Страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

304. Для откачивания воды из затопленного помещения были задействованы три насоса. Первый из них может выкачать всю воду за 12 ч, второй – за 15 ч, а третий – за 20 ч. Сначала в течение 3 ч работали первый и второй насосы, а затем подключили третий насос. За какое время была откачана вся вода?

Для решения задачи примем весь объем воды в затопленном помещении за 1 единицу.

1. Определим производительность (скорость откачивания) каждого насоса. Производительность — это часть всего объема воды, которую насос может откачать за 1 час.

• Производительность первого насоса: $v_1 = \frac{1}{12}$ объема/час.
• Производительность второго насоса: $v_2 = \frac{1}{15}$ объема/час.
• Производительность третьего насоса: $v_3 = \frac{1}{20}$ объема/час.

2. В течение первых 3 часов работали первый и второй насосы. Найдем их совместную производительность, сложив их индивидуальные производительности:

$v_{1+2} = v_1 + v_2 = \frac{1}{12} + \frac{1}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю 60:

$v_{1+2} = \frac{5}{60} + \frac{4}{60} = \frac{9}{60}$ объема/час.

За 3 часа они откачали часть объема, равную произведению их совместной производительности на время:

$A_1 = v_{1+2} \times 3 = \frac{9}{60} \times 3 = \frac{27}{60}$ всего объема.

3. Найдем оставшийся объем воды, который необходимо откачать:

$A_{ост} = 1 - A_1 = 1 - \frac{27}{60} = \frac{33}{60}$ всего объема.

4. После этого к работе подключили третий насос, и дальше они работали все вместе. Найдем совместную производительность трех насосов:

$v_{1+2+3} = v_1 + v_2 + v_3 = \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20}$

Приведем дроби к общему знаменателю 60:

$v_{1+2+3} = \frac{5}{60} + \frac{4}{60} + \frac{3}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$ объема/час.

5. Теперь определим, сколько времени потребовалось трем насосам, чтобы откачать оставшуюся воду. Для этого разделим оставшийся объем на их общую производительность:

$t_2 = \frac{A_{ост}}{v_{1+2+3}} = \frac{33/60}{12/60} = \frac{33}{12}$ часа.

Упростим полученное значение:

$t_2 = \frac{33}{12} = \frac{11}{4} = 2.75$ часа.

6. Общее время, затраченное на откачку всей воды, равно сумме времени работы на первом этапе и времени работы на втором этапе:

$T_{общ} = t_1 + t_2 = 3 \text{ часа} + 2.75 \text{ часа} = 5.75 \text{ часа}$.

Чтобы выразить ответ в часах и минутах, переведем дробную часть часов в минуты:

$0.75 \text{ часа} = 0.75 \times 60 \text{ минут} = 45 \text{ минут}$.

Таким образом, общее время работы составило 5 часов 45 минут.

Ответ: вся вода была откачана за 5 часов 45 минут.

305. Тетрадь стоит 19 р. У покупателя имеются монеты только по 5 р., а у продавца – только по 2 р. Может ли покупатель рассчитаться за тетрадь без дополнительного размена денег? В случае утвердительного ответа определите, какое наименьшее количество монет соответствующего достоинства должны иметь покупатель и продавец.

Может ли покупатель рассчитаться за тетрадь без дополнительного размена денег?

Да, покупатель может рассчитаться. Это возможно, если покупатель заплатит сумму, большую 19 рублей, а продавец даст сдачу.

Пусть $x$ — это количество 5-рублевых монет, которые покупатель дает продавцу, а $y$ — это количество 2-рублевых монет, которые продавец дает в качестве сдачи. Сумма, которую покупатель платит, составляет $5x$ рублей. Сумма сдачи, которую он получает, — $2y$ рублей. В результате продавец должен получить 19 рублей.

Это можно описать следующим уравнением: $5x - 2y = 19$

Здесь $x$ и $y$ должны быть целыми неотрицательными числами, так как они представляют количество монет. Чтобы доказать, что расчет возможен, нам нужно найти хотя бы одно такое решение.

Выразим $5x$ из уравнения: $5x = 19 + 2y$.

Левая часть уравнения ($5x$) всегда делится на 5. Следовательно, правая часть ($19 + 2y$) также должна делиться на 5. Давайте найдем подходящее значение для $y$ путем перебора:

• Если $y = 0$, то $19 + 2(0) = 19$ (не делится на 5).
• Если $y = 1$, то $19 + 2(1) = 21$ (не делится на 5).
• Если $y = 2$, то $19 + 2(2) = 23$ (не делится на 5).
• Если $y = 3$, то $19 + 2(3) = 19 + 6 = 25$ (делится на 5).

Мы нашли подходящее значение $y=3$. Подставим его в уравнение $5x = 25$ и найдем $x$: $x = 25 / 5 = 5$

Таким образом, существует как минимум одно решение в целых неотрицательных числах: $x=5$, $y=3$. Это означает, что покупатель может дать 5 монет по 5 рублей (25 рублей), а продавец может дать сдачу 3 монеты по 2 рубля (6 рублей). В результате сделки продавец получит $25 - 6 = 19$ рублей.

Ответ: Да, покупатель может рассчитаться за тетрадь без дополнительного размена денег.

В случае утвердительного ответа определите, какое наименьшее количество монет соответствующего достоинства должны иметь покупатель и продавец.

Нам нужно найти наименьшие целые неотрицательные значения $x$ и $y$, удовлетворяющие уравнению $5x - 2y = 19$. Эти значения будут соответствовать минимально необходимому количеству монет, которые должны быть у покупателя ($x$ монет по 5 р.) и у продавца ($y$ монет по 2 р.) для совершения покупки.

Из уравнения $2y = 5x - 19$ следует, что для того, чтобы $y$ был неотрицательным ($y \ge 0$), должно выполняться условие $5x - 19 \ge 0$, то есть $5x \ge 19$, или $x \ge 3.8$. Поскольку $x$ — это количество монет, оно должно быть целым числом, значит, наименьшее возможное значение для $x$ — это 4.

Кроме того, правая часть $5x - 19$ должна быть четным числом, чтобы $y$ получилось целым ($y = (5x - 19)/2$). Проверим значения $x$, начиная с наименьшего возможного:

• Если $x=4$, то $5(4) - 19 = 20 - 19 = 1$. Это нечетное число, поэтому $y$ не будет целым.
• Если $x=5$, то $5(5) - 19 = 25 - 19 = 6$. Это четное число. Тогда $2y=6$, и $y=3$.

Мы нашли пару $(x, y) = (5, 3)$. Это решение с наименьшим возможным целым значением $x$. Все остальные решения этого диофантова уравнения будут иметь большие значения $x$ и $y$ (например, следующее решение $(x,y) = (7, 8)$).

Следовательно, для осуществления покупки покупателю необходимо иметь как минимум 5 монет по 5 рублей, а продавцу — как минимум 3 монеты по 2 рубля.

Ответ: Покупателю необходимо иметь наименьшее количество в 5 монет по 5 рублей, а продавцу — 3 монеты по 2 рубля.

306. Найдите значение функции $y = -\\frac{14}{x}$, если:

1) $x = 2$;

2) $x = -1$;

3) $x = 3,5$;

4) $x = -6$.

Для того чтобы найти значение функции $y = -\frac{14}{x}$ при заданных значениях $x$, необходимо подставить каждое из этих значений в формулу функции и выполнить соответствующие вычисления.

1) x = 2;
Подставляем значение $x = 2$ в уравнение функции:
$y = -\frac{14}{2} = -7$
Ответ: -7

2) x = -1;
Подставляем значение $x = -1$ в уравнение функции:
$y = -\frac{14}{-1} = 14$
Ответ: 14

3) x = 3,5;
Подставляем значение $x = 3,5$ в уравнение функции:
$y = -\frac{14}{3,5}$
Чтобы выполнить деление на десятичную дробь, можно умножить числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от запятой в знаменателе:
$y = -\frac{14 \cdot 10}{3,5 \cdot 10} = -\frac{140}{35} = -4$
Ответ: -4

4) x = -6.
Подставляем значение $x = -6$ в уравнение функции:
$y = -\frac{14}{-6} = \frac{14}{6}$
Сокращаем полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 2:
$y = \frac{14 \div 2}{6 \div 2} = \frac{7}{3}$
Этот результат можно оставить в виде неправильной дроби или представить в виде смешанного числа $2\frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{7}{3}$

307. Функция задана формулой $y = \frac{x+2}{x-6}$. Какова область определения данной функции? Заполните таблицу, вычислив соответствующие значения функции.

1. Область определения функции

Функция задана формулой $y = \frac{x+2}{x-6}$. Данное выражение является дробью. Область определения функции — это все значения переменной $x$, при которых выражение в знаменателе не равно нулю, так как на ноль делить нельзя.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель $x-6$ обращается в ноль:
$x - 6 = 0$
$x = 6$

Следовательно, при $x=6$ функция не определена. Областью определения функции являются все действительные числа, кроме 6.

Ответ: Область определения функции: $x \in (-\infty; 6) \cup (6; +\infty)$.

2. Заполнение таблицы

Для заполнения таблицы подставим каждое значение $x$ из верхней строки в формулу функции $y = \frac{x+2}{x-6}$ и вычислим соответствующее значение $y$.
При $x = -3$: $y = \frac{-3+2}{-3-6} = \frac{-1}{-9} = \frac{1}{9}$
При $x = -2$: $y = \frac{-2+2}{-2-6} = \frac{0}{-8} = 0$
При $x = -1$: $y = \frac{-1+2}{-1-6} = \frac{1}{-7} = -\frac{1}{7}$
При $x = 0$: $y = \frac{0+2}{0-6} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$
При $x = 1$: $y = \frac{1+2}{1-6} = \frac{3}{-5} = -\frac{3}{5}$
При $x = 2$: $y = \frac{2+2}{2-6} = \frac{4}{-4} = -1$
При $x = 3$: $y = \frac{3+2}{3-6} = \frac{5}{-3} = -\frac{5}{3}$

Внесем вычисленные значения в таблицу:

Ответ: Таблица заполнена указанными значениями.

308. Постройте график функции $y = 2x - 1$. Проходит ли этот график через точку:

1) A (30; 59);

2) B (-15; -29)?

Функция $y = 2x - 1$ является линейной, её график — прямая линия. Для построения прямой необходимо и достаточно найти координаты двух любых её точек. Составим таблицу значений:

• Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 - 1 = -1$. Получаем точку $(0; -1)$.
• Если $x = 2$, то $y = 2 \cdot 2 - 1 = 4 - 1 = 3$. Получаем точку $(2; 3)$.

Далее нужно отметить эти две точки на координатной плоскости и провести через них прямую. Это и будет график функции $y = 2x - 1$.

Теперь проверим, принадлежат ли указанные точки графику этой функции.

1) Чтобы определить, проходит ли график функции через точку $A(30; 59)$, подставим её координаты в уравнение функции. В данном случае $x = 30$ и $y = 59$.

$y = 2x - 1$

$59 = 2 \cdot 30 - 1$

$59 = 60 - 1$

$59 = 59$

Так как в результате подстановки мы получили верное числовое равенство, точка $A(30; 59)$ принадлежит графику функции.

Ответ: да, проходит.

2) Чтобы определить, проходит ли график функции через точку $B(-15; -29)$, подставим её координаты в уравнение функции. В данном случае $x = -15$ и $y = -29$.

$y = 2x - 1$

$-29 = 2 \cdot (-15) - 1$

$-29 = -30 - 1$

$-29 \neq -31$

Так как в результате подстановки мы получили неверное числовое равенство, точка $B(-15; -29)$ не принадлежит графику функции.

Ответ: нет, не проходит.

309. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков функций $y = 2.7x - 8$ и $y = 1.2x + 7$.

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций без построения, необходимо решить систему уравнений, задающих эти функции. В точке пересечения координаты $(x, y)$ удовлетворяют обоим уравнениям, следовательно, значения $y$ в этой точке равны.

Нам даны две функции:

1) $y = 2,7x - 8$

2) $y = 1,2x + 7$

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны ($y=y$):

$2,7x - 8 = 1,2x + 7$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую:

$2,7x - 1,2x = 7 + 8$

Выполним вычисления в обеих частях уравнения:

$1,5x = 15$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $1,5$:

$x = \frac{15}{1,5} = 10$

Мы нашли абсциссу (координату $x$) точки пересечения. Теперь найдем ординату (координату $y$), подставив найденное значение $x=10$ в любое из исходных уравнений. Подставим в первое уравнение:

$y = 2,7 \cdot 10 - 8$

$y = 27 - 8$

$y = 19$

Для проверки подставим $x=10$ во второе уравнение:

$y = 1,2 \cdot 10 + 7$

$y = 12 + 7$

$y = 19$

Оба значения $y$ совпали, следовательно, вычисления верны. Координаты точки пересечения графиков — $(10; 19)$.

Ответ: $(10; 19)$

310. Решите графически систему уравнений:

Для решения системы уравнений графическим методом необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точки пересечения этих графиков будут являться решением системы.

1. Построение графика первого уравнения $2x - y = 3$.

Это линейное уравнение, его график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 2x - 3$

Теперь найдем координаты двух точек, принадлежащих этой прямой, выбрав произвольные значения $x$:

• При $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Получаем точку $(0; -3)$.
• При $x = 2$, $y = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Получаем точку $(2; 1)$.

Проводим через эти две точки прямую линию.

2. Построение графика второго уравнения $3x + y = 7$.

Это также линейное уравнение, и его график — прямая. Выразим $y$ через $x$:

$y = -3x + 7$

Найдем координаты двух точек для этой прямой:

• При $x = 1$, $y = -3 \cdot 1 + 7 = 4$. Получаем точку $(1; 4)$.
• При $x = 2$, $y = -3 \cdot 2 + 7 = -6 + 7 = 1$. Получаем точку $(2; 1)$.

Проводим вторую прямую через эти точки.

3. Нахождение точки пересечения.

Построив оба графика в одной системе координат, мы видим, что они пересекаются. Координаты точки пересечения и есть решение системы. Из наших вычислений видно, что точка $(2; 1)$ принадлежит обеим прямым, следовательно, это и есть точка их пересечения.

Таким образом, решением системы является пара чисел $x = 2$, $y = 1$.

Для проверки подставим найденные значения в исходные уравнения:

Для первого уравнения: $2(2) - 1 = 4 - 1 = 3$. Верно ($3=3$).

Для второго уравнения: $3(2) + 1 = 6 + 1 = 7$. Верно ($7=7$).

Решение найдено верно.

Ответ: $(2; 1)$.

311. По окончании теннисного турнира, который проводился по олимпийской системе (проигравший выбывает), оказалось, что только 32 участника выиграли больше встреч, чем проиграли. Сколько теннисистов принимало участие в турнире?

В турнире, который проводится по олимпийской системе, каждый участник, кроме победителя, проигрывает ровно один раз и после этого выбывает. Победитель турнира не проигрывает ни одной встречи.

Проанализируем соотношение побед и поражений для разных участников:

• Победитель турнира: не имеет поражений. Его счет (победы, поражения) будет $(k, 0)$, где $k$ – количество сыгранных им матчей (и количество раундов в турнире). Поскольку $k \ge 1$, у победителя всегда больше побед, чем поражений.
• Проигравшие участники: каждый из них имеет ровно одно поражение. Если участник выбыл, выиграв $w$ встреч, его счет будет $(w, 1)$.

Условие «выиграли больше встреч, чем проиграли» для проигравшего участника означает, что количество его побед $w$ должно быть больше количества его поражений, которое равно 1. То есть, $w > 1$. Это значит, что участник должен выиграть как минимум 2 встречи перед тем, как выбыть.

Таким образом, в группу из 32 участников, у которых побед больше, чем поражений, входят:

1. Победитель турнира.
2. Участники, которые выиграли 2 или более встречи, а затем проиграли (т.е. выбыли в 3-м раунде или позже).

Рассмотрим участников, которые не попали в эту группу. Это те, у кого количество побед не больше количества поражений ($wins \le losses$):

• Участники, выбывшие в 1-м раунде: у них 0 побед и 1 поражение. Здесь $0 < 1$.
• Участники, выбывшие во 2-м раунде: у них 1 победа и 1 поражение. Здесь $1 = 1$.

Пусть общее число участников турнира равно $N$. Для простоты и стандартной структуры олимпийской системы предположим, что $N$ является степенью двойки ($N = 2^k$).

• В 1-м раунде играют $N$ участников. Проходит дальше $N/2$ победителей, а $N/2$ участников выбывают. Это те, у кого 0 побед и 1 поражение.
• Во 2-м раунде играют $N/2$ участников. Проходит дальше $N/4$ победителей, а $N/4$ участников выбывают. Это те, у кого 1 победа и 1 поражение.

Все остальные участники (те, кто выбыл в 3-м раунде и позже, а также победитель) имеют больше побед, чем поражений. По условию, их 32.

Таким образом, общее число участников $N$ можно представить как сумму двух групп: тех, у кого побед больше, чем поражений (32 человека), и тех, у кого побед не больше, чем поражений (выбывшие в 1-м и 2-м раундах).

Составим уравнение: $N = (\text{число участников с } wins > losses) + (\text{число участников с } wins \le losses)$

$N = 32 + (\text{выбывшие в 1-м раунде}) + (\text{выбывшие во 2-м раунде})$

$N = 32 + \frac{N}{2} + \frac{N}{4}$

Теперь решим это уравнение относительно $N$:

$N = 32 + \frac{2N}{4} + \frac{N}{4}$

$N = 32 + \frac{3N}{4}$

$N - \frac{3N}{4} = 32$

$\frac{N}{4} = 32$

$N = 32 \times 4$

$N = 128$

Проверим: если в турнире 128 участников, то выбыло в 1-м раунде $128/2 = 64$ человека, во 2-м раунде $128/4 = 32$ человека. Остальные $128 - 64 - 32 = 32$ человека. Это в точности соответствует условию задачи.

Ответ: в турнире принимало участие 128 теннисистов.