Номер 242, страница 63 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 8. Степень с целым отрицательным показателем. Упражнения - номер 242, страница 63.

Условие.

242. Вычислите значение выражения:

1) $3^{-1} - 4^{-1}$;

2) $2^{-3} + 6^{-2}$;

3) $\left(\frac{2}{7}\right)^{-1} + (-2,3)^0 - 5^{-2}$;

4) $9 \cdot 0,1^{-1}$;

5) $0,5^{-2} \cdot 4^{-1}$;

6) $(2^{-1} - 8^{-1} \cdot 16)^{-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для вычисления выражения $3^{-1} - 4^{-1}$ воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$
$4^{-1} = \frac{1}{4^1} = \frac{1}{4}$
Теперь выполним вычитание дробей, приведя их к общему знаменателю, равному 12:
$3^{-1} - 4^{-1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{12} - \frac{1 \cdot 3}{12} = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$.

2) Для вычисления выражения $2^{-3} + 6^{-2}$ используем то же свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
$6^{-2} = \frac{1}{6^2} = \frac{1}{36}$
Сложим полученные дроби. Наименьший общий знаменатель для 8 и 36 равен 72.
$2^{-3} + 6^{-2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{36} = \frac{1 \cdot 9}{72} + \frac{1 \cdot 2}{72} = \frac{9+2}{72} = \frac{11}{72}$.
Ответ: $\frac{11}{72}$.

3) Вычислим значение выражения $(\frac{2}{7})^{-1} + (-2,3)^0 - 5^{-2}$ по частям.
1. Для дроби в отрицательной степени используем правило $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{2}{7})^{-1} = (\frac{7}{2})^1 = \frac{7}{2} = 3,5$.
2. Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1:
$(-2,3)^0 = 1$.
3. Вычисляем степень с отрицательным показателем:
$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0,04$.
4. Складываем и вычитаем полученные значения:
$3,5 + 1 - 0,04 = 4,5 - 0,04 = 4,46$.
Ответ: $4,46$.

4) Вычислим значение выражения $9 \cdot 0,1^{-1}$.
Сначала преобразуем $0,1^{-1}$. Представим 0,1 в виде обыкновенной дроби: $0,1 = \frac{1}{10}$.
$0,1^{-1} = (\frac{1}{10})^{-1} = \frac{10}{1} = 10$.
Теперь выполним умножение:
$9 \cdot 10 = 90$.
Ответ: $90$.

5) Вычислим значение выражения $0,5^{-2} \cdot 4^{-1}$.
Преобразуем каждый множитель по отдельности.
$0,5^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$.
$4^{-1} = \frac{1}{4}$.
Теперь выполним умножение:
$4 \cdot \frac{1}{4} = 1$.
Ответ: $1$.

6) Вычислим значение выражения $(2^{-1} - 8^{-1} \cdot 16)^{-1}$.
Сначала выполним действия в скобках, соблюдая порядок операций (умножение, затем вычитание).
1. $8^{-1} \cdot 16 = \frac{1}{8} \cdot 16 = \frac{16}{8} = 2$.
2. $2^{-1} - 2 = \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{3}{2}$.
Теперь возведем результат в степень -1:
$(-\frac{3}{2})^{-1} = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $-\frac{2}{3}$.