Номер 290, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Рациональные выражения - номер 290, страница 72.
№290 (с. 72)
Условие. №290 (с. 72)
скриншот условия

290. Упростите выражение:
1) $(x^{-2} - 1)^2 - (x^{-2} - 4)(x^{-2} + 4);$
2) $\frac{a^{-2} - 10a^{-1}b^{-1} + 25b^{-2}}{a^{-1} - 5b^{-1}};$
3) $\frac{5m^{-2} + n^{-2}}{4m^{-3} + 4m^{-1}n^{-2}} - \frac{m^{-1}}{m^{-2} + n^{-2}};$
4) $\frac{b^{-1} + 3c^{-1}}{c^{-2}} \cdot \frac{bc}{b^{-2}c^{-1} + 3b^{-1}c^{-2}}.$
Решение 1. №290 (с. 72)




Решение 2. №290 (с. 72)

Решение 3. №290 (с. 72)

Решение 5. №290 (с. 72)

Решение 6. №290 (с. 72)


Решение 7. №290 (с. 72)

Решение 8. №290 (с. 72)
1) Для упрощения выражения $(x^{-2} - 1)^2 - (x^{-2} - 4)(x^{-2} + 4)$ воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и разностью квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Раскроем первую скобку: $(x^{-2} - 1)^2 = (x^{-2})^2 - 2 \cdot x^{-2} \cdot 1 + 1^2 = x^{-4} - 2x^{-2} + 1$.
Раскроем вторую часть выражения: $(x^{-2} - 4)(x^{-2} + 4) = (x^{-2})^2 - 4^2 = x^{-4} - 16$.
Теперь подставим полученные выражения в исходное: $(x^{-4} - 2x^{-2} + 1) - (x^{-4} - 16) = x^{-4} - 2x^{-2} + 1 - x^{-4} + 16$.
Сократим подобные члены: $(x^{-4} - x^{-4}) - 2x^{-2} + (1 + 16) = -2x^{-2} + 17$.
Ответ: $17 - 2x^{-2}$
2) Рассмотрим выражение $\frac{a^{-2} - 10a^{-1}b^{-1} + 25b^{-2}}{a^{-1} - 5b^{-1}}$.
Числитель дроби $a^{-2} - 10a^{-1}b^{-1} + 25b^{-2}$ является полным квадратом разности. Заметим, что $a^{-2} = (a^{-1})^2$, $25b^{-2} = (5b^{-1})^2$, а $-10a^{-1}b^{-1} = -2 \cdot (a^{-1}) \cdot (5b^{-1})$.
Таким образом, числитель можно свернуть по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$: $a^{-2} - 10a^{-1}b^{-1} + 25b^{-2} = (a^{-1} - 5b^{-1})^2$.
Подставим это в исходную дробь: $\frac{(a^{-1} - 5b^{-1})^2}{a^{-1} - 5b^{-1}}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a^{-1} - 5b^{-1})$: $a^{-1} - 5b^{-1}$.
Ответ: $a^{-1} - 5b^{-1}$
3) Упростим выражение $\frac{5m^{-2} + n^{-2}}{4m^{-3} + 4m^{-1}n^{-2}} - \frac{m^{-1}}{m^{-2} + n^{-2}}$.
Сначала преобразуем знаменатель первой дроби, вынеся за скобки общий множитель $4m^{-1}$: $4m^{-3} + 4m^{-1}n^{-2} = 4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{5m^{-2} + n^{-2}}{4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})} - \frac{m^{-1}}{m^{-2} + n^{-2}}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})$. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на $4m^{-1}$: $\frac{m^{-1} \cdot 4m^{-1}}{(m^{-2} + n^{-2}) \cdot 4m^{-1}} = \frac{4m^{-2}}{4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})}$.
Выполним вычитание дробей: $\frac{5m^{-2} + n^{-2} - 4m^{-2}}{4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})} = \frac{m^{-2} + n^{-2}}{4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})}$.
Сократим дробь на $(m^{-2} + n^{-2})$: $\frac{1}{4m^{-1}}$.
Так как $m^{-1} = \frac{1}{m}$, то $\frac{1}{4m^{-1}} = \frac{1}{4/m} = \frac{m}{4}$.
Ответ: $\frac{m}{4}$
4) Упростим выражение $\frac{b^{-1} + 3c^{-1}}{c^{-2}} \cdot \frac{bc}{b^{-2}c^{-1} + 3b^{-1}c^{-2}}$.
Рассмотрим знаменатель второй дроби: $b^{-2}c^{-1} + 3b^{-1}c^{-2}$. Вынесем за скобки общий множитель $b^{-1}c^{-1}$: $b^{-1}c^{-1}(b^{-1} + 3c^{-1})$.
Подставим это в исходное выражение: $\frac{b^{-1} + 3c^{-1}}{c^{-2}} \cdot \frac{bc}{b^{-1}c^{-1}(b^{-1} + 3c^{-1})}$.
Сократим общий множитель $(b^{-1} + 3c^{-1})$ в числителе первой дроби и знаменателе второй: $\frac{1}{c^{-2}} \cdot \frac{bc}{b^{-1}c^{-1}}$.
Упростим полученное выражение. Учитывая, что $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$, имеем $\frac{1}{c^{-2}} = c^2$.
Тогда выражение примет вид: $c^2 \cdot \frac{bc}{b^{-1}c^{-1}}$.
Выполним деление степеней: $\frac{b^1c^1}{b^{-1}c^{-1}} = b^{1-(-1)}c^{1-(-1)} = b^2c^2$.
Окончательно получаем: $c^2 \cdot (b^2c^2) = b^2c^{2+2} = b^2c^4$.
Ответ: $b^2c^4$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 290 расположенного на странице 72 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №290 (с. 72), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.