Номер 301, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Рациональные выражения - номер 301, страница 73.

Условие.

301. Порядок числа $m$ равен 2, а порядок числа $n$ равен 4. Каким может быть порядок значения выражения:

1) $mn$;

2) $0.01mn$;

3) $100m + n$;

4) $0.01m + n$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Понятие "порядок числа" означает показатель степени числа 10 в стандартной записи этого числа. Стандартная запись числа $x$ имеет вид $a \cdot 10^p$, где $1 \le a < 10$, а $p$ — целое число, которое и является порядком числа $x$.

Из условия задачи:

• Порядок числа $m$ равен 2, следовательно, $m = a \cdot 10^2$, где $1 \le a < 10$. Это означает, что $100 \le m < 1000$.
• Порядок числа $n$ равен 4, следовательно, $n = b \cdot 10^4$, где $1 \le b < 10$. Это означает, что $10000 \le n < 100000$.

Теперь рассмотрим каждое выражение.

1) mn;

Найдем произведение $mn$:

$mn = (a \cdot 10^2) \cdot (b \cdot 10^4) = (a \cdot b) \cdot 10^{2+4} = (a \cdot b) \cdot 10^6$.

Чтобы определить порядок, нужно проанализировать значение мантиссы $a \cdot b$.

Поскольку $1 \le a < 10$ и $1 \le b < 10$, их произведение $a \cdot b$ находится в интервале $1 \le a \cdot b < 100$.

Возможны два случая:

1. Если $1 \le a \cdot b < 10$, то число $(a \cdot b) \cdot 10^6$ уже записано в стандартном виде, и его порядок равен 6. Например, если $m = 2 \cdot 10^2$ и $n = 3 \cdot 10^4$, то $mn = 6 \cdot 10^6$.
2. Если $10 \le a \cdot b < 100$, то для приведения к стандартному виду мантиссу нужно разделить на 10, а показатель степени увеличить на 1. То есть, $a \cdot b = c \cdot 10^1$, где $1 \le c < 10$. Тогда $mn = (c \cdot 10^1) \cdot 10^6 = c \cdot 10^7$. В этом случае порядок равен 7. Например, если $m = 4 \cdot 10^2$ и $n = 5 \cdot 10^4$, то $mn = 20 \cdot 10^6 = 2 \cdot 10^7$.

Ответ: порядок может быть равен 6 или 7.

2) 0,01mn;

Это выражение можно записать как $10^{-2} \cdot mn$. Умножение на $10^{-2}$ уменьшает порядок числа на 2.

Используя результаты из пункта 1:

1. Если порядок $mn$ равен 6, то $mn = c \cdot 10^6$. Тогда $0,01mn = 10^{-2} \cdot (c \cdot 10^6) = c \cdot 10^{6-2} = c \cdot 10^4$. Порядок равен 4.
2. Если порядок $mn$ равен 7, то $mn = d \cdot 10^7$. Тогда $0,01mn = 10^{-2} \cdot (d \cdot 10^7) = d \cdot 10^{7-2} = d \cdot 10^5$. Порядок равен 5.

Ответ: порядок может быть равен 4 или 5.

3) 100m + n;

Сначала найдем порядок слагаемого $100m$:

$100m = 10^2 \cdot m = 10^2 \cdot (a \cdot 10^2) = a \cdot 10^4$.

Поскольку $1 \le a < 10$, порядок числа $100m$ равен 4. Число $n = b \cdot 10^4$ также имеет порядок 4. Мы складываем два числа одного порядка.

$100m + n = a \cdot 10^4 + b \cdot 10^4 = (a+b) \cdot 10^4$.

Проанализируем новую мантиссу $a+b$.

Так как $1 \le a < 10$ и $1 \le b < 10$, то их сумма $a+b$ находится в интервале $2 \le a+b < 20$.

Возможны два случая:

1. Если $2 \le a+b < 10$, то число $(a+b) \cdot 10^4$ уже в стандартном виде, и его порядок равен 4. Например, если $m=2 \cdot 10^2$ и $n=3 \cdot 10^4$, то $100m+n = 2 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^4 = 5 \cdot 10^4$.
2. Если $10 \le a+b < 20$, то мантиссу нужно привести к стандартному виду: $a+b = c \cdot 10^1$, где $1 \le c < 2$. Тогда $100m + n = (c \cdot 10^1) \cdot 10^4 = c \cdot 10^5$. Порядок равен 5. Например, если $m=8 \cdot 10^2$ и $n=9 \cdot 10^4$, то $100m+n = 8 \cdot 10^4 + 9 \cdot 10^4 = 17 \cdot 10^4 = 1.7 \cdot 10^5$.

Ответ: порядок может быть равен 4 или 5.

4) 0,01m + n?

Найдем порядок слагаемого $0,01m$:

$0,01m = 10^{-2} \cdot m = 10^{-2} \cdot (a \cdot 10^2) = a \cdot 10^0 = a$.

Поскольку $1 \le a < 10$, порядок числа $0,01m$ равен 0. Его значение находится в интервале $[1, 10)$.

Число $n = b \cdot 10^4$ имеет порядок 4. Его значение находится в интервале $[10000, 100000)$.

При сложении двух чисел с сильно различающимися порядками (0 и 4), порядок суммы определяется порядком большего числа.

Рассмотрим сумму: $0,01m + n = a + b \cdot 10^4$.

Представим эту сумму в стандартном виде:

$b \cdot 10^4 + a = (b + a \cdot 10^{-4}) \cdot 10^4$.

Новая мантисса равна $b + a \cdot 10^{-4}$. Оценим ее значение. Так как $1 \le a < 10$, то $0.0001 \le a \cdot 10^{-4} < 0.001$. Так как $1 \le b < 10$, то $1+0.0001 \le b + a \cdot 10^{-4} < 10+0.001$.

Новая мантисса $b + a \cdot 10^{-4}$ всегда будет находиться в интервале $[1.0001, 10.001)$, то есть она всегда будет удовлетворять условию $1 \le \text{мантисса} < 10$ (она не может достичь 10, так как $b$ строго меньше 10). Следовательно, порядок выражения всегда будет равен 4.

Ответ: порядок может быть равен только 4.