Номер 290, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Упражнения - номер 290, страница 72.

Условие.

290. Упростите выражение:

1) $(x^{-2} - 1)^2 - (x^{-2} - 4)(x^{-2} + 4);$

2) $\frac{a^{-2} - 10a^{-1}b^{-1} + 25b^{-2}}{a^{-1} - 5b^{-1}};$

3) $\frac{5m^{-2} + n^{-2}}{4m^{-3} + 4m^{-1}n^{-2}} - \frac{m^{-1}}{m^{-2} + n^{-2}};$

4) $\frac{b^{-1} + 3c^{-1}}{c^{-2}} \cdot \frac{bc}{b^{-2}c^{-1} + 3b^{-1}c^{-2}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения выражения $(x^{-2} - 1)^2 - (x^{-2} - 4)(x^{-2} + 4)$ воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и разностью квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Раскроем первую скобку: $(x^{-2} - 1)^2 = (x^{-2})^2 - 2 \cdot x^{-2} \cdot 1 + 1^2 = x^{-4} - 2x^{-2} + 1$.
Раскроем вторую часть выражения: $(x^{-2} - 4)(x^{-2} + 4) = (x^{-2})^2 - 4^2 = x^{-4} - 16$.
Теперь подставим полученные выражения в исходное: $(x^{-4} - 2x^{-2} + 1) - (x^{-4} - 16) = x^{-4} - 2x^{-2} + 1 - x^{-4} + 16$.
Сократим подобные члены: $(x^{-4} - x^{-4}) - 2x^{-2} + (1 + 16) = -2x^{-2} + 17$.
Ответ: $17 - 2x^{-2}$

2) Рассмотрим выражение $\frac{a^{-2} - 10a^{-1}b^{-1} + 25b^{-2}}{a^{-1} - 5b^{-1}}$.
Числитель дроби $a^{-2} - 10a^{-1}b^{-1} + 25b^{-2}$ является полным квадратом разности. Заметим, что $a^{-2} = (a^{-1})^2$, $25b^{-2} = (5b^{-1})^2$, а $-10a^{-1}b^{-1} = -2 \cdot (a^{-1}) \cdot (5b^{-1})$.
Таким образом, числитель можно свернуть по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$: $a^{-2} - 10a^{-1}b^{-1} + 25b^{-2} = (a^{-1} - 5b^{-1})^2$.
Подставим это в исходную дробь: $\frac{(a^{-1} - 5b^{-1})^2}{a^{-1} - 5b^{-1}}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a^{-1} - 5b^{-1})$: $a^{-1} - 5b^{-1}$.
Ответ: $a^{-1} - 5b^{-1}$

3) Упростим выражение $\frac{5m^{-2} + n^{-2}}{4m^{-3} + 4m^{-1}n^{-2}} - \frac{m^{-1}}{m^{-2} + n^{-2}}$.
Сначала преобразуем знаменатель первой дроби, вынеся за скобки общий множитель $4m^{-1}$: $4m^{-3} + 4m^{-1}n^{-2} = 4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{5m^{-2} + n^{-2}}{4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})} - \frac{m^{-1}}{m^{-2} + n^{-2}}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})$. Для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на $4m^{-1}$: $\frac{m^{-1} \cdot 4m^{-1}}{(m^{-2} + n^{-2}) \cdot 4m^{-1}} = \frac{4m^{-2}}{4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})}$.
Выполним вычитание дробей: $\frac{5m^{-2} + n^{-2} - 4m^{-2}}{4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})} = \frac{m^{-2} + n^{-2}}{4m^{-1}(m^{-2} + n^{-2})}$.
Сократим дробь на $(m^{-2} + n^{-2})$: $\frac{1}{4m^{-1}}$.
Так как $m^{-1} = \frac{1}{m}$, то $\frac{1}{4m^{-1}} = \frac{1}{4/m} = \frac{m}{4}$.
Ответ: $\frac{m}{4}$

4) Упростим выражение $\frac{b^{-1} + 3c^{-1}}{c^{-2}} \cdot \frac{bc}{b^{-2}c^{-1} + 3b^{-1}c^{-2}}$.
Рассмотрим знаменатель второй дроби: $b^{-2}c^{-1} + 3b^{-1}c^{-2}$. Вынесем за скобки общий множитель $b^{-1}c^{-1}$: $b^{-1}c^{-1}(b^{-1} + 3c^{-1})$.
Подставим это в исходное выражение: $\frac{b^{-1} + 3c^{-1}}{c^{-2}} \cdot \frac{bc}{b^{-1}c^{-1}(b^{-1} + 3c^{-1})}$.
Сократим общий множитель $(b^{-1} + 3c^{-1})$ в числителе первой дроби и знаменателе второй: $\frac{1}{c^{-2}} \cdot \frac{bc}{b^{-1}c^{-1}}$.
Упростим полученное выражение. Учитывая, что $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$, имеем $\frac{1}{c^{-2}} = c^2$.
Тогда выражение примет вид: $c^2 \cdot \frac{bc}{b^{-1}c^{-1}}$.
Выполним деление степеней: $\frac{b^1c^1}{b^{-1}c^{-1}} = b^{1-(-1)}c^{1-(-1)} = b^2c^2$.
Окончательно получаем: $c^2 \cdot (b^2c^2) = b^2c^{2+2} = b^2c^4$.
Ответ: $b^2c^4$