Номер 305, страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Рациональные выражения - номер 305, страница 74.

Условие.

305. Тетрадь стоит 19 р. У покупателя имеются монеты только по 5 р., а у продавца – только по 2 р. Может ли покупатель рассчитаться за тетрадь без дополнительного размена денег? В случае утвердительного ответа определите, какое наименьшее количество монет соответствующего достоинства должны иметь покупатель и продавец.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Может ли покупатель рассчитаться за тетрадь без дополнительного размена денег?

Да, покупатель может рассчитаться. Это возможно, если покупатель заплатит сумму, большую 19 рублей, а продавец даст сдачу.

Пусть $x$ — это количество 5-рублевых монет, которые покупатель дает продавцу, а $y$ — это количество 2-рублевых монет, которые продавец дает в качестве сдачи. Сумма, которую покупатель платит, составляет $5x$ рублей. Сумма сдачи, которую он получает, — $2y$ рублей. В результате продавец должен получить 19 рублей.

Это можно описать следующим уравнением: $5x - 2y = 19$

Здесь $x$ и $y$ должны быть целыми неотрицательными числами, так как они представляют количество монет. Чтобы доказать, что расчет возможен, нам нужно найти хотя бы одно такое решение.

Выразим $5x$ из уравнения: $5x = 19 + 2y$.

Левая часть уравнения ($5x$) всегда делится на 5. Следовательно, правая часть ($19 + 2y$) также должна делиться на 5. Давайте найдем подходящее значение для $y$ путем перебора:

• Если $y = 0$, то $19 + 2(0) = 19$ (не делится на 5).
• Если $y = 1$, то $19 + 2(1) = 21$ (не делится на 5).
• Если $y = 2$, то $19 + 2(2) = 23$ (не делится на 5).
• Если $y = 3$, то $19 + 2(3) = 19 + 6 = 25$ (делится на 5).

Мы нашли подходящее значение $y=3$. Подставим его в уравнение $5x = 25$ и найдем $x$: $x = 25 / 5 = 5$

Таким образом, существует как минимум одно решение в целых неотрицательных числах: $x=5$, $y=3$. Это означает, что покупатель может дать 5 монет по 5 рублей (25 рублей), а продавец может дать сдачу 3 монеты по 2 рубля (6 рублей). В результате сделки продавец получит $25 - 6 = 19$ рублей.

Ответ: Да, покупатель может рассчитаться за тетрадь без дополнительного размена денег.

В случае утвердительного ответа определите, какое наименьшее количество монет соответствующего достоинства должны иметь покупатель и продавец.

Нам нужно найти наименьшие целые неотрицательные значения $x$ и $y$, удовлетворяющие уравнению $5x - 2y = 19$. Эти значения будут соответствовать минимально необходимому количеству монет, которые должны быть у покупателя ($x$ монет по 5 р.) и у продавца ($y$ монет по 2 р.) для совершения покупки.

Из уравнения $2y = 5x - 19$ следует, что для того, чтобы $y$ был неотрицательным ($y \ge 0$), должно выполняться условие $5x - 19 \ge 0$, то есть $5x \ge 19$, или $x \ge 3.8$. Поскольку $x$ — это количество монет, оно должно быть целым числом, значит, наименьшее возможное значение для $x$ — это 4.

Кроме того, правая часть $5x - 19$ должна быть четным числом, чтобы $y$ получилось целым ($y = (5x - 19)/2$). Проверим значения $x$, начиная с наименьшего возможного:

• Если $x=4$, то $5(4) - 19 = 20 - 19 = 1$. Это нечетное число, поэтому $y$ не будет целым.
• Если $x=5$, то $5(5) - 19 = 25 - 19 = 6$. Это четное число. Тогда $2y=6$, и $y=3$.

Мы нашли пару $(x, y) = (5, 3)$. Это решение с наименьшим возможным целым значением $x$. Все остальные решения этого диофантова уравнения будут иметь большие значения $x$ и $y$ (например, следующее решение $(x,y) = (7, 8)$).

Следовательно, для осуществления покупки покупателю необходимо иметь как минимум 5 монет по 5 рублей, а продавцу — как минимум 3 монеты по 2 рубля.

Ответ: Покупателю необходимо иметь наименьшее количество в 5 монет по 5 рублей, а продавцу — 3 монеты по 2 рубля.