Номер 304, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Рациональные выражения - номер 304, страница 74.

Условие.

304. Для откачивания воды из затопленного помещения были задействованы три насоса. Первый из них может выкачать всю воду за 12 ч, второй – за 15 ч, а третий – за 20 ч. Сначала в течение 3 ч работали первый и второй насосы, а затем подключили третий насос. За какое время была откачана вся вода?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи примем весь объем воды в затопленном помещении за 1 единицу.

1. Определим производительность (скорость откачивания) каждого насоса. Производительность — это часть всего объема воды, которую насос может откачать за 1 час.

• Производительность первого насоса: $v_1 = \frac{1}{12}$ объема/час.
• Производительность второго насоса: $v_2 = \frac{1}{15}$ объема/час.
• Производительность третьего насоса: $v_3 = \frac{1}{20}$ объема/час.

2. В течение первых 3 часов работали первый и второй насосы. Найдем их совместную производительность, сложив их индивидуальные производительности:

$v_{1+2} = v_1 + v_2 = \frac{1}{12} + \frac{1}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю 60:

$v_{1+2} = \frac{5}{60} + \frac{4}{60} = \frac{9}{60}$ объема/час.

За 3 часа они откачали часть объема, равную произведению их совместной производительности на время:

$A_1 = v_{1+2} \times 3 = \frac{9}{60} \times 3 = \frac{27}{60}$ всего объема.

3. Найдем оставшийся объем воды, который необходимо откачать:

$A_{ост} = 1 - A_1 = 1 - \frac{27}{60} = \frac{33}{60}$ всего объема.

4. После этого к работе подключили третий насос, и дальше они работали все вместе. Найдем совместную производительность трех насосов:

$v_{1+2+3} = v_1 + v_2 + v_3 = \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20}$

Приведем дроби к общему знаменателю 60:

$v_{1+2+3} = \frac{5}{60} + \frac{4}{60} + \frac{3}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$ объема/час.

5. Теперь определим, сколько времени потребовалось трем насосам, чтобы откачать оставшуюся воду. Для этого разделим оставшийся объем на их общую производительность:

$t_2 = \frac{A_{ост}}{v_{1+2+3}} = \frac{33/60}{12/60} = \frac{33}{12}$ часа.

Упростим полученное значение:

$t_2 = \frac{33}{12} = \frac{11}{4} = 2.75$ часа.

6. Общее время, затраченное на откачку всей воды, равно сумме времени работы на первом этапе и времени работы на втором этапе:

$T_{общ} = t_1 + t_2 = 3 \text{ часа} + 2.75 \text{ часа} = 5.75 \text{ часа}$.

Чтобы выразить ответ в часах и минутах, переведем дробную часть часов в минуты:

$0.75 \text{ часа} = 0.75 \times 60 \text{ минут} = 45 \text{ минут}$.

Таким образом, общее время работы составило 5 часов 45 минут.

Ответ: вся вода была откачана за 5 часов 45 минут.