Номер 299, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Рациональные выражения - номер 299, страница 73.
№299 (с. 73)
Условие. №299 (с. 73)
скриншот условия

299. Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем:
1) $\frac{a^{-2} + 5}{a^{-4} - 6a^{-2} + 9} : \frac{a^{-4} - 25}{4a^{-2} - 12} - \frac{2}{a^{-2} - 5}$
2) $(b^{-1} - \frac{5b^{-1} - 36}{b^{-1} - 7}) \cdot (2b^{-1} + \frac{2b^{-1}}{b^{-1} - 7})^{-1}$
Решение 1. №299 (с. 73)


Решение 2. №299 (с. 73)

Решение 3. №299 (с. 73)

Решение 5. №299 (с. 73)

Решение 6. №299 (с. 73)

Решение 7. №299 (с. 73)

Решение 8. №299 (с. 73)
1) $\frac{a^{-2} + 5}{a^{-4} - 6a^{-2} + 9} : \frac{a^{-4} - 25}{4a^{-2} - 12} - \frac{2}{a^{-2} - 5}$
Чтобы упростить выражение, введем замену: пусть $x = a^{-2}$. Тогда $x^2 = (a^{-2})^2 = a^{-4}$. Выражение примет вид:
$\frac{x + 5}{x^2 - 6x + 9} : \frac{x^2 - 25}{4x - 12} - \frac{2}{x - 5}$
Теперь упростим его по частям.
1. Разложим на множители знаменатели и числитель второй дроби:
- $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$ (формула квадрата разности)
- $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$ (формула разности квадратов)
- $4x - 12 = 4(x-3)$ (вынесение общего множителя за скобки)
Подставим разложенные многочлены в выражение:
$\frac{x + 5}{(x-3)^2} : \frac{(x-5)(x+5)}{4(x-3)} - \frac{2}{x-5}$
2. Выполним деление дробей. Для этого заменим деление на умножение и перевернем вторую дробь:
$\frac{x + 5}{(x-3)^2} \cdot \frac{4(x-3)}{(x-5)(x+5)} - \frac{2}{x-5}$
3. Сократим общие множители в произведении:
$\frac{\cancel{(x + 5)}}{\cancel{(x-3)^2}} \cdot \frac{4\cancel{(x-3)}}{(x-5)\cancel{(x+5)}} - \frac{2}{x-5} = \frac{4}{(x-3)(x-5)} - \frac{2}{x-5}$
4. Выполним вычитание дробей. Приведем их к общему знаменателю $(x-3)(x-5)$:
$\frac{4}{(x-3)(x-5)} - \frac{2(x-3)}{(x-3)(x-5)} = \frac{4 - 2(x-3)}{(x-3)(x-5)} = \frac{4 - 2x + 6}{(x-3)(x-5)} = \frac{10 - 2x}{(x-3)(x-5)}$
5. Упростим числитель, вынеся общий множитель за скобки, и сократим дробь:
$\frac{2(5-x)}{(x-3)(x-5)} = \frac{-2(x-5)}{(x-3)(x-5)} = \frac{-2}{x-3}$
6. Вернемся к исходной переменной, подставив $x = a^{-2}$:
$\frac{-2}{a^{-2}-3}$
7. Избавимся от отрицательной степени в знаменателе. По определению $a^{-2} = \frac{1}{a^2}$:
$\frac{-2}{\frac{1}{a^2}-3} = \frac{-2}{\frac{1-3a^2}{a^2}} = -2 \cdot \frac{a^2}{1-3a^2} = \frac{-2a^2}{1-3a^2} = \frac{2a^2}{3a^2-1}$
Ответ: $\frac{2a^2}{3a^2-1}$
2) $\left( b^{-1} - \frac{5b^{-1} - 36}{b^{-1} - 7} \right) \cdot \left( 2b^{-1} + \frac{2b^{-1}}{b^{-1} - 7} \right)^{-1}$
Чтобы упростить выражение, введем замену: пусть $y = b^{-1}$. Выражение примет вид:
$\left( y - \frac{5y - 36}{y - 7} \right) \cdot \left( 2y + \frac{2y}{y - 7} \right)^{-1}$
Упростим выражения в каждой из скобок.
1. Первые скобки:
$y - \frac{5y - 36}{y - 7} = \frac{y(y-7) - (5y-36)}{y-7} = \frac{y^2 - 7y - 5y + 36}{y-7} = \frac{y^2 - 12y + 36}{y-7}$
Числитель является полным квадратом: $y^2 - 12y + 36 = (y-6)^2$.
Таким образом, выражение в первых скобках равно $\frac{(y-6)^2}{y-7}$.
2. Вторые скобки:
$2y + \frac{2y}{y - 7} = \frac{2y(y-7) + 2y}{y-7} = \frac{2y^2 - 14y + 2y}{y-7} = \frac{2y^2 - 12y}{y-7}$
Вынесем общий множитель в числителе: $2y(y-6)$.
Таким образом, выражение во вторых скобках равно $\frac{2y(y-6)}{y-7}$.
3. Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:
$\frac{(y-6)^2}{y-7} \cdot \left( \frac{2y(y-6)}{y-7} \right)^{-1}$
4. Степень $-1$ означает, что нужно взять обратную дробь (перевернуть ее):
$\frac{(y-6)^2}{y-7} \cdot \frac{y-7}{2y(y-6)}$
5. Сократим общие множители $(y-6)$ и $(y-7)$:
$\frac{\cancel{(y-6)^2}}{\cancel{y-7}} \cdot \frac{\cancel{y-7}}{2y\cancel{(y-6)}} = \frac{y-6}{2y}$
6. Вернемся к исходной переменной, подставив $y = b^{-1}$:
$\frac{b^{-1} - 6}{2b^{-1}}$
7. Избавимся от отрицательной степени. По определению $b^{-1} = \frac{1}{b}$:
$\frac{\frac{1}{b} - 6}{2 \cdot \frac{1}{b}} = \frac{\frac{1-6b}{b}}{\frac{2}{b}} = \frac{1-6b}{b} \cdot \frac{b}{2} = \frac{1-6b}{2}$
Ответ: $\frac{1-6b}{2}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 299 расположенного на странице 73 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №299 (с. 73), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.