Номер 286, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Рациональные выражения - номер 286, страница 72.

Условие.

286. Представьте в виде произведения выражение:

1) $a^{-2} - 4$;

2) $a^4 b^{-6} - 1$;

3) $25x^{-8}y^{-12} - z^{-2}$;

4) $a^{-3} + b^{-3}$;

5) $m^{-4} - 6m^{-2}p^{-1} + 9p^{-2}$;

6) $a^{-8} - 49a^{-2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для разложения выражения $a^{-2} - 4$ на множители используется формула разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим данное выражение в виде разности квадратов: $a^{-2} - 4 = (a^{-1})^2 - 2^2$.
Применим формулу, где $x = a^{-1}$ и $y = 2$. В результате получаем произведение:
$(a^{-1} - 2)(a^{-1} + 2)$.
Ответ: $(a^{-1} - 2)(a^{-1} + 2)$.

2) Выражение $a^{-4}b^{-6} - 1$ также является разностью квадратов. Применим ту же формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим выражение в виде $(a^{-2}b^{-3})^2 - 1^2$.
Здесь $x = a^{-2}b^{-3}$ и $y = 1$.
Следовательно, разложение имеет вид:
$(a^{-2}b^{-3} - 1)(a^{-2}b^{-3} + 1)$.
Ответ: $(a^{-2}b^{-3} - 1)(a^{-2}b^{-3} + 1)$.

3) Выражение $25x^{-8}y^{-12} - z^{-2}$ раскладывается по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим слагаемые в виде квадратов: $25x^{-8}y^{-12} = (5x^{-4}y^{-6})^2$ и $z^{-2} = (z^{-1})^2$.
Выражение принимает вид $(5x^{-4}y^{-6})^2 - (z^{-1})^2$.
Применяем формулу, где $x = 5x^{-4}y^{-6}$ и $y = z^{-1}$.
Результат разложения:
$(5x^{-4}y^{-6} - z^{-1})(5x^{-4}y^{-6} + z^{-1})$.
Ответ: $(5x^{-4}y^{-6} - z^{-1})(5x^{-4}y^{-6} + z^{-1})$.

4) Для выражения $a^{-3} + b^{-3}$ необходимо использовать формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Представим $a^{-3}$ как $(a^{-1})^3$ и $b^{-3}$ как $(b^{-1})^3$. Выражение становится $(a^{-1})^3 + (b^{-1})^3$.
Подставляя $x = a^{-1}$ и $y = b^{-1}$ в формулу, получаем:
$(a^{-1} + b^{-1})((a^{-1})^2 - a^{-1}b^{-1} + (b^{-1})^2) = (a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2})$.
Ответ: $(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2})$.

5) Выражение $m^{-4} - 6m^{-2}p^{-1} + 9p^{-2}$ является полным квадратом разности. Для его разложения используем формулу $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.
Определим компоненты: первый член $m^{-4} = (m^{-2})^2$, последний член $9p^{-2} = (3p^{-1})^2$. Средний член равен $-2 \cdot m^{-2} \cdot (3p^{-1}) = -6m^{-2}p^{-1}$.
Таким образом, $x = m^{-2}$ и $y = 3p^{-1}$.
Результат разложения:
$(m^{-2} - 3p^{-1})^2$.
Ответ: $(m^{-2} - 3p^{-1})^2$.

6) В выражении $a^{-8} - 49a^{-2}$ сначала вынесем общий множитель за скобки. Вынесем член с наименьшей степенью, то есть $a^{-8}$.
$a^{-8} - 49a^{-2} = a^{-8}(1 - 49a^6)$, так как $a^{-2} = a^{-8} \cdot a^6$.
Выражение в скобках $1 - 49a^6$ представляет собой разность квадратов: $1^2 - (7a^3)^2$.
Применяя формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x=1$ и $y=7a^3$, получаем $(1 - 7a^3)(1 + 7a^3)$.
Окончательное разложение:
$a^{-8}(1 - 7a^3)(1 + 7a^3)$.
Ответ: $a^{-8}(1 - 7a^3)(1 + 7a^3)$.