Номер 311, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Рациональные выражения - номер 311, страница 74.

Условие.

311. По окончании теннисного турнира, который проводился по олимпийской системе (проигравший выбывает), оказалось, что только 32 участника выиграли больше встреч, чем проиграли. Сколько теннисистов принимало участие в турнире?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

В турнире, который проводится по олимпийской системе, каждый участник, кроме победителя, проигрывает ровно один раз и после этого выбывает. Победитель турнира не проигрывает ни одной встречи.

Проанализируем соотношение побед и поражений для разных участников:

• Победитель турнира: не имеет поражений. Его счет (победы, поражения) будет $(k, 0)$, где $k$ – количество сыгранных им матчей (и количество раундов в турнире). Поскольку $k \ge 1$, у победителя всегда больше побед, чем поражений.
• Проигравшие участники: каждый из них имеет ровно одно поражение. Если участник выбыл, выиграв $w$ встреч, его счет будет $(w, 1)$.

Условие «выиграли больше встреч, чем проиграли» для проигравшего участника означает, что количество его побед $w$ должно быть больше количества его поражений, которое равно 1. То есть, $w > 1$. Это значит, что участник должен выиграть как минимум 2 встречи перед тем, как выбыть.

Таким образом, в группу из 32 участников, у которых побед больше, чем поражений, входят:

1. Победитель турнира.
2. Участники, которые выиграли 2 или более встречи, а затем проиграли (т.е. выбыли в 3-м раунде или позже).

Рассмотрим участников, которые не попали в эту группу. Это те, у кого количество побед не больше количества поражений ($wins \le losses$):

• Участники, выбывшие в 1-м раунде: у них 0 побед и 1 поражение. Здесь $0 < 1$.
• Участники, выбывшие во 2-м раунде: у них 1 победа и 1 поражение. Здесь $1 = 1$.

Пусть общее число участников турнира равно $N$. Для простоты и стандартной структуры олимпийской системы предположим, что $N$ является степенью двойки ($N = 2^k$).

• В 1-м раунде играют $N$ участников. Проходит дальше $N/2$ победителей, а $N/2$ участников выбывают. Это те, у кого 0 побед и 1 поражение.
• Во 2-м раунде играют $N/2$ участников. Проходит дальше $N/4$ победителей, а $N/4$ участников выбывают. Это те, у кого 1 победа и 1 поражение.

Все остальные участники (те, кто выбыл в 3-м раунде и позже, а также победитель) имеют больше побед, чем поражений. По условию, их 32.

Таким образом, общее число участников $N$ можно представить как сумму двух групп: тех, у кого побед больше, чем поражений (32 человека), и тех, у кого побед не больше, чем поражений (выбывшие в 1-м и 2-м раундах).

Составим уравнение: $N = (\text{число участников с } wins > losses) + (\text{число участников с } wins \le losses)$

$N = 32 + (\text{выбывшие в 1-м раунде}) + (\text{выбывшие во 2-м раунде})$

$N = 32 + \frac{N}{2} + \frac{N}{4}$

Теперь решим это уравнение относительно $N$:

$N = 32 + \frac{2N}{4} + \frac{N}{4}$

$N = 32 + \frac{3N}{4}$

$N - \frac{3N}{4} = 32$

$\frac{N}{4} = 32$

$N = 32 \times 4$

$N = 128$

Проверим: если в турнире 128 участников, то выбыло в 1-м раунде $128/2 = 64$ человека, во 2-м раунде $128/4 = 32$ человека. Остальные $128 - 64 - 32 = 32$ человека. Это в точности соответствует условию задачи.

Ответ: в турнире принимало участие 128 теннисистов.