Номер 299, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Упражнения - номер 299, страница 73.

Условие.

299. Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем:

1) $\frac{a^{-2} + 5}{a^{-4} - 6a^{-2} + 9} : \frac{a^{-4} - 25}{4a^{-2} - 12} - \frac{2}{a^{-2} - 5}$

2) $(b^{-1} - \frac{5b^{-1} - 36}{b^{-1} - 7}) \cdot (2b^{-1} + \frac{2b^{-1}}{b^{-1} - 7})^{-1}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{a^{-2} + 5}{a^{-4} - 6a^{-2} + 9} : \frac{a^{-4} - 25}{4a^{-2} - 12} - \frac{2}{a^{-2} - 5}$

Чтобы упростить выражение, введем замену: пусть $x = a^{-2}$. Тогда $x^2 = (a^{-2})^2 = a^{-4}$. Выражение примет вид:

$\frac{x + 5}{x^2 - 6x + 9} : \frac{x^2 - 25}{4x - 12} - \frac{2}{x - 5}$

Теперь упростим его по частям.

1. Разложим на множители знаменатели и числитель второй дроби:

• $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$ (формула квадрата разности)
• $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$ (формула разности квадратов)
• $4x - 12 = 4(x-3)$ (вынесение общего множителя за скобки)

Подставим разложенные многочлены в выражение:

$\frac{x + 5}{(x-3)^2} : \frac{(x-5)(x+5)}{4(x-3)} - \frac{2}{x-5}$

2. Выполним деление дробей. Для этого заменим деление на умножение и перевернем вторую дробь:

$\frac{x + 5}{(x-3)^2} \cdot \frac{4(x-3)}{(x-5)(x+5)} - \frac{2}{x-5}$

3. Сократим общие множители в произведении:

$\frac{\cancel{(x + 5)}}{\cancel{(x-3)^2}} \cdot \frac{4\cancel{(x-3)}}{(x-5)\cancel{(x+5)}} - \frac{2}{x-5} = \frac{4}{(x-3)(x-5)} - \frac{2}{x-5}$

4. Выполним вычитание дробей. Приведем их к общему знаменателю $(x-3)(x-5)$:

$\frac{4}{(x-3)(x-5)} - \frac{2(x-3)}{(x-3)(x-5)} = \frac{4 - 2(x-3)}{(x-3)(x-5)} = \frac{4 - 2x + 6}{(x-3)(x-5)} = \frac{10 - 2x}{(x-3)(x-5)}$

5. Упростим числитель, вынеся общий множитель за скобки, и сократим дробь:

$\frac{2(5-x)}{(x-3)(x-5)} = \frac{-2(x-5)}{(x-3)(x-5)} = \frac{-2}{x-3}$

6. Вернемся к исходной переменной, подставив $x = a^{-2}$:

$\frac{-2}{a^{-2}-3}$

7. Избавимся от отрицательной степени в знаменателе. По определению $a^{-2} = \frac{1}{a^2}$:

$\frac{-2}{\frac{1}{a^2}-3} = \frac{-2}{\frac{1-3a^2}{a^2}} = -2 \cdot \frac{a^2}{1-3a^2} = \frac{-2a^2}{1-3a^2} = \frac{2a^2}{3a^2-1}$

Ответ: $\frac{2a^2}{3a^2-1}$

2) $\left( b^{-1} - \frac{5b^{-1} - 36}{b^{-1} - 7} \right) \cdot \left( 2b^{-1} + \frac{2b^{-1}}{b^{-1} - 7} \right)^{-1}$

Чтобы упростить выражение, введем замену: пусть $y = b^{-1}$. Выражение примет вид:

$\left( y - \frac{5y - 36}{y - 7} \right) \cdot \left( 2y + \frac{2y}{y - 7} \right)^{-1}$

Упростим выражения в каждой из скобок.

1. Первые скобки:

$y - \frac{5y - 36}{y - 7} = \frac{y(y-7) - (5y-36)}{y-7} = \frac{y^2 - 7y - 5y + 36}{y-7} = \frac{y^2 - 12y + 36}{y-7}$

Числитель является полным квадратом: $y^2 - 12y + 36 = (y-6)^2$.

Таким образом, выражение в первых скобках равно $\frac{(y-6)^2}{y-7}$.

2. Вторые скобки:

$2y + \frac{2y}{y - 7} = \frac{2y(y-7) + 2y}{y-7} = \frac{2y^2 - 14y + 2y}{y-7} = \frac{2y^2 - 12y}{y-7}$

Вынесем общий множитель в числителе: $2y(y-6)$.

Таким образом, выражение во вторых скобках равно $\frac{2y(y-6)}{y-7}$.

3. Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:

$\frac{(y-6)^2}{y-7} \cdot \left( \frac{2y(y-6)}{y-7} \right)^{-1}$

4. Степень $-1$ означает, что нужно взять обратную дробь (перевернуть ее):

$\frac{(y-6)^2}{y-7} \cdot \frac{y-7}{2y(y-6)}$

5. Сократим общие множители $(y-6)$ и $(y-7)$:

$\frac{\cancel{(y-6)^2}}{\cancel{y-7}} \cdot \frac{\cancel{y-7}}{2y\cancel{(y-6)}} = \frac{y-6}{2y}$

6. Вернемся к исходной переменной, подставив $y = b^{-1}$:

$\frac{b^{-1} - 6}{2b^{-1}}$

7. Избавимся от отрицательной степени. По определению $b^{-1} = \frac{1}{b}$:

$\frac{\frac{1}{b} - 6}{2 \cdot \frac{1}{b}} = \frac{\frac{1-6b}{b}}{\frac{2}{b}} = \frac{1-6b}{b} \cdot \frac{b}{2} = \frac{1-6b}{2}$

Ответ: $\frac{1-6b}{2}$