Номер 298, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Рациональные выражения - номер 298, страница 73.

Условие.

298. Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем:

1) $(\frac{a^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}} - \frac{a^{-1} - b^{-1}}{a^{-1}}) : (\frac{b}{a^2})^{-1}$;

2) $\frac{b^{-2} - 2}{b^{-2}} - \frac{b^{-4} - 4}{b^{-2}} \cdot \frac{1}{b^{-2} - 2}$;

3) $\frac{5c^{-3}}{c^{-3} - 3} - \frac{c^{-3} + 6}{2c^{-3} - 6} \cdot \frac{90}{c^{-6} + 6c^{-3}} $;

4) $(\frac{m^{-4}}{m^{-4} - 4} - \frac{3m^{-4}}{m^{-8} - 8m^{-4} + 16}) \cdot (\frac{16 - m^{-8}}{m^{-4} - 7} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} - 4})$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное выражение: $ \left( \frac{a^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}} - \frac{a^{-1} - b^{-1}}{a^{-1}} \right) : \left( \frac{b}{a^2} \right)^{-1} $.
Сначала преобразуем выражения с отрицательными степенями, используя свойство $ x^{-n} = \frac{1}{x^n} $:
$ a^{-1} = \frac{1}{a} $, $ b^{-1} = \frac{1}{b} $.
Также преобразуем делитель: $ \left( \frac{b}{a^2} \right)^{-1} = \frac{a^2}{b} $.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$ \left( \frac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} - \frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}{\frac{1}{a}} \right) : \frac{a^2}{b} $.
Упростим каждую дробь в скобках. Первая дробь:
$ \frac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{\frac{1}{a}}{\frac{b+a}{ab}} = \frac{1}{a} \cdot \frac{ab}{a+b} = \frac{b}{a+b} $.
Вторая дробь:
$ \frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}{\frac{1}{a}} = \frac{\frac{b-a}{ab}}{\frac{1}{a}} = \frac{b-a}{ab} \cdot a = \frac{b-a}{b} $.
Теперь выполним вычитание в скобках:
$ \frac{b}{a+b} - \frac{b-a}{b} = \frac{b \cdot b - (b-a)(a+b)}{b(a+b)} = \frac{b^2 - (b^2 - a^2)}{b(a+b)} = \frac{b^2 - b^2 + a^2}{b(a+b)} = \frac{a^2}{b(a+b)} $.
Наконец, выполним деление:
$ \frac{a^2}{b(a+b)} : \frac{a^2}{b} = \frac{a^2}{b(a+b)} \cdot \frac{b}{a^2} = \frac{1}{a+b} $.
Ответ: $ \frac{1}{a+b} $

2) Исходное выражение: $ \frac{b^{-2} - 2}{b^{-2}} - \frac{b^{-4} - 4}{b^{-2}} \cdot \frac{1}{b^{-2} - 2} $.
Для удобства сделаем замену $ x = b^{-2} $. Тогда $ b^{-4} = (b^{-2})^2 = x^2 $.
Выражение примет вид:
$ \frac{x - 2}{x} - \frac{x^2 - 4}{x} \cdot \frac{1}{x - 2} $.
Сначала выполним умножение. Разложим $ x^2 - 4 $ на множители как разность квадратов: $ x^2 - 4 = (x-2)(x+2) $.
$ \frac{(x-2)(x+2)}{x} \cdot \frac{1}{x-2} = \frac{x+2}{x} $.
Теперь выполним вычитание:
$ \frac{x-2}{x} - \frac{x+2}{x} = \frac{(x-2) - (x+2)}{x} = \frac{x-2-x-2}{x} = \frac{-4}{x} $.
Сделаем обратную замену $ x = b^{-2} $:
$ \frac{-4}{b^{-2}} = -4 \cdot b^2 = -4b^2 $.
Ответ: $ -4b^2 $

3) Исходное выражение: $ \frac{5c^{-3}}{c^{-3} - 3} - \frac{c^{-3} + 6}{2c^{-3} - 6} \cdot \frac{90}{c^{-6} + 6c^{-3}} $.
Сделаем замену $ y = c^{-3} $. Тогда $ c^{-6} = (c^{-3})^2 = y^2 $.
Выражение примет вид:
$ \frac{5y}{y - 3} - \frac{y + 6}{2y - 6} \cdot \frac{90}{y^2 + 6y} $.
Упростим произведение. Разложим знаменатели на множители: $ 2y-6 = 2(y-3) $ и $ y^2+6y = y(y+6) $.
$ \frac{y + 6}{2(y - 3)} \cdot \frac{90}{y(y + 6)} = \frac{1}{2(y-3)} \cdot \frac{90}{y} = \frac{45}{y(y-3)} $.
Теперь выполним вычитание. Приведем дроби к общему знаменателю $ y(y-3) $:
$ \frac{5y}{y - 3} - \frac{45}{y(y - 3)} = \frac{5y \cdot y}{y(y - 3)} - \frac{45}{y(y - 3)} = \frac{5y^2 - 45}{y(y-3)} $.
Разложим числитель на множители: $ 5y^2 - 45 = 5(y^2 - 9) = 5(y-3)(y+3) $.
$ \frac{5(y-3)(y+3)}{y(y-3)} = \frac{5(y+3)}{y} $.
Сделаем обратную замену $ y = c^{-3} $:
$ \frac{5(c^{-3}+3)}{c^{-3}} = \frac{5(\frac{1}{c^3}+3)}{\frac{1}{c^3}} = \frac{5 \cdot \frac{1+3c^3}{c^3}}{\frac{1}{c^3}} = 5(1+3c^3) = 5 + 15c^3 $.
Ответ: $ 15c^3 + 5 $

4) Исходное выражение: $ \left( \frac{m^{-4}}{m^{-4} - 4} - \frac{3m^{-4}}{m^{-8} - 8m^{-4} + 16} \right) \cdot \frac{16 - m^{-8}}{m^{-4} - 7} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} - 4} $.
Сделаем замену $ z = m^{-4} $. Тогда $ m^{-8} = (m^{-4})^2 = z^2 $.
Выражение примет вид:
$ \left( \frac{z}{z - 4} - \frac{3z}{z^2 - 8z + 16} \right) \cdot \frac{16 - z^2}{z - 7} + \frac{8z}{z - 4} $.
Сначала упростим выражение в скобках. Заметим, что знаменатель второй дроби является полным квадратом: $ z^2 - 8z + 16 = (z-4)^2 $.
$ \frac{z}{z - 4} - \frac{3z}{(z-4)^2} = \frac{z(z-4) - 3z}{(z-4)^2} = \frac{z^2 - 4z - 3z}{(z-4)^2} = \frac{z^2 - 7z}{(z-4)^2} = \frac{z(z-7)}{(z-4)^2} $.
Теперь выполним умножение. Разложим $ 16 - z^2 $ на множители: $ 16 - z^2 = (4-z)(4+z) = -(z-4)(z+4) $.
$ \frac{z(z-7)}{(z-4)^2} \cdot \frac{-(z-4)(z+4)}{z-7} = \frac{z \cdot (-(z+4))}{z-4} = \frac{-z(z+4)}{z-4} $.
Теперь выполним сложение:
$ \frac{-z(z+4)}{z-4} + \frac{8z}{z-4} = \frac{-z^2-4z+8z}{z-4} = \frac{-z^2+4z}{z-4} $.
Вынесем $ -z $ в числителе за скобки: $ \frac{-z(z-4)}{z-4} = -z $.
Сделаем обратную замену $ z = m^{-4} $:
$ -m^{-4} = -\frac{1}{m^4} $.
Ответ: $ -\frac{1}{m^4} $