Номер 5, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 10. Функция y=k/x и её график. Вопросы - номер 5, страница 79.

Условие.

5. Что является областью значений функции $y = \frac{k}{x}$, где $k \neq 0$?

Решение 2.

Решение 8.

Область значений функции (которую также обозначают как $E(y)$) — это множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная y в результате применения функции ко всем значениям из её области определения.

Нам дана функция обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$ с условием, что коэффициент $k \neq 0$.

Для того чтобы найти область значений, нам нужно определить, какие значения может принимать y. Давайте попробуем выразить x через y из данного уравнения.

$y = \frac{k}{x}$

Чтобы выразить x, мы можем умножить обе части на x (поскольку $x \neq 0$ из области определения функции), а затем разделить на y:

$y \cdot x = k$

$x = \frac{k}{y}$

Из полученного выражения $x = \frac{k}{y}$ видно, что оно определено для любого значения y, кроме того, которое обращает знаменатель в ноль. В данном случае это $y = 0$. Это означает, что y не может быть равен нулю.

Мы можем убедиться в этом и другим способом. Предположим, что функция может принять значение $y=0$. Тогда исходное равенство выглядело бы так:

$0 = \frac{k}{x}$

При умножении на $x$ (где $x \neq 0$), мы бы получили $0 = k$. Но это напрямую противоречит условию задачи, где указано, что $k \neq 0$. Следовательно, наше предположение неверно, и $y$ никогда не может быть равен нулю.

При этом для любого другого действительного числа $y_0 \neq 0$ мы всегда можем найти соответствующее значение $x_0 = \frac{k}{y_0}$, при котором функция примет значение $y_0$.

Таким образом, область значений функции состоит из всех действительных чисел, за исключением нуля.

Ответ: Множество всех действительных чисел, кроме 0. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.