Номер 300, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Упражнения - номер 300, страница 73.

Условие.

300. Порядок числа $a$ равен $-4$, а порядок числа $b$ равен $3$. Каким может быть порядок значения выражения:

1) $ab$;

2) $a+b$;

3) $a+10b$;

4) $10a+0,1b$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

По определению, число, записанное в стандартном виде, имеет вид $x = m \cdot 10^p$, где $1 \le |m| < 10$, а $p$ — целое число, называемое порядком числа $x$.

По условию задачи, порядок числа $a$ равен $-4$, а порядок числа $b$ равен $3$. Это означает, что эти числа можно представить в стандартном виде: $a = m_a \cdot 10^{-4}$, где $1 \le |m_a| < 10$, и $b = m_b \cdot 10^{3}$, где $1 \le |m_b| < 10$.

Рассмотрим каждое выражение.

1) ab

Найдем произведение чисел $a$ и $b$:

$ab = (m_a \cdot 10^{-4}) \cdot (m_b \cdot 10^{3}) = (m_a \cdot m_b) \cdot 10^{-4+3} = (m_a \cdot m_b) \cdot 10^{-1}$

Новая мантисса равна $M = m_a \cdot m_b$. Поскольку $1 \le |m_a| < 10$ и $1 \le |m_b| < 10$, то для их произведения выполняется неравенство $1 \le |m_a \cdot m_b| < 100$.

Возможны два случая:

1. Если $1 \le |m_a \cdot m_b| < 10$, то выражение уже записано в стандартном виде, и его порядок равен $-1$. Например, пусть $a = 2 \cdot 10^{-4}$ и $b = 3 \cdot 10^3$. Тогда $ab = 6 \cdot 10^{-1}$, порядок равен $-1$.

2. Если $10 \le |m_a \cdot m_b| < 100$, то мантиссу нужно привести к стандартному виду: $m_a \cdot m_b = m' \cdot 10^1$, где $1 \le |m'| < 10$. Тогда $ab = (m' \cdot 10^1) \cdot 10^{-1} = m' \cdot 10^{0}$. Порядок в этом случае равен $0$. Например, пусть $a = 5 \cdot 10^{-4}$ и $b = 4 \cdot 10^3$. Тогда $ab = 20 \cdot 10^{-1} = (2 \cdot 10^1) \cdot 10^{-1} = 2 \cdot 10^0$, порядок равен $0$.

Ответ: $-1$ или $0$.

2) a + b

Найдем сумму чисел $a$ и $b$:

$a + b = m_a \cdot 10^{-4} + m_b \cdot 10^3$

Так как порядок числа $b$ ($3$) намного больше порядка числа $a$ ($-4$), то слагаемое $b$ будет определять порядок суммы. Вынесем за скобки $10^3$:

$a + b = (m_a \cdot 10^{-4-3} + m_b) \cdot 10^3 = (m_b + m_a \cdot 10^{-7}) \cdot 10^3$

Новая мантисса равна $M = m_b + m_a \cdot 10^{-7}$. Добавка $m_a \cdot 10^{-7}$ очень мала.

1. В общем случае, когда $|m_b|$ не близко к $1$, $|M|$ будет находиться в диапазоне $[1, 10)$, и порядок суммы будет равен $3$. Например, пусть $a = 2 \cdot 10^{-4}$ и $b = 5 \cdot 10^3$. Тогда $a+b = 0.0002 + 5000 = 5000.0002 = 5.0000002 \cdot 10^3$. Порядок равен $3$.

2. Однако, если $|m_b|$ близко к $1$, а знаки $m_a$ и $m_b$ противоположны, мантисса $|M|$ может стать меньше $1$. Например, пусть $b = 1 \cdot 10^3$ (т.е. $m_b=1$) и $a = -2 \cdot 10^{-4}$ (т.е. $m_a=-2$). Тогда $a+b = 1000 - 0.0002 = 999.9998 = 9.999998 \cdot 10^2$. В этом случае порядок равен $2$.

Ответ: $3$ или $2$.

3) a + 10b

Сначала найдем порядок слагаемого $10b$:

$10b = 10 \cdot (m_b \cdot 10^3) = m_b \cdot 10^4$

Порядок числа $10b$ равен $4$. Теперь рассмотрим сумму $a + 10b = m_a \cdot 10^{-4} + m_b \cdot 10^4$. Порядок второго слагаемого ($4$) намного больше порядка первого ($-4$). Вынесем за скобки $10^4$:

$a + 10b = (m_a \cdot 10^{-4-4} + m_b) \cdot 10^4 = (m_b + m_a \cdot 10^{-8}) \cdot 10^4$

Новая мантисса равна $M = m_b + m_a \cdot 10^{-8}$.

1. В общем случае порядок суммы будет равен $4$. Например, пусть $a = 1 \cdot 10^{-4}$ и $b = 2 \cdot 10^3$. Тогда $a+10b = 0.0001 + 20000 = 20000.0001 = 2.00000001 \cdot 10^4$. Порядок равен $4$.

2. В граничном случае, если $m_b=1$ и $a$ — отрицательное число, порядок может уменьшиться. Например, пусть $b = 1 \cdot 10^3$ ($m_b=1$) и $a = -5 \cdot 10^{-4}$ ($m_a=-5$). Тогда $a+10b = -0.0005 + 10000 = 9999.9995 = 9.9999995 \cdot 10^3$. В этом случае порядок равен $3$.

Ответ: $4$ или $3$.

4) 10a + 0,1b

Преобразуем оба слагаемых к стандартному виду:

$10a = 10 \cdot (m_a \cdot 10^{-4}) = m_a \cdot 10^{-3}$. Порядок этого числа $-3$.

$0.1b = 10^{-1} \cdot (m_b \cdot 10^3) = m_b \cdot 10^2$. Порядок этого числа $2$.

Найдем сумму $10a + 0.1b = m_a \cdot 10^{-3} + m_b \cdot 10^2$. Порядок второго слагаемого ($2$) больше порядка первого ($-3$). Вынесем за скобки $10^2$:

$10a + 0.1b = (m_a \cdot 10^{-3-2} + m_b) \cdot 10^2 = (m_b + m_a \cdot 10^{-5}) \cdot 10^2$

Новая мантисса равна $M = m_b + m_a \cdot 10^{-5}$.

1. В общем случае порядок суммы будет равен $2$. Например, пусть $a = 1 \cdot 10^{-4}$ и $b = 3 \cdot 10^3$. Тогда $10a+0.1b = 10^{-3} + 300 = 300.001 = 3.00001 \cdot 10^2$. Порядок равен $2$.

2. В граничном случае, если $m_b=1$ и $a$ — отрицательное число, порядок может уменьшиться. Например, пусть $b = 1 \cdot 10^3$ ($m_b=1$) и $a = -4 \cdot 10^{-4}$ ($m_a=-4$). Тогда $10a+0.1b = -0.004 + 100 = 99.996 = 9.9996 \cdot 10^1$. В этом случае порядок равен $1$.

Ответ: $2$ или $1$.