Номер 236, страница 63 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 8. Степень с целым отрицательным показателем. Глава 1. Рациональные выражения - номер 236, страница 63.

Условие.

236. Представьте числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$, $\frac{1}{16}$, $\frac{1}{32}$, $\frac{1}{64}$ в виде степени с основанием:

1) 2;

2) $\frac{1}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Чтобы представить заданные числа в виде степени с основанием 2, необходимо найти такой показатель степени $n$, чтобы выполнялось равенство $2^n = \text{число}$. Мы будем использовать следующие свойства степени:

• Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1: $a^0 = 1$.
• Положительная целая степень $n$ — это число $a$, умноженное само на себя $n$ раз.
• Отрицательная целая степень определяется как $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Применим эти правила для основания $a=2$:

• $1 = 2^0$
• $2 = 2^1$
• $4 = 2 \times 2 = 2^2$
• $8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$
• $16 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$
• $32 = 2^5$
• $64 = 2^6$
• $\frac{1}{2} = \frac{1}{2^1} = 2^{-1}$
• $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$
• $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$
• $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$
• $\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}$
• $\frac{1}{64} = \frac{1}{2^6} = 2^{-6}$

Ответ: $1=2^0$, $2=2^1$, $4=2^2$, $8=2^3$, $16=2^4$, $32=2^5$, $64=2^6$, $\frac{1}{2}=2^{-1}$, $\frac{1}{4}=2^{-2}$, $\frac{1}{8}=2^{-3}$, $\frac{1}{16}=2^{-4}$, $\frac{1}{32}=2^{-5}$, $\frac{1}{64}=2^{-6}$.

2)

Теперь представим те же числа в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$. Для этого воспользуемся свойством степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. В нашем случае, для основания $\frac{1}{2}$, это свойство выглядит так: $(\frac{1}{2})^{-n} = (\frac{2}{1})^n = 2^n$. Это означает, что если число можно представить как $2^n$, то его же можно представить как $(\frac{1}{2})^{-n}$. Показатель степени при основании $\frac{1}{2}$ будет противоположен показателю степени при основании 2.

Используем результаты из первого пункта:

• $1 = 2^0 = (\frac{1}{2})^0$
• $2 = 2^1 = (\frac{1}{2})^{-1}$
• $4 = 2^2 = (\frac{1}{2})^{-2}$
• $8 = 2^3 = (\frac{1}{2})^{-3}$
• $16 = 2^4 = (\frac{1}{2})^{-4}$
• $32 = 2^5 = (\frac{1}{2})^{-5}$
• $64 = 2^6 = (\frac{1}{2})^{-6}$
• $\frac{1}{2} = 2^{-1} = (\frac{1}{2})^{-(-1)} = (\frac{1}{2})^1$
• $\frac{1}{4} = 2^{-2} = (\frac{1}{2})^{-(-2)} = (\frac{1}{2})^2$
• $\frac{1}{8} = 2^{-3} = (\frac{1}{2})^{-(-3)} = (\frac{1}{2})^3$
• $\frac{1}{16} = 2^{-4} = (\frac{1}{2})^{-(-4)} = (\frac{1}{2})^4$
• $\frac{1}{32} = 2^{-5} = (\frac{1}{2})^{-(-5)} = (\frac{1}{2})^5$
• $\frac{1}{64} = 2^{-6} = (\frac{1}{2})^{-(-6)} = (\frac{1}{2})^6$

Ответ: $1=(\frac{1}{2})^0$, $2=(\frac{1}{2})^{-1}$, $4=(\frac{1}{2})^{-2}$, $8=(\frac{1}{2})^{-3}$, $16=(\frac{1}{2})^{-4}$, $32=(\frac{1}{2})^{-5}$, $64=(\frac{1}{2})^{-6}$, $\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^1$, $\frac{1}{4}=(\frac{1}{2})^2$, $\frac{1}{8}=(\frac{1}{2})^3$, $\frac{1}{16}=(\frac{1}{2})^4$, $\frac{1}{32}=(\frac{1}{2})^5$, $\frac{1}{64}=(\frac{1}{2})^6$.