Страница 67 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

267. Дима ходит из дома на стадион пешком со скоростью 4 км/ч. Если он поедет на стадион на велосипеде со скоростью 12 км/ч, то приедет на 20 мин раньше, чем обычно. На каком расстоянии от дома Димы находится стадион?

Для решения задачи обозначим искомое расстояние от дома до стадиона как $S$ (в километрах).

Скорость Димы пешком составляет $v_1 = 4$ км/ч.

Скорость Димы на велосипеде составляет $v_2 = 12$ км/ч.

Время, которое Дима тратит на путь пешком, можно выразить формулой $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{4}$ часа.

Время, которое Дима тратит на путь на велосипеде, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{12}$ часа.

Из условия задачи известно, что на велосипеде Дима приезжает на 20 минут раньше, чем пешком. Это означает, что время в пути пешком больше времени в пути на велосипеде на 20 минут. Переведем разницу во времени в часы, так как скорость дана в км/ч:

$20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ часа} = \frac{1}{3} \text{ часа}$

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв разницу во времени к $\frac{1}{3}$ часа:

$t_1 - t_2 = \frac{1}{3}$

$\frac{S}{4} - \frac{S}{12} = \frac{1}{3}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю, который равен 12:

$\frac{3 \cdot S}{12} - \frac{S}{12} = \frac{1}{3}$

$\frac{3S - S}{12} = \frac{1}{3}$

$\frac{2S}{12} = \frac{1}{3}$

Сократим дробь в левой части уравнения:

$\frac{S}{6} = \frac{1}{3}$

Чтобы найти $S$, умножим обе части уравнения на 6:

$S = \frac{1}{3} \cdot 6$

$S = \frac{6}{3}$

$S = 2$

Таким образом, расстояние от дома до стадиона составляет 2 км.

Ответ: 2 км.

268. Упростите выражение

$\frac{2a^2 + 2}{a^2 - 1} - \frac{a + 1}{a - 1} + \frac{3a - 3}{2a + 2}$

Для того чтобы упростить данное алгебраическое выражение, необходимо последовательно выполнить следующие шаги: разложить на множители числители и знаменатели дробей, найти общий знаменатель, привести дроби к этому знаменателю, выполнить сложение и вычитание дробей, и в конце сократить полученный результат.

Исходное выражение:

$$ \frac{2a^2 + 2}{a^2 - 1} - \frac{a+1}{a-1} + \frac{3a-3}{2a+2} $$

Сначала разложим на множители числители и знаменатели каждой дроби, где это возможно. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и вынесение общего множителя за скобки.

• Первая дробь: $ \frac{2a^2 + 2}{a^2 - 1} = \frac{2(a^2 + 1)}{(a-1)(a+1)} $
• Вторая дробь: $ \frac{a+1}{a-1} $ (остается без изменений)
• Третья дробь: $ \frac{3a-3}{2a+2} = \frac{3(a-1)}{2(a+1)} $

После преобразований выражение принимает вид:

$$ \frac{2(a^2 + 1)}{(a-1)(a+1)} - \frac{a+1}{a-1} + \frac{3(a-1)}{2(a+1)} $$

Теперь найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для дробей. Знаменатели у нас: $(a-1)(a+1)$, $(a-1)$ и $2(a+1)$. Наименьший общий знаменатель будет произведением всех уникальных множителей в их наивысшей степени, то есть $2(a-1)(a+1)$.

Приведем каждую дробь к общему знаменателю, домножив на соответствующий дополнительный множитель:

• Для первой дроби дополнительный множитель равен 2: $ \frac{2(a^2 + 1) \cdot 2}{2(a-1)(a+1)} = \frac{4a^2 + 4}{2(a-1)(a+1)} $.
• Для второй дроби дополнительный множитель равен $2(a+1)$: $ \frac{(a+1) \cdot 2(a+1)}{(a-1) \cdot 2(a+1)} = \frac{2(a+1)^2}{2(a-1)(a+1)} = \frac{2(a^2+2a+1)}{2(a-1)(a+1)} = \frac{2a^2+4a+2}{2(a-1)(a+1)} $.
• Для третьей дроби дополнительный множитель равен $(a-1)$: $ \frac{3(a-1) \cdot (a-1)}{2(a+1) \cdot (a-1)} = \frac{3(a-1)^2}{2(a-1)(a+1)} = \frac{3(a^2-2a+1)}{2(a-1)(a+1)} = \frac{3a^2-6a+3}{2(a-1)(a+1)} $.

Теперь выполним операции сложения и вычитания с полученными дробями, объединив их под общим знаменателем:

$$ \frac{(4a^2 + 4) - (2a^2 + 4a + 2) + (3a^2 - 6a + 3)}{2(a-1)(a+1)} $$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$ \frac{4a^2 + 4 - 2a^2 - 4a - 2 + 3a^2 - 6a + 3}{2(a-1)(a+1)} = \frac{(4a^2 - 2a^2 + 3a^2) + (-4a - 6a) + (4 - 2 + 3)}{2(a-1)(a+1)} $$

$$ \frac{5a^2 - 10a + 5}{2(a-1)(a+1)} $$

Упростим числитель, вынеся общий множитель 5 и использовав формулу квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:

$$ 5a^2 - 10a + 5 = 5(a^2 - 2a + 1) = 5(a-1)^2 $$

Подставим полученное выражение обратно в дробь:

$$ \frac{5(a-1)^2}{2(a-1)(a+1)} $$

Сократим дробь на общий множитель $(a-1)$, при условии, что $ a \neq 1 $ и $ a \neq -1 $:

$$ \frac{5(a-1)}{2(a+1)} $$

Ответ: $ \frac{5(a-1)}{2(a+1)} $

269. Можно ли утверждать, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(5n + 6.5)^2 - (2n + 0.5)^2$ кратно 42?

Чтобы проверить утверждение, необходимо упростить данное выражение. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Пусть $a = 5n + 6,5$ и $b = 2n + 0,5$. Тогда:

$(5n + 6,5)^2 - (2n + 0,5)^2 = ((5n + 6,5) - (2n + 0,5)) \cdot ((5n + 6,5) + (2n + 0,5))$

Упростим каждое выражение в скобках:

Первая скобка: $5n + 6,5 - 2n - 0,5 = 3n + 6$

Вторая скобка: $5n + 6,5 + 2n + 0,5 = 7n + 7$

Теперь исходное выражение равно произведению полученных результатов:

$(3n + 6)(7n + 7)$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

$3(n + 2) \cdot 7(n + 1)$

Перемножим числовые коэффициенты:

$21(n + 1)(n + 2)$

Нам нужно доказать, что это выражение кратно 42 для любого натурального $n$. Число 42 можно представить как $42 = 21 \cdot 2$. Наше выражение уже содержит множитель 21. Следовательно, для того чтобы доказать кратность 42, нам нужно доказать, что произведение $(n + 1)(n + 2)$ кратно 2.

Выражение $(n + 1)(n + 2)$ представляет собой произведение двух последовательных натуральных чисел. Поскольку $n$ — натуральное число, то из двух последовательных чисел $n + 1$ и $n + 2$ одно всегда будет четным. Если $n$ — нечетное, то $n+1$ — четное. Если $n$ — четное, то $n+2$ — четное. Произведение любого целого числа на четное число всегда является четным, то есть делится на 2.

Таким образом, $(n + 1)(n + 2)$ всегда кратно 2. Это означает, что выражение $21(n + 1)(n + 2)$ всегда кратно $21 \cdot 2$, то есть кратно 42.

Ответ: да, можно утверждать, что при любом натуральном $n$ значение выражения кратно 42.

270. Представьте в виде степени с основанием $a$ выражение:

1) $a^7 \cdot a^5;$

2) $a^7 : a^5;$

3) $(a^7)^5;$

4) $\frac{(a^3)^6 \cdot a^4}{a^{16}}.$

1) Для того чтобы представить произведение степеней с одинаковым основанием в виде одной степени, необходимо сложить их показатели. Это свойство степеней записывается формулой: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Применим это свойство к данному выражению:

$a^7 \cdot a^5 = a^{7+5} = a^{12}$.

Ответ: $a^{12}$

2) Чтобы представить частное степеней с одинаковым основанием в виде одной степени, необходимо из показателя делимого вычесть показатель делителя. Свойство выглядит так: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Применим это свойство к данному выражению:

$a^7 : a^5 = a^{7-5} = a^2$.

Ответ: $a^2$

3) При возведении степени в степень основание остается тем же, а показатели перемножаются. Это свойство записывается формулой: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Применим это свойство к данному выражению:

$(a^7)^5 = a^{7 \cdot 5} = a^{35}$.

Ответ: $a^{35}$

4) Для решения этого примера необходимо последовательно применить несколько свойств степеней.

Исходное выражение: $\frac{(a^3)^6 \cdot a^4}{a^{16}}$.

Шаг 1: Упростим числитель. Сначала возведем степень в степень, используя правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(a^3)^6 = a^{3 \cdot 6} = a^{18}$.

Шаг 2: Теперь числитель имеет вид $a^{18} \cdot a^4$. Умножим степени, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$a^{18} \cdot a^4 = a^{18+4} = a^{22}$.

Шаг 3: Теперь все выражение выглядит как $\frac{a^{22}}{a^{16}}$. Выполним деление степеней, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{a^{22}}{a^{16}} = a^{22-16} = a^6$.

Ответ: $a^6$

271. Упростите выражение:

1) $-4m^3n^5 \cdot 5m^4n^2$

2) $(-2m^7n^2)^4$

3) $8x^3y^4 \cdot \left(-\frac{1}{2}x^2y^5\right)^3$

1) Чтобы упростить произведение одночленов $-4m^3n^5 \cdot 5m^4n^2$, необходимо сгруппировать и перемножить числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.

Сначала перемножаем числовые коэффициенты:

$-4 \cdot 5 = -20$

Затем, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^x \cdot a^y = a^{x+y}$), перемножаем степени переменной $m$:

$m^3 \cdot m^4 = m^{3+4} = m^7$

Аналогично для переменной $n$:

$n^5 \cdot n^2 = n^{5+2} = n^7$

Собираем полученные результаты вместе, чтобы получить итоговый одночлен:

$-20m^7n^7$

Ответ: $-20m^7n^7$

2) Для упрощения выражения $(-2m^7n^2)^4$ необходимо возвести в четвертую степень каждый множитель, находящийся в скобках. Используем свойство возведения произведения в степень $(abc)^k = a^k b^k c^k$.

Возводим в степень числовой коэффициент:

$(-2)^4 = 16$

Затем, используя свойство возведения степени в степень $(a^x)^y = a^{xy}$, возводим в степень переменные:

$(m^7)^4 = m^{7 \cdot 4} = m^{28}$

$(n^2)^4 = n^{2 \cdot 4} = n^8$

Объединяем все части:

$16m^{28}n^8$

Ответ: $16m^{28}n^8$

3) Чтобы упростить выражение $8x^3y^4 \cdot (-\frac{1}{2}x^2y^5)^3$, начнем с возведения второго множителя в куб.

Возводим в куб одночлен в скобках, применяя правило возведения произведения в степень, а затем правило возведения степени в степень:

$(-\frac{1}{2}x^2y^5)^3 = (-\frac{1}{2})^3 \cdot (x^2)^3 \cdot (y^5)^3 = -\frac{1}{8} \cdot x^{2 \cdot 3} \cdot y^{5 \cdot 3} = -\frac{1}{8}x^6y^{15}$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$8x^3y^4 \cdot (-\frac{1}{8}x^6y^{15})$

Теперь перемножим полученные одночлены. Сначала перемножим коэффициенты:

$8 \cdot (-\frac{1}{8}) = -1$

Затем перемножим степени с одинаковыми основаниями:

$x^3 \cdot x^6 = x^{3+6} = x^9$

$y^4 \cdot y^{15} = y^{4+15} = y^{19}$

Соединяем все части вместе. Коэффициент -1 обычно не пишется, остается только знак "минус":

$-x^9y^{19}$

Ответ: $-x^9y^{19}$

272. Найдите значение выражения:

1) $ \frac{3^{10} \cdot 27^3}{9^9} $;

2) $ \left(5 \frac{1}{3}\right)^7 \cdot \left(\frac{3}{16}\right)^8 $.

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{3^{10} \cdot 27^3}{9^9}$, представим числа 27 и 9 в виде степеней числа 3.
Поскольку $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$, мы можем переписать выражение:
$\frac{3^{10} \cdot (3^3)^3}{(3^2)^9}$
Теперь воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
В числителе: $(3^3)^3 = 3^{3 \cdot 3} = 3^9$
В знаменателе: $(3^2)^9 = 3^{2 \cdot 9} = 3^{18}$
Подставим полученные значения обратно в дробь:
$\frac{3^{10} \cdot 3^9}{3^{18}}$
Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ в числителе:
$3^{10} \cdot 3^9 = 3^{10+9} = 3^{19}$
Выражение принимает вид:
$\frac{3^{19}}{3^{18}}$
Наконец, применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$3^{19-18} = 3^1 = 3$
Ответ: 3

2) Чтобы найти значение выражения $(5\frac{1}{3})^7 \cdot (\frac{3}{16})^8$, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$(\frac{16}{3})^7 \cdot (\frac{3}{16})^8$
Раскроем скобки, используя свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:
$\frac{16^7}{3^7} \cdot \frac{3^8}{16^8}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{16^7}{16^8} \cdot \frac{3^8}{3^7}$
Теперь применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для каждой дроби:
$16^{7-8} \cdot 3^{8-7} = 16^{-1} \cdot 3^1$
Используя свойство $a^{-1} = \frac{1}{a}$, получаем:
$\frac{1}{16} \cdot 3 = \frac{3}{16}$
Ответ: $\frac{3}{16}$

273. В некотором доме живут только супружеские пары с маленькими детьми, причём у каждого мальчика есть сестра и мальчиков больше, чем девочек. Может ли взрослых быть больше, чем детей?

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:

• $N$ — количество супружеских пар (семей) в доме.
• $A$ — общее количество взрослых.
• $M$ — общее количество мальчиков.
• $D$ — общее количество девочек.
• $C$ — общее количество детей.

Исходя из условий задачи, мы можем записать следующие соотношения:

1. В доме живут только супружеские пары, поэтому количество взрослых равно удвоенному количеству семей: $A = 2N$.

2. Общее количество детей — это сумма мальчиков и девочек: $C = M + D$.

3. Мальчиков больше, чем девочек: $M > D$. Поскольку количество детей — целое число, это неравенство можно записать как $M \ge D + 1$.

Теперь проанализируем ключевое условие: у каждого мальчика есть сестра.

Это означает, что в любой семье, где есть хотя бы один мальчик, обязательно должна быть хотя бы одна девочка. Следовательно, в доме не может быть семей, состоящих только из родителей и сыновей. Каждая семья в доме относится к одному из двух типов:

• Семьи, в которых есть и мальчики, и девочки.
• Семьи, в которых есть только девочки.

Из этого следует, что в каждой семье в доме есть как минимум одна девочка. Если в доме $N$ семей, и в каждой из них есть по крайней мере одна девочка, то общее количество девочек $D$ не может быть меньше, чем количество семей $N$. Таким образом, мы получаем важное неравенство:

$D \ge N$

Теперь давайте оценим общее количество детей $C$, используя полученные неравенства.

Мы знаем, что $C = M + D$.

Так как $M \ge D + 1$, мы можем подставить это в формулу для $C$:

$C \ge (D + 1) + D = 2D + 1$

Мы также установили, что $D \ge N$. Подставим это в предыдущее неравенство:

$C \ge 2D + 1 \ge 2N + 1$

Итак, мы доказали, что общее число детей $C$ всегда не меньше, чем $2N + 1$.

Теперь сравним количество взрослых $A$ и количество детей $C$:

Количество взрослых: $A = 2N$

Минимальное количество детей: $C \ge 2N + 1$

Сравнивая эти два значения, мы видим, что $C$ всегда строго больше, чем $A$ ($2N + 1 > 2N$).

Таким образом, количество детей при заданных условиях всегда будет больше количества взрослых.

Ответ: Нет, не может. При заданных условиях количество детей всегда будет больше, чем количество взрослых.