Номер 294, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Упражнения - номер 294, страница 72.

Условие.

294. Выполните вычисления и результат запишите в стандартном виде:

1) $ (1,6 \cdot 10^{-5}) \cdot (4 \cdot 10^{7}) $;

2) $ (5 \cdot 10^{-3}) \cdot (1,8 \cdot 10^{-1}) $;

3) $ \frac{7 \cdot 10^{-4}}{1,4 \cdot 10^{-6}} $;

4) $ \frac{6,4 \cdot 10^{3}}{8 \cdot 10^{-2}} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для выполнения умножения чисел, записанных в стандартном виде, необходимо отдельно перемножить их мантиссы (числа перед степенью десяти) и отдельно — степени десяти. Затем, при необходимости, привести результат к стандартному виду (мантисса должна быть больше или равна 1, но меньше 10).

$(1,6 \cdot 10^{-5}) \cdot (4 \cdot 10^{7}) = (1,6 \cdot 4) \cdot (10^{-5} \cdot 10^{7})$

Вычислим произведение мантисс: $1,6 \cdot 4 = 6,4$.

Вычислим произведение степеней, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $10^{-5} \cdot 10^{7} = 10^{-5+7} = 10^{2}$.

Объединяем полученные результаты: $6,4 \cdot 10^{2}$.

Так как $1 \le 6,4 < 10$, полученное число уже находится в стандартном виде.

Ответ: $6,4 \cdot 10^{2}$.

2) Выполним вычисления аналогично предыдущему пункту.

$(5 \cdot 10^{-3}) \cdot (1,8 \cdot 10^{-1}) = (5 \cdot 1,8) \cdot (10^{-3} \cdot 10^{-1})$

Произведение мантисс: $5 \cdot 1,8 = 9$.

Произведение степеней: $10^{-3} \cdot 10^{-1} = 10^{-3+(-1)} = 10^{-4}$.

Результат: $9 \cdot 10^{-4}$.

Так как $1 \le 9 < 10$, результат записан в стандартном виде.

Ответ: $9 \cdot 10^{-4}$.

3) Для деления чисел в стандартном виде нужно отдельно разделить их мантиссы и отдельно — степени десяти.

$\frac{7 \cdot 10^{-4}}{1,4 \cdot 10^{-6}} = \frac{7}{1,4} \cdot \frac{10^{-4}}{10^{-6}}$

Вычислим частное мантисс: $\frac{7}{1,4} = \frac{70}{14} = 5$.

Вычислим частное степеней, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $\frac{10^{-4}}{10^{-6}} = 10^{-4 - (-6)} = 10^{-4+6} = 10^{2}$.

Объединяем результаты: $5 \cdot 10^{2}$.

Так как $1 \le 5 < 10$, результат записан в стандартном виде.

Ответ: $5 \cdot 10^{2}$.

4) Выполним деление аналогично предыдущему пункту.

$\frac{6,4 \cdot 10^{3}}{8 \cdot 10^{-2}} = \frac{6,4}{8} \cdot \frac{10^{3}}{10^{-2}}$

Частное мантисс: $\frac{6,4}{8} = 0,8$.

Частное степеней: $\frac{10^{3}}{10^{-2}} = 10^{3 - (-2)} = 10^{3+2} = 10^{5}$.

Получаем промежуточный результат: $0,8 \cdot 10^{5}$.

Это число не записано в стандартном виде, так как его мантисса $0,8$ меньше $1$. Для приведения к стандартному виду представим мантиссу как $8 \cdot 10^{-1}$ и умножим на степень десяти.

$0,8 \cdot 10^{5} = (8 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{5} = 8 \cdot (10^{-1} \cdot 10^{5}) = 8 \cdot 10^{-1+5} = 8 \cdot 10^{4}$.

Теперь мантисса $8$ удовлетворяет условию $1 \le 8 < 10$.

Ответ: $8 \cdot 10^{4}$.