Номер 279, страница 71 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Упражнения - номер 279, страница 71.

Условие.

279. Упростите выражение:

1) $2a^{-5}b^2 \cdot 3a^{-2}b^{-5}$;

2) $(\frac{1}{2}mn^{-3})^{-2}$;

3) $\frac{3,6a^2b}{0,9a^3b^{-3}};$

4) $0,8a^{-6}b^8 \cdot 5a^{10}b^{-8}$;

5) $\frac{25x^{-3}}{y^{-4}} \cdot \frac{y^4}{5x^{-7}};$

6) $28c^3d^{-2} \cdot (2cd^{-1})^{-2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $2a^{-5}b^2 \cdot 3a^{-2}b^{-5}$

Чтобы упростить это выражение, мы перемножаем коэффициенты и складываем показатели степеней для переменных с одинаковым основанием, используя свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Сначала перегруппируем множители: $(2 \cdot 3) \cdot (a^{-5} \cdot a^{-2}) \cdot (b^2 \cdot b^{-5})$.

Перемножим числовые коэффициенты: $2 \cdot 3 = 6$.

Перемножим степени переменной $a$: $a^{-5} \cdot a^{-2} = a^{-5 + (-2)} = a^{-7}$.

Перемножим степени переменной $b$: $b^2 \cdot b^{-5} = b^{2 + (-5)} = b^{-3}$.

Соединив все части, получаем итоговое выражение: $6a^{-7}b^{-3}$.

Ответ: $6a^{-7}b^{-3}$

2) $(\frac{1}{2}mn^{-3})^{-2}$

Для упрощения воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(xyz)^k = x^k y^k z^k$. Возведем каждый множитель в скобках в степень $-2$.

$(\frac{1}{2})^{-2} \cdot m^{-2} \cdot (n^{-3})^{-2}$

Упростим каждый множитель отдельно:

Для числового коэффициента используем свойство $(\frac{x}{y})^{-k} = (\frac{y}{x})^k$: $(\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^2 = 2^2 = 4$.

Для переменной $m$: $m^{-2}$.

Для переменной $n$ используем свойство $(x^k)^p = x^{k \cdot p}$: $(n^{-3})^{-2} = n^{(-3) \cdot (-2)} = n^6$.

Собираем все вместе: $4m^{-2}n^6$.

Ответ: $4m^{-2}n^6$

3) $\frac{3,6a^2b}{0,9a^3b^{-3}}$

Упростим выражение, разделив коэффициенты и применив свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.

Делим коэффициенты: $\frac{3,6}{0,9} = \frac{36}{9} = 4$.

Делим степени переменной $a$: $\frac{a^2}{a^3} = a^{2-3} = a^{-1}$.

Делим степени переменной $b$ (помним, что $b = b^1$): $\frac{b^1}{b^{-3}} = b^{1 - (-3)} = b^{1+3} = b^4$.

Объединяем полученные результаты: $4a^{-1}b^4$.

Ответ: $4a^{-1}b^4$

4) $0,8a^{-6}b^8 \cdot 5a^{10}b^{-8}$

Перемножаем коэффициенты и складываем показатели степеней для одинаковых оснований.

Произведение коэффициентов: $0,8 \cdot 5 = 4$.

Произведение степеней $a$: $a^{-6} \cdot a^{10} = a^{-6+10} = a^4$.

Произведение степеней $b$: $b^8 \cdot b^{-8} = b^{8+(-8)} = b^0 = 1$ (любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно 1).

Итоговый результат: $4 \cdot a^4 \cdot 1 = 4a^4$.

Ответ: $4a^4$

5) $\frac{25x^{-3}}{y^{-4}} \cdot \frac{y^4}{5x^{-7}}$

Для упрощения перемножим числители и знаменатели дробей, а затем упростим полученную дробь.

$\frac{25x^{-3} \cdot y^4}{y^{-4} \cdot 5x^{-7}} = \frac{25x^{-3}y^4}{5x^{-7}y^{-4}}$

Теперь упростим полученную дробь, разделив коэффициенты и переменные.

Делим коэффициенты: $\frac{25}{5} = 5$.

Делим степени $x$: $\frac{x^{-3}}{x^{-7}} = x^{-3 - (-7)} = x^{-3+7} = x^4$.

Делим степени $y$: $\frac{y^4}{y^{-4}} = y^{4 - (-4)} = y^{4+4} = y^8$.

Объединяем результаты: $5x^4y^8$.

Ответ: $5x^4y^8$

6) $28c^3d^{-2} \cdot (2cd^{-1})^{-2}$

Сначала упростим выражение в скобках, возведенное в степень.

$(2cd^{-1})^{-2} = 2^{-2} \cdot c^{-2} \cdot (d^{-1})^{-2} = \frac{1}{2^2}c^{-2}d^{(-1) \cdot (-2)} = \frac{1}{4}c^{-2}d^2$.

Теперь умножим результат на первый множитель: $28c^3d^{-2} \cdot (\frac{1}{4}c^{-2}d^2)$.

Перегруппируем и перемножим: $(28 \cdot \frac{1}{4}) \cdot (c^3 \cdot c^{-2}) \cdot (d^{-2} \cdot d^2)$.

Упрощаем каждую группу:

$28 \cdot \frac{1}{4} = 7$.

$c^3 \cdot c^{-2} = c^{3+(-2)} = c^1 = c$.

$d^{-2} \cdot d^2 = d^{-2+2} = d^0 = 1$.

Собираем все вместе: $7 \cdot c \cdot 1 = 7c$.

Ответ: $7c$