Страница 63 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

236. Представьте числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$, $\frac{1}{16}$, $\frac{1}{32}$, $\frac{1}{64}$ в виде степени с основанием:

1) 2;

2) $\frac{1}{2}$.

1)

Чтобы представить заданные числа в виде степени с основанием 2, необходимо найти такой показатель степени $n$, чтобы выполнялось равенство $2^n = \text{число}$. Мы будем использовать следующие свойства степени:

• Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1: $a^0 = 1$.
• Положительная целая степень $n$ — это число $a$, умноженное само на себя $n$ раз.
• Отрицательная целая степень определяется как $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Применим эти правила для основания $a=2$:

• $1 = 2^0$
• $2 = 2^1$
• $4 = 2 \times 2 = 2^2$
• $8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$
• $16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$
• $32 = 2^5$
• $64 = 2^6$
• $\frac{1}{2} = \frac{1}{2^1} = 2^{-1}$
• $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$
• $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$
• $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$
• $\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}$
• $\frac{1}{64} = \frac{1}{2^6} = 2^{-6}$

Ответ: $1=2^0$, $2=2^1$, $4=2^2$, $8=2^3$, $16=2^4$, $32=2^5$, $64=2^6$, $\frac{1}{2}=2^{-1}$, $\frac{1}{4}=2^{-2}$, $\frac{1}{8}=2^{-3}$, $\frac{1}{16}=2^{-4}$, $\frac{1}{32}=2^{-5}$, $\frac{1}{64}=2^{-6}$.

2)

Теперь представим те же числа в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$. Для этого воспользуемся свойством степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. В нашем случае, для основания $\frac{1}{2}$, это свойство выглядит так: $(\frac{1}{2})^{-n} = (\frac{2}{1})^n = 2^n$. Это означает, что если число можно представить как $2^n$, то его же можно представить как $(\frac{1}{2})^{-n}$. Показатель степени при основании $\frac{1}{2}$ будет противоположен показателю степени при основании 2.

Используем результаты из первого пункта:

• $1 = 2^0 = (\frac{1}{2})^0$
• $2 = 2^1 = (\frac{1}{2})^{-1}$
• $4 = 2^2 = (\frac{1}{2})^{-2}$
• $8 = 2^3 = (\frac{1}{2})^{-3}$
• $16 = 2^4 = (\frac{1}{2})^{-4}$
• $32 = 2^5 = (\frac{1}{2})^{-5}$
• $64 = 2^6 = (\frac{1}{2})^{-6}$
• $\frac{1}{2} = 2^{-1} = (\frac{1}{2})^{-(-1)} = (\frac{1}{2})^1$
• $\frac{1}{4} = 2^{-2} = (\frac{1}{2})^{-(-2)} = (\frac{1}{2})^2$
• $\frac{1}{8} = 2^{-3} = (\frac{1}{2})^{-(-3)} = (\frac{1}{2})^3$
• $\frac{1}{16} = 2^{-4} = (\frac{1}{2})^{-(-4)} = (\frac{1}{2})^4$
• $\frac{1}{32} = 2^{-5} = (\frac{1}{2})^{-(-5)} = (\frac{1}{2})^5$
• $\frac{1}{64} = 2^{-6} = (\frac{1}{2})^{-(-6)} = (\frac{1}{2})^6$

Ответ: $1=(\frac{1}{2})^0$, $2=(\frac{1}{2})^{-1}$, $4=(\frac{1}{2})^{-2}$, $8=(\frac{1}{2})^{-3}$, $16=(\frac{1}{2})^{-4}$, $32=(\frac{1}{2})^{-5}$, $64=(\frac{1}{2})^{-6}$, $\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^1$, $\frac{1}{4}=(\frac{1}{2})^2$, $\frac{1}{8}=(\frac{1}{2})^3$, $\frac{1}{16}=(\frac{1}{2})^4$, $\frac{1}{32}=(\frac{1}{2})^5$, $\frac{1}{64}=(\frac{1}{2})^6$.

237. Представьте в виде степени однозначного натурального числа дробь:

1) $ \frac{1}{49} $;

2) $ \frac{1}{216} $;

3) $ \frac{1}{625} $;

4) $ \frac{1}{128} $.

1) Представим дробь $\frac{1}{49}$ в виде степени. Знаменатель дроби, число $49$, является второй степенью однозначного натурального числа $7$, так как $7 \cdot 7 = 7^2 = 49$. Таким образом, мы можем переписать исходную дробь: $\frac{1}{49} = \frac{1}{7^2}$. Далее воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. В нашем случае $a=7$ и $n=2$. Следовательно, $\frac{1}{7^2} = 7^{-2}$. Ответ: $7^{-2}$

2) Представим дробь $\frac{1}{216}$ в виде степени. Найдем однозначное натуральное число, которое в некоторой степени равно $216$. Проверяя степени однозначных чисел, находим, что $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$. Число $6$ является однозначным натуральным числом. Тогда дробь можно записать в виде $\frac{1}{216} = \frac{1}{6^3}$. Применяя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, где $a=6$ и $n=3$, получаем: $\frac{1}{6^3} = 6^{-3}$. Ответ: $6^{-3}$

3) Представим дробь $\frac{1}{625}$ в виде степени. Необходимо найти однозначное натуральное число, степень которого равна $625$. Заметим, что число $625$ оканчивается на $5$, поэтому его основанием, скорее всего, является число $5$. Проверим: $5^2 = 25$, $5^3 = 125$, $5^4 = 625$. Итак, $625 = 5^4$. Число $5$ — однозначное натуральное. Таким образом, $\frac{1}{625} = \frac{1}{5^4}$. Используя правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ при $a=5$ и $n=4$, имеем $\frac{1}{5^4} = 5^{-4}$. Ответ: $5^{-4}$

4) Представим дробь $\frac{1}{128}$ в виде степени. Найдем однозначное натуральное число, которое в некоторой степени равно $128$. Будем проверять степени числа $2$: $2^1=2$, $2^2=4$, $2^3=8$, $2^4=16$, $2^5=32$, $2^6=64$, $2^7=128$. Мы нашли, что $128 = 2^7$. Число $2$ — это однозначное натуральное число. Значит, нашу дробь можно переписать как $\frac{1}{128} = \frac{1}{2^7}$. Применим свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, где $a=2$ и $n=7$. В результате получаем: $\frac{1}{2^7} = 2^{-7}$. Ответ: $2^{-7}$

238. Представьте в виде степени с основанием 10 число:

1) 0,1;

2) 0,01;

3) 0,0001;

4) 0,000001.

Для того чтобы представить десятичное число в виде степени с основанием 10, необходимо представить его в виде обыкновенной дроби и воспользоваться свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Показатель степени $n$ для десятичных дробей такого вида будет равен количеству знаков после запятой.

1) Представим число $0,1$ в виде обыкновенной дроби:
$0,1 = \frac{1}{10}$
Так как $10 = 10^1$, мы можем записать дробь как $\frac{1}{10^1}$.
Применив свойство степени с отрицательным показателем, получаем:
$\frac{1}{10^1} = 10^{-1}$
Ответ: $10^{-1}$

2) Представим число $0,01$ в виде обыкновенной дроби:
$0,01 = \frac{1}{100}$
Так как $100 = 10^2$, мы можем записать дробь как $\frac{1}{10^2}$.
Применив свойство степени с отрицательным показателем, получаем:
$\frac{1}{10^2} = 10^{-2}$
Ответ: $10^{-2}$

3) Представим число $0,0001$ в виде обыкновенной дроби. В этом числе 4 знака после запятой, поэтому:
$0,0001 = \frac{1}{10000}$
Так как $10000 = 10^4$, мы можем записать дробь как $\frac{1}{10^4}$.
Применив свойство степени с отрицательным показателем, получаем:
$\frac{1}{10^4} = 10^{-4}$
Ответ: $10^{-4}$

4) Представим число $0,000001$ в виде обыкновенной дроби. В этом числе 6 знаков после запятой, поэтому:
$0,000001 = \frac{1}{1000000}$
Так как $1000000 = 10^6$, мы можем записать дробь как $\frac{1}{10^6}$.
Применив свойство степени с отрицательным показателем, получаем:
$\frac{1}{10^6} = 10^{-6}$
Ответ: $10^{-6}$

239. Представьте числа 1, 3, 9, 27, 81, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{9}$, $\frac{1}{27}$, $\frac{1}{81}$ в виде степени с основанием:

1) 3;

2) $\frac{1}{3}$.

1) Чтобы представить данные числа в виде степени с основанием 3, необходимо найти, в какую степень нужно возвести число 3, чтобы получить каждое из заданных чисел. Мы будем использовать следующие свойства степеней:

• Любое число (кроме 0) в нулевой степени равно 1: $a^0 = 1$.
• Степень с отрицательным целым показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ (для $a \neq 0$).

Выполним преобразования для каждого числа:
$1 = 3^0$
$3 = 3^1$
$9 = 3 \times 3 = 3^2$
$27 = 3 \times 3 \times 3 = 3^3$
$81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$
$\frac{1}{3} = \frac{1}{3^1} = 3^{-1}$
$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$
$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$
$\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$

Ответ: $3^0, 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^{-1}, 3^{-2}, 3^{-3}, 3^{-4}$.

2) Теперь представим те же числа в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$. Мы будем использовать те же свойства, что и в первом пункте, а также свойство возведения дроби в отрицательную степень: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

Выполним преобразования для каждого числа:
$1 = (\frac{1}{3})^0$
$3 = \frac{3}{1} = (\frac{1}{3})^{-1}$
$9 = 3^2 = ((\frac{1}{3})^{-1})^2 = (\frac{1}{3})^{-2}$
$27 = 3^3 = ((\frac{1}{3})^{-1})^3 = (\frac{1}{3})^{-3}$
$81 = 3^4 = ((\frac{1}{3})^{-1})^4 = (\frac{1}{3})^{-4}$
$\frac{1}{3} = (\frac{1}{3})^1$
$\frac{1}{9} = \frac{1^2}{3^2} = (\frac{1}{3})^2$
$\frac{1}{27} = \frac{1^3}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$
$\frac{1}{81} = \frac{1^4}{3^4} = (\frac{1}{3})^4$

Ответ: $(\frac{1}{3})^0, (\frac{1}{3})^{-1}, (\frac{1}{3})^{-2}, (\frac{1}{3})^{-3}, (\frac{1}{3})^{-4}, (\frac{1}{3})^1, (\frac{1}{3})^2, (\frac{1}{3})^3, (\frac{1}{3})^4$.

240. Вычислите:

1) $5^{-2}$;

2) $2^{-4}$;

3) $(-9)^{-2}$;

4) $0,2^{-3}$;

5) $1^{-24}$;

6) $(-1)^{-16}$;

7) $(-1)^{-17}$;

8) $\left(\frac{7}{8}\right)^0$;

9) $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$;

10) $\left(-1 \frac{1}{6}\right)^{-2}$.

1) Для вычисления степени с отрицательным показателем используется свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, где $a \ne 0$.
$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Ответ: $\frac{1}{25}$.

2) Аналогично предыдущему примеру, применяем свойство степени с отрицательным показателем.
$2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.

3) При возведении отрицательного числа в степень с отрицательным показателем, сначала используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Затем возводим основание в степень. Так как показатель степени $2$ является четным числом, результат будет положительным.
$(-9)^{-2} = \frac{1}{(-9)^2} = \frac{1}{81}$.
Ответ: $\frac{1}{81}$.

4) Сначала представим десятичную дробь $0,2$ в виде обыкновенной дроби: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Для возведения дроби в отрицательную степень используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$0,2^{-3} = (\frac{1}{5})^{-3} = (\frac{5}{1})^3 = 5^3 = 125$.
Ответ: $125$.

5) Число $1$, возведенное в любую степень, равно $1$.
$1^{-24} = \frac{1}{1^{24}} = \frac{1}{1} = 1$.
Ответ: $1$.

6) Число $-1$, возведенное в четную степень, равно $1$.
$(-1)^{-16} = \frac{1}{(-1)^{16}} = \frac{1}{1} = 1$.
Ответ: $1$.

7) Число $-1$, возведенное в нечетную степень, равно $-1$.
$(-1)^{-17} = \frac{1}{(-1)^{17}} = \frac{1}{-1} = -1$.
Ответ: $-1$.

8) Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице, согласно свойству $a^0 = 1$ (при $a \ne 0$).
$(\frac{7}{8})^0 = 1$.
Ответ: $1$.

9) Используем свойство возведения дроби в отрицательную степень: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{2}{3})^{-3} = (\frac{3}{2})^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$.
Ответ: $\frac{27}{8}$.

10) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-1\frac{1}{6} = -(1+\frac{1}{6}) = -\frac{7}{6}$.
Теперь возведем полученную дробь в степень. Так как показатель степени $-2$ является четным, итоговый результат будет положительным.
$(-1\frac{1}{6})^{-2} = (-\frac{7}{6})^{-2} = (-\frac{6}{7})^{2} = \frac{(-6)^2}{7^2} = \frac{36}{49}$.
Ответ: $\frac{36}{49}$.

241. Найдите значение выражения:

1) $20^{-2}$;

3) $(-6)^{-3}$;

5) $(-\frac{1}{6})^{-3}$;

2) $0,3^{-1}$;

4) $(\frac{4}{7})^{-2}$;

6) $(3\frac{1}{3})^{-2}$.

1) Для вычисления значения выражения $20^{-2}$ воспользуемся определением степени с отрицательным целым показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ для любого числа $a \neq 0$ и натурального числа $n$.
Применяя это правило, получаем:
$20^{-2} = \frac{1}{20^2} = \frac{1}{20 \cdot 20} = \frac{1}{400}$.
Ответ: $\frac{1}{400}$.

2) Для вычисления $0,3^{-1}$ сначала представим десятичную дробь $0,3$ в виде обыкновенной дроби: $0,3 = \frac{3}{10}$.
Теперь применим свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, или, что удобнее для дробей, $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{3}{10})^{-1} = (\frac{10}{3})^1 = \frac{10}{3}$.
Ответ: $\frac{10}{3}$.

3) Для выражения $(-6)^{-3}$ используем то же правило, что и в первом пункте: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$(-6)^{-3} = \frac{1}{(-6)^3}$.
Так как показатель степени 3 — нечетное число, то при возведении отрицательного числа в эту степень результат будет отрицательным.
$(-6)^3 = (-6) \cdot (-6) \cdot (-6) = 36 \cdot (-6) = -216$.
Следовательно, $(-6)^{-3} = \frac{1}{-216} = -\frac{1}{216}$.
Ответ: $-\frac{1}{216}$.

4) Для вычисления $(\frac{4}{7})^{-2}$ воспользуемся свойством возведения дроби в отрицательную степень: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
Нужно "перевернуть" дробь и сделать показатель степени положительным:
$(\frac{4}{7})^{-2} = (\frac{7}{4})^2$.
Теперь возводим числитель и знаменатель в квадрат:
$(\frac{7}{4})^2 = \frac{7^2}{4^2} = \frac{49}{16}$.
Ответ: $\frac{49}{16}$.

5) В выражении $(-\frac{1}{6})^{-3}$ мы возводим отрицательную дробь в отрицательную степень. Сначала применим правило для отрицательной степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, сохранив знак:
$(-\frac{1}{6})^{-3} = (-\frac{6}{1})^3 = (-6)^3$.
Затем возводим $-6$ в куб. Поскольку степень нечетная (3), знак "минус" сохраняется:
$(-6)^3 = -216$.
Ответ: -216.

6) Чтобы найти значение выражения $(3 \frac{1}{3})^{-2}$, сначала преобразуем смешанное число $3 \frac{1}{3}$ в неправильную дробь:
$3 \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.
Теперь задача сводится к вычислению $(\frac{10}{3})^{-2}$.
Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{10}{3})^{-2} = (\frac{3}{10})^2$.
Возводим дробь в квадрат:
$(\frac{3}{10})^2 = \frac{3^2}{10^2} = \frac{9}{100}$.
Ответ: $\frac{9}{100}$.

242. Вычислите значение выражения:

1) $3^{-1} - 4^{-1}$;

2) $2^{-3} + 6^{-2}$;

3) $\left(\frac{2}{7}\right)^{-1} + (-2,3)^0 - 5^{-2}$;

4) $9 \cdot 0,1^{-1}$;

5) $0,5^{-2} \cdot 4^{-1}$;

6) $(2^{-1} - 8^{-1} \cdot 16)^{-1}$.

1) Для вычисления выражения $3^{-1} - 4^{-1}$ воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$
$4^{-1} = \frac{1}{4^1} = \frac{1}{4}$
Теперь выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю, равному 12:
$3^{-1} - 4^{-1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{12} - \frac{1 \cdot 3}{12} = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$.

2) Для вычисления выражения $2^{-3} + 6^{-2}$ используем то же свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
$6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$
Сложим полученные дроби. Наименьший общий знаменатель для 8 и 36 равен 72.
$2^{-3} + 6^{-2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{36} = \frac{1 \cdot 9}{72} + \frac{1 \cdot 2}{72} = \frac{9+2}{72} = \frac{11}{72}$.
Ответ: $\frac{11}{72}$.

3) Вычислим значение выражения $(\frac{2}{7})^{-1} + (-2,3)^0 - 5^{-2}$ по частям.
1. Для дроби в отрицательной степени используем правило $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{2}{7})^{-1} = (\frac{7}{2})^1 = \frac{7}{2} = 3,5$.
2. Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1:
$(-2,3)^0 = 1$.
3. Вычисляем степень с отрицательным показателем:
$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0,04$.
4. Складываем и вычитаем полученные значения:
$3,5 + 1 - 0,04 = 4,5 - 0,04 = 4,46$.
Ответ: $4,46$.

4) Вычислим значение выражения $9 \cdot 0,1^{-1}$.
Сначала преобразуем $0,1^{-1}$. Представим 0,1 в виде обыкновенной дроби: $0,1 = \frac{1}{10}$.
$0,1^{-1} = (\frac{1}{10})^{-1} = \frac{10}{1} = 10$.
Теперь выполним умножение:
$9 \cdot 10 = 90$.
Ответ: $90$.

5) Вычислим значение выражения $0,5^{-2} \cdot 4^{-1}$.
Преобразуем каждый множитель по отдельности.
$0,5^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$.
$4^{-1} = \frac{1}{4}$.
Теперь выполним умножение:
$4 \cdot \frac{1}{4} = 1$.
Ответ: $1$.

6) Вычислим значение выражения $(2^{-1} - 8^{-1} \cdot 16)^{-1}$.
Сначала выполним действия в скобках, соблюдая порядок операций (умножение, затем вычитание).
1. $8^{-1} \cdot 16 = \frac{1}{8} \cdot 16 = \frac{16}{8} = 2$.
2. $2^{-1} - 2 = \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{3}{2}$.
Теперь возведем результат в степень -1:
$(-\frac{3}{2})^{-1} = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $-\frac{2}{3}$.

243. Чему равно значение выражения:

1) $2^{-2} + 2^{-1}$;

2) $3^{-2} - 6^{-1}$;

3) $0,03^{0} + 0,7^{0}$;

4) $(9 \cdot 3^{-3} - 12^{-1})^{-1}$?

1) Для вычисления значения выражения $2^{-2} + 2^{-1}$ воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Преобразуем каждое слагаемое:

$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

$2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$

Теперь сложим полученные дроби, приведя их к общему знаменателю 4:

$ \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4} $

Ответ: $ \frac{3}{4} $

2) Для вычисления значения выражения $3^{-2} - 6^{-1}$ также используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Преобразуем уменьшаемое и вычитаемое:

$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

$6^{-1} = \frac{1}{6^1} = \frac{1}{6}$

Выполним вычитание, найдя общий знаменатель для дробей $\frac{1}{9}$ и $\frac{1}{6}$. Наименьший общий знаменатель равен 18.

$ \frac{1}{9} - \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{18} - \frac{1 \cdot 3}{18} = \frac{2}{18} - \frac{3}{18} = \frac{2-3}{18} = -\frac{1}{18} $

Ответ: $ -\frac{1}{18} $

3) Для вычисления значения выражения $0,03^0 + 0,7^0$ воспользуемся свойством степени с нулевым показателем: любое ненулевое число в степени 0 равно 1 ($a^0 = 1$ при $a \neq 0$).

$0,03^0 = 1$

$0,7^0 = 1$

Следовательно, выражение равно:

$1 + 1 = 2$

Ответ: $2$

4) Для вычисления значения выражения $(9 \cdot 3^{-3} - 12^{-1})^{-1}$ выполним действия по порядку: сначала в скобках, затем возведение в степень.

1. Вычислим значение выражения в скобках: $9 \cdot 3^{-3} - 12^{-1}$.

Сначала преобразуем $9 \cdot 3^{-3}$. Представим 9 как $3^2$ и воспользуемся свойством $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$9 \cdot 3^{-3} = 3^2 \cdot 3^{-3} = 3^{2+(-3)} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$

Теперь преобразуем $12^{-1}$:

$12^{-1} = \frac{1}{12}$

Выполним вычитание в скобках:

$ \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{4}{12} - \frac{1}{12} = \frac{4-1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $

2. Теперь возведем полученный результат в степень -1, используя свойство $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$.

$ (\frac{1}{4})^{-1} = \frac{4}{1} = 4 $

Ответ: $4$

244. Какое из данных чисел записано в стандартном виде:

1) $12 \cdot 10^4$,

2) $1,2 \cdot 10^4$,

3) $0,12 \cdot 10^4$?

Стандартным видом числа называется его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Проанализируем каждый из предложенных вариантов на соответствие этому правилу.

1) $12 \cdot 10^4$
В данном выражении первый множитель (мантисса) $a = 12$. Это значение не удовлетворяет условию $1 \le a < 10$, поскольку $12 \ge 10$. Следовательно, это число не записано в стандартном виде.
Ответ: не в стандартном виде.

2) $1,2 \cdot 10^4$
Здесь мантисса $a = 1,2$. Это значение удовлетворяет условию $1 \le 1,2 < 10$. Показатель степени (порядок) $n = 4$ является целым числом. Таким образом, это число записано в стандартном виде.
Ответ: в стандартном виде.

3) $0,12 \cdot 10^4$
В этом случае мантисса $a = 0,12$. Это значение не удовлетворяет условию $1 \le a < 10$, поскольку $0,12 < 1$. Следовательно, это число не записано в стандартном виде.
Ответ: не в стандартном виде.

245. Запишите число в стандартном виде и укажите порядок числа:

1) 3400;

2) 15;

3) 0,0046;

4) 0,000008;

5) 0,73;

6) $250 \cdot 10^2$;

7) $0,86 \cdot 10^3$;

8) $0,23 \cdot 10^4$;

9) $9300 \cdot 10^5$.

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Число $n$ называется порядком числа.

1) Чтобы записать число 3400 в стандартном виде, нужно представить его как произведение числа от 1 до 10 и степени числа 10. Переместим запятую, которая по умолчанию стоит в конце числа (3400,), на 3 знака влево, чтобы получить число 3,4. Так как мы переместили запятую на 3 знака влево, показатель степени $n$ будет равен 3. Таким образом, $3400 = 3,4 \cdot 10^3$. Порядок числа — это показатель степени $n$.
Ответ: Стандартный вид: $3,4 \cdot 10^3$, порядок числа: 3.

2) Для числа 15 переместим запятую на 1 знак влево, чтобы получить 1,5. Это соответствует умножению на $10^1$. Таким образом, $15 = 1,5 \cdot 10^1$. Порядок числа равен 1.
Ответ: Стандартный вид: $1,5 \cdot 10^1$, порядок числа: 1.

3) Для числа 0,0046 переместим запятую на 3 знака вправо, чтобы получить 4,6. Перемещение вправо на 3 знака соответствует умножению на $10^{-3}$. Таким образом, $0,0046 = 4,6 \cdot 10^{-3}$. Порядок числа равен -3.
Ответ: Стандартный вид: $4,6 \cdot 10^{-3}$, порядок числа: -3.

4) Для числа 0,000008 переместим запятую на 6 знаков вправо, чтобы получить 8. Это соответствует умножению на $10^{-6}$. Таким образом, $0,000008 = 8 \cdot 10^{-6}$. Порядок числа равен -6.
Ответ: Стандартный вид: $8 \cdot 10^{-6}$, порядок числа: -6.

5) Для числа 0,73 переместим запятую на 1 знак вправо, чтобы получить 7,3. Это соответствует умножению на $10^{-1}$. Таким образом, $0,73 = 7,3 \cdot 10^{-1}$. Порядок числа равен -1.
Ответ: Стандартный вид: $7,3 \cdot 10^{-1}$, порядок числа: -1.

6) Сначала приведем число 250 к стандартному виду: $250 = 2,5 \cdot 10^2$. Теперь подставим это выражение в исходное: $250 \cdot 10^2 = (2,5 \cdot 10^2) \cdot 10^2$. Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели: $2,5 \cdot 10^{2+2} = 2,5 \cdot 10^4$. Порядок числа равен 4.
Ответ: Стандартный вид: $2,5 \cdot 10^4$, порядок числа: 4.

7) Приведем число 0,86 к стандартному виду: $0,86 = 8,6 \cdot 10^{-1}$. Подставим в исходное выражение: $0,86 \cdot 10^3 = (8,6 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^3$. Сложим показатели степеней: $8,6 \cdot 10^{-1+3} = 8,6 \cdot 10^2$. Порядок числа равен 2.
Ответ: Стандартный вид: $8,6 \cdot 10^2$, порядок числа: 2.

8) Приведем число 0,23 к стандартному виду: $0,23 = 2,3 \cdot 10^{-1}$. Подставим в исходное выражение: $0,23 \cdot 10^4 = (2,3 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^4$. Сложим показатели степеней: $2,3 \cdot 10^{-1+4} = 2,3 \cdot 10^3$. Порядок числа равен 3.
Ответ: Стандартный вид: $2,3 \cdot 10^3$, порядок числа: 3.

9) Приведем число 9300 к стандартному виду: $9300 = 9,3 \cdot 10^3$. Подставим в исходное выражение: $9300 \cdot 10^5 = (9,3 \cdot 10^3) \cdot 10^5$. Сложим показатели степеней: $9,3 \cdot 10^{3+5} = 9,3 \cdot 10^8$. Порядок числа равен 8.
Ответ: Стандартный вид: $9,3 \cdot 10^8$, порядок числа: 8.

246. Запишите числовые значения величин в стандартном виде:

1) скорость света в вакууме равна $300\,000 \text{ км/с}$;

2) длина реки Лена, самой протяжённой реки России, равна $4400 \text{ км}$;

3) площадь озера Байкал составляет $32\,000 \text{ км}^2$;

4) расстояние от Земли до Солнца составляет $149,6 \text{ млн км}$;

5) атмосферное давление на высоте 100 км составляет $0,032 \text{ Па}$;

6) диаметр молекулы воды равен $0,00000028 \text{ мм}$.

1) Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Для того чтобы записать число 300 000 в стандартном виде, необходимо представить его как произведение числа от 1 до 10 и степени числа 10.
$300 000 = 3 \cdot 100 000$.
Поскольку $100 000 = 10^5$, то стандартный вид числа будет:
$300 000 \text{ км/с} = 3 \cdot 10^5 \text{ км/с}$.
Ответ: $3 \cdot 10^5$ км/с.

2) Для числа 4400 км необходимо переместить запятую влево на 3 позиции, чтобы получить число 4,4, которое удовлетворяет условию $1 \le a < 10$. Количество позиций, на которые была сдвинута запятая, будет показателем степени числа 10.
$4400 = 4,4 \cdot 1000 = 4,4 \cdot 10^3$.
Длина реки Лена в стандартном виде: $4,4 \cdot 10^3$ км.
Ответ: $4,4 \cdot 10^3$ км.

3) Чтобы представить число 32 000 км² в стандартном виде, сдвигаем запятую влево на 4 позиции, чтобы получить число 3,2.
$32 000 = 3,2 \cdot 10 000 = 3,2 \cdot 10^4$.
Площадь озера Байкал в стандартном виде: $3,2 \cdot 10^4$ км².
Ответ: $3,2 \cdot 10^4$ км².

4) Сначала запишем число 149,6 млн км в числовом виде. Один миллион равен $1 000 000$ или $10^6$.
$149,6 \text{ млн км} = 149,6 \cdot 1 000 000 \text{ км} = 149 600 000 \text{ км}$.
Теперь запишем это число в стандартном виде. Переместим запятую влево на 8 позиций, чтобы получить 1,496.
$149 600 000 = 1,496 \cdot 100 000 000 = 1,496 \cdot 10^8$.
Расстояние от Земли до Солнца в стандартном виде: $1,496 \cdot 10^8$ км.
Ответ: $1,496 \cdot 10^8$ км.

5) Для числа 0,032 Па, которое меньше единицы, показатель степени 10 будет отрицательным. Переместим запятую вправо на 2 позиции, чтобы получить число 3,2.
$0,032 = 3,2 \cdot 0,01 = 3,2 \cdot 10^{-2}$.
Атмосферное давление на высоте 100 км в стандартном виде: $3,2 \cdot 10^{-2}$ Па.
Ответ: $3,2 \cdot 10^{-2}$ Па.

6) Для числа 0,00000028 мм, переместим запятую вправо на 7 позиций, чтобы получить число 2,8. Так как запятая смещалась вправо, показатель степени будет отрицательным и равным количеству смещений.
$0,00000028 = 2,8 \cdot 0,0000001 = 2,8 \cdot 10^{-7}$.
Диаметр молекулы воды в стандартном виде: $2,8 \cdot 10^{-7}$ мм.
Ответ: $2,8 \cdot 10^{-7}$ мм.