Номер 302, страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Рациональные выражения - номер 302, страница 73.

Условие.

302. Среднее арифметическое двух натуральных чисел равно 18. При делении большего из этих чисел на меньшее получим неполное частное 3 и остаток 4. Найдите эти числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть искомые натуральные числа равны $a$ и $b$. Для определенности предположим, что $a$ — это большее число, а $b$ — меньшее, то есть $a > b$.

Из первого условия задачи известно, что среднее арифметическое этих чисел равно 18. Составим первое уравнение на основе этого условия:
$\frac{a + b}{2} = 18$
Чтобы упростить это уравнение, умножим обе его части на 2:
$a + b = 36$

Из второго условия известно, что при делении большего числа ($a$) на меньшее ($b$) получается неполное частное 3 и остаток 4. Это можно записать в виде следующего равенства, основанного на правиле деления с остатком:
$a = 3 \cdot b + 4$
Важным свойством деления с остатком является то, что остаток всегда меньше делителя. В нашем случае это означает, что $4 < b$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} a + b = 36 \\ a = 3b + 4 \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Подставим выражение для $a$ из второго уравнения в первое:
$(3b + 4) + b = 36$

Теперь решим полученное уравнение относительно переменной $b$:
$4b + 4 = 36$
$4b = 36 - 4$
$4b = 32$
$b = \frac{32}{4}$
$b = 8$

Мы нашли меньшее число. Проверим, удовлетворяет ли оно условию $b > 4$. Так как $8 > 4$, условие выполняется.

Теперь найдем большее число $a$, подставив найденное значение $b=8$ в первое уравнение системы:
$a + 8 = 36$
$a = 36 - 8$
$a = 28$

Итак, искомые числа — это 28 и 8.

Выполним проверку:
1. Среднее арифметическое: $\frac{28 + 8}{2} = \frac{36}{2} = 18$. Верно.
2. Деление с остатком: $28$ разделить на $8$ дает неполное частное $3$ и остаток $4$ ($28 = 8 \cdot 3 + 4$). Верно.

Ответ: 28 и 8.