Номер 287, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Рациональные выражения - номер 287, страница 72.

Условие.

287. Представьте в виде произведения выражение:

1) $x^{-4} - 25;$

2) $m^{-6} - 8n^{-3};$

3) $a^{-10} + 8a^{-5}b^{-7} + 16b^{-14},$

4) $a^{-4} - a^{-2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы представить выражение $x^{-4} - 25$ в виде произведения, воспользуемся формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Сначала представим каждый член выражения в виде квадрата:

$x^{-4} = (x^{-2})^2$

$25 = 5^2$

В данном случае $A = x^{-2}$ и $B = 5$. Подставим эти значения в формулу:

$(x^{-2})^2 - 5^2 = (x^{-2} - 5)(x^{-2} + 5)$.

Ответ: $(x^{-2} - 5)(x^{-2} + 5)$.

2) Для выражения $m^{-6} - 8n^{-3}$ применим формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

$m^{-6} = (m^{-2})^3$

$8n^{-3} = 2^3 \cdot (n^{-1})^3 = (2n^{-1})^3$

Здесь $A = m^{-2}$ и $B = 2n^{-1}$. Подставим в формулу:

$(m^{-2} - 2n^{-1})((m^{-2})^2 + (m^{-2})(2n^{-1}) + (2n^{-1})^2)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(m^{-2} - 2n^{-1})(m^{-4} + 2m^{-2}n^{-1} + 4n^{-2})$.

Ответ: $(m^{-2} - 2n^{-1})(m^{-4} + 2m^{-2}n^{-1} + 4n^{-2})$.

3) Выражение $a^{-10} + 8a^{-5}b^{-7} + 16b^{-14}$ является полным квадратом. Для его разложения используем формулу квадрата суммы: $A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2$.

Проверим, подходят ли члены выражения под эту формулу. Представим первый и третий члены как квадраты:

$a^{-10} = (a^{-5})^2$

$16b^{-14} = 4^2 \cdot (b^{-7})^2 = (4b^{-7})^2$

Отсюда, предположительно, $A = a^{-5}$ и $B = 4b^{-7}$.

Теперь проверим, равен ли средний член удвоенному произведению $2AB$:

$2 \cdot A \cdot B = 2 \cdot a^{-5} \cdot (4b^{-7}) = 8a^{-5}b^{-7}$.

Средний член совпадает. Следовательно, формула применима.

$a^{-10} + 8a^{-5}b^{-7} + 16b^{-14} = (a^{-5} + 4b^{-7})^2$.

Ответ: $(a^{-5} + 4b^{-7})^2$.

4) Для разложения выражения $a^{-4} - a^{-2}$ на множители сначала вынесем общий множитель за скобки. Удобнее вынести степень с большим (менее отрицательным) показателем, то есть $a^{-2}$.

$a^{-4} - a^{-2} = a^{-2} \cdot a^{-2} - a^{-2} \cdot 1 = a^{-2}(a^{-2} - 1)$.

Выражение в скобках $(a^{-2} - 1)$ является разностью квадратов, так как $a^{-2} = (a^{-1})^2$ и $1 = 1^2$. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = a^{-1}$ и $B = 1$.

$a^{-2} - 1 = (a^{-1} - 1)(a^{-1} + 1)$.

Таким образом, окончательное разложение имеет вид:

$a^{-2}(a^{-1} - 1)(a^{-1} + 1)$.

Ответ: $a^{-2}(a^{-1} - 1)(a^{-1} + 1)$.