Номер 241, страница 63 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 8. Степень с целым отрицательным показателем. Упражнения - номер 241, страница 63.

Условие.

241. Найдите значение выражения:

1) $20^{-2}$;

3) $(-6)^{-3}$;

5) $(-\frac{1}{6})^{-3}$;

2) $0,3^{-1}$;

4) $(\frac{4}{7})^{-2}$;

6) $(3\frac{1}{3})^{-2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для вычисления значения выражения $20^{-2}$ воспользуемся определением степени с отрицательным целым показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ для любого числа $a \neq 0$ и натурального числа $n$.
Применяя это правило, получаем:
$20^{-2} = \frac{1}{20^2} = \frac{1}{20 \cdot 20} = \frac{1}{400}$.
Ответ: $\frac{1}{400}$.

2) Для вычисления $0,3^{-1}$ сначала представим десятичную дробь $0,3$ в виде обыкновенной дроби: $0,3 = \frac{3}{10}$.
Теперь применим свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, или, что удобнее для дробей, $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{3}{10})^{-1} = (\frac{10}{3})^1 = \frac{10}{3}$.
Ответ: $\frac{10}{3}$.

3) Для выражения $(-6)^{-3}$ используем то же правило, что и в первом пункте: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$(-6)^{-3} = \frac{1}{(-6)^3}$.
Так как показатель степени 3 — нечетное число, то при возведении отрицательного числа в эту степень результат будет отрицательным.
$(-6)^3 = (-6) \cdot (-6) \cdot (-6) = 36 \cdot (-6) = -216$.
Следовательно, $(-6)^{-3} = \frac{1}{-216} = -\frac{1}{216}$.
Ответ: $-\frac{1}{216}$.

4) Для вычисления $(\frac{4}{7})^{-2}$ воспользуемся свойством возведения дроби в отрицательную степень: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
Нужно "перевернуть" дробь и сделать показатель степени положительным:
$(\frac{4}{7})^{-2} = (\frac{7}{4})^2$.
Теперь возводим числитель и знаменатель в квадрат:
$(\frac{7}{4})^2 = \frac{7^2}{4^2} = \frac{49}{16}$.
Ответ: $\frac{49}{16}$.

5) В выражении $(-\frac{1}{6})^{-3}$ мы возводим отрицательную дробь в отрицательную степень. Сначала применим правило для отрицательной степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, сохранив знак:
$(-\frac{1}{6})^{-3} = (-\frac{6}{1})^3 = (-6)^3$.
Затем возводим $-6$ в куб. Поскольку степень нечетная (3), знак "минус" сохраняется:
$(-6)^3 = -216$.
Ответ: -216.

6) Чтобы найти значение выражения $(3 \frac{1}{3})^{-2}$, сначала преобразуем смешанное число $3 \frac{1}{3}$ в неправильную дробь:
$3 \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.
Теперь задача сводится к вычислению $(\frac{10}{3})^{-2}$.
Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{10}{3})^{-2} = (\frac{3}{10})^2$.
Возводим дробь в квадрат:
$(\frac{3}{10})^2 = \frac{3^2}{10^2} = \frac{9}{100}$.
Ответ: $\frac{9}{100}$.