, то есть $x \neq -6$.
Приведем к общему знаменателю $x(x + 6)$:
$\frac{x \cdot x - 36}{x(x + 6)} = 0$
$\frac{x^2 - 36}{x(x + 6)} = 0$.

Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 36 = 0$
$(x - 6)(x + 6) = 0$
$x_1 = 6$, $x_2 = -6$.
Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условиям. Корень $x_2 = -6$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -6$), поэтому является посторонним.

Ответ: $x = 6$.

8) Дано уравнение: $\frac{2x^2 + 3x + 1}{2x + 1} - x = 1$.
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$\frac{2x^2 + 3x + 1}{2x + 1} - x - 1 = 0$.
ОДЗ: $2x + 1 \neq 0 \implies 2x \neq -1 \implies x \neq -0.5$.
Приведем к общему знаменателю $(2x+1)$:
$\frac{2x^2 + 3x + 1 - x(2x + 1) - 1(2x + 1)}{2x + 1} = 0$
$\frac{2x^2 + 3x + 1 - (2x^2 + x) - (2x + 1)}{2x + 1} = 0$
$\frac{2x^2 + 3x + 1 - 2x^2 - x - 2x - 1}{2x + 1} = 0$
$\frac{(2x^2 - 2x^2) + (3x - x - 2x) + (1 - 1)}{2x + 1} = 0$
$\frac{0}{2x + 1} = 0$.
Данное равенство верно для всех $x$ из области допустимых значений.
Следовательно, решением является любое число, кроме $x = -0.5$.

Ответ: $x$ - любое число, кроме $-0,5$.

9) Дано уравнение: $\frac{4}{x - 1} - \frac{4}{x + 1} = 1$.
Перенесем 1 в левую часть:
$\frac{4}{x - 1} - \frac{4}{x + 1} - 1 = 0$.
ОДЗ: $x - 1 \neq 0$ и $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Общий знаменатель: $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$.
$\frac{4(x + 1) - 4(x - 1) - 1(x^2 - 1)}{x^2 - 1} = 0$.

Приравняем числитель к нулю:
$4(x + 1) - 4(x - 1) - (x^2 - 1) = 0$
$4x + 4 - 4x + 4 - x^2 + 1 = 0$
$-x^2 + 9 = 0$
$x^2 = 9$
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 1$).

Ответ: $x = -3; 3$.

209. Какое число нужно вычесть из числителя и знаменателя дроби $\frac{15}{19}$, чтобы получить дробь, равную $\frac{2}{3}$?

Обозначим искомое число через $x$. По условию задачи, мы должны вычесть это число из числителя и знаменателя дроби $\frac{15}{19}$ и в результате получить дробь $\frac{2}{3}$.

Это можно записать в виде уравнения:

$\frac{15 - x}{19 - x} = \frac{2}{3}$

Чтобы решить это уравнение, воспользуемся основным свойством пропорции, которое гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов (или, проще говоря, "умножим крест-накрест"):

$3 \cdot (15 - x) = 2 \cdot (19 - x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, умножив числа перед скобками на каждый член внутри скобок:

$3 \cdot 15 - 3 \cdot x = 2 \cdot 19 - 2 \cdot x$

$45 - 3x = 38 - 2x$

Теперь соберем все слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а все постоянные числа — в другой. Для этого перенесем $-3x$ в правую часть (знак изменится на "+"), а $38$ — в левую часть (знак изменится на "−"):

$45 - 38 = 3x - 2x$

Выполним вычитание в обеих частях:

$7 = x$

Таким образом, число, которое нужно вычесть, равно 7.

Сделаем проверку. Вычтем 7 из числителя и знаменателя исходной дроби:

Числитель: $15 - 7 = 8$

Знаменатель: $19 - 7 = 12$

Получилась дробь $\frac{8}{12}$. Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4:

$\frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$

Полученный результат соответствует условию задачи.

Ответ: 7.

210. Какое число нужно прибавить к числителю и знаменателю дроби $\frac{25}{32}$, чтобы получить дробь, равную $\frac{5}{6}$?

Обозначим неизвестное число через $x$. Согласно условию задачи, если прибавить это число к числителю и знаменателю исходной дроби $\frac{25}{32}$, то получится дробь, равная $\frac{5}{6}$. Составим уравнение на основе этого условия:

$\frac{25 + x}{32 + x} = \frac{5}{6}$

Это пропорция. Чтобы найти неизвестное $x$, мы можем использовать основное свойство пропорции, которое гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов (или, проще говоря, "перекрестное умножение"):

$6 \cdot (25 + x) = 5 \cdot (32 + x)$

Раскроем скобки, умножив число перед скобкой на каждое слагаемое внутри скобок:

$6 \cdot 25 + 6 \cdot x = 5 \cdot 32 + 5 \cdot x$

$150 + 6x = 160 + 5x$

Теперь сгруппируем слагаемые с $x$ в левой части уравнения, а свободные члены (числа) — в правой. Для этого вычтем $5x$ из обеих частей и вычтем 150 из обеих частей:

$6x - 5x = 160 - 150$

Выполним вычитание:

$x = 10$

Таким образом, искомое число равно 10.

Сделаем проверку. Прибавим 10 к числителю и знаменателю дроби $\frac{25}{32}$:

$\frac{25 + 10}{32 + 10} = \frac{35}{42}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 35 и 42 равен 7.

$\frac{35 \div 7}{42 \div 7} = \frac{5}{6}$

Результат совпадает с условием задачи, значит, решение верное.

Ответ: 10.